Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół nr 2 w Wałczu ID grupy:97/25_mf_g1 Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Równania diofantyczne Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011

SPIS TREŚCI 1 Wstep 2 Najpierw troche o NWD 3 Równanie 4 Równanie 5 Równanie Pitagorasa 6 Równanie Fermata 7 Literatura SPIS TREŚCI

1. WSTĘP Równaniem diofantycznym nazywamy równanie, na ogół o kilku niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w liczbach całkowitych. Nazwa tego typu równań pochodzi od imienia greckiego matematyka Diofantosa (III w. n. e.). Znany jest epigram o długości jego życia: Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant - a dzięki przedziwnej sztuce zmarłego i wiek Jego zdradzi ci ten głaz: Chłopcem przez szósta część życia pozostać bóg mu pozwolił, Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część życia minęła, A znowu żywota gdy przebył część siódmą, Młoda małżonke w dom dobry wprowadził mu bóg.

Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka. Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiek ojca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades. Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczb Jeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał sie z życiem. Streszczając: 1/6 życia zajęła mu młodość, potem po 1/12 życia wyrosła mu broda, następnie po 1/7 życia ożenił się, po 5 latach urodził mu sie syn, syn żył połowę krócej od ojca, ojciec zmarł 4 lata po synu. Czy wiesz ile lat żył Diofantos? Może trzeba rozwiązać odpowiednie równanie diofantyczne? Spróbuj!

2. NAJPIERW TROCHĘ O NWD Twierdzenie: Jeśli a i b są liczbami całkowitymi nie równocześnie równymi zero, to istnieją liczby całkowite x oraz y spełniające równanie diofantyczne: NWD(a,b)=ax+by. Jak znaleźć przynajmniej jedną parę takich liczb x, y ?

Pokażemy to na przykładzie liczb a = 309 oraz b = 186. Zastosujemy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD(a,b). 309 = 1 · = 1 · = 1 · = 1 · = 20 · Wtedy mamy NWD(309, 186) = 3 oraz 3 = 63 1 · 60 = 63 1 · (123 1 · 63) = 2 · 63 1 · 123 = 2 · (186 1 · 123) 1 · 123 = 2 · · 123 = = 2 · · (309 1 · 186) =3 · · 186

Zatem 3 = 3 · · 186 i rozwiązanie naszego równania diofantycznego jest postaci x = 3, y = 5. Czy jest to jedyne rozwiązanie?

7. LITERATURA

Dziękujemy za uwagę!