Wykład V Łączenie szeregowe oporników Łączenie równoległe oporników Źródło prądu Przenoszenie źródeł napięcia Przenoszenie źródeł prądu Przekształcenie trójkąt - gwiazda i gwiazda - trójkąt Układ mostkowy Łączenie szeregowe źródeł napięcia Łączenie równoległe Prawa Kirchhoffa Metoda oczkowa rozwiązywania obwodów elektrycznych Metoda potencjałów węzłowych Twierdzenie o kompensacji Rozwiązywanie obwodów elektrycznych metodą superpozycji Twierdzenie Thevenina Twierdzenie Nortona

Łączenie szeregowe oporników Rys 1. Łączenie szeregowe oporników: a) układ szeregowy n oporników b) opornik zastępczy U = U1 + U2 + ... + Un U = R1I + R2I + ... + RnI = (R1 +R2 + ... +Rn)I Napięcie na poszczególnych opornikach połączonych szeregowo są proporcjonalne do ich rezystancji. Rezystancja zastępcza układu szeregowego kilku oporników jest równa sumie rezystancji poszczególnych oporników. Odwrotność konduktancji zastępczej układu szeregowego kilku oporników jest równa sumie odwrotności konduktancji poszczególnych oporników.

Łączenie równoległe oporników Prądy w połączonych równolegle gałęziach rezystancyjnych są odwrotnie proporcjonalne do ich rezystancji albo wprost proporcjonalne do ich konduktancji. Rys. 2. Łączenie równoległe oporników: a) układ równoległy n oporników b) opornik zastępczy

Stąd Odwrotność rezystancji zastępczej układu równoległego n oporników jest równa sumie odwrotności ich rezystancji. Konduktancja zastępcza układu równoległego n oporników jest równa sumie konduktancji poszczególnych oporników.

Rys. 3. Układ równoległy dwóch oporników

Obok połączeń szeregowych i równoległych stosuje się również połączenia szeregowo-równoległe (mieszane). Rys. 4. Przykład szeregowo - równoległe połączenia oporników

Źródło prądu Rys. 5. Źródło napięcia i źródło prądu: a) rzeczywiste źródło napięcia obciążone opornikiem R b) równoważne źródło prądu Rzeczywiste źródło napięcia o napięciu źródłowym E i rezystancji wewnętrznej Rw można zastąpić idealnym źródłem prądu o prądzie Iźr =E/Rw i połączonym równolegle z nim opornikiem o rezystancji Rw. Odwrotnie: każde idealne źródło prądu zbocznikowane opornikiem Rw można zastąpić rzeczywistym źródłem napięcia o napięciu źródłowym E = Rw Iżr i o rezystancji wewnętrznej Rw.

Gdy R  ∞, to I  0 – stan jałowy, cały prąd płynie przez opornik bocznikujący Rw Gdy R  0, I  Iźr – stan zwarcia, cały prąd płynie przez gałąź zwierającą Moc obciążająca źródło : Moc oddawana przez źródło prądu :

Odbiornikiem dopasowanym do źródła prądu nazywa się odbiornik o rezystancji R tak dobranej, że moc pobierana przez odbiornik ze źródła prądu jest największa. Dopasowanie na maksymalną moc: Otrzymujemy: R = Rw Rys. 6. Przybliżona realizacja źródła prądu

Przenoszenie źródeł napięcia Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł napięcia: Rozpływ prądów w obwodzie rozgałęzionym nie ulegnie zmianie, jeżeli w każdą gałąź przynależną do danego, dowolnie wybranego, węzła zostanie włączone idealne źródło napięcia o tym samym napięciu źródłowym i o zwrocie jednakowo zorientowanym względem danego węzła (wszystkie zwroty E do węzła albo wszystkie od węzła). Rys. 7. Węzeł obwodu elektrycznego Rys. 8. zastosowanie I prawa Kirhoffa do dowolnie wydzielonego fragmentu sieci elektrycznej a) sieć elektryczna b) fragment tej sieci

Twierdzenie o przenoszeniu źródeł napięcia : Rozpływ prądów w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli idealne źródło napięcia E, znajdujące się w jednej gałęzi obwodu, przynależnej do danego węzła, zostanie przeniesione do pozostałych gałęzi przynależnych do tego węzła, ale ze zwrotem przeciwnym względem danego węzła. Rys. 9. Przenoszenie idealnego źródła napięcia z jednej gałęzi do pozostałych gałęzi łączących się z nią we wspólnym węźle Rys. 10. Przenoszenie źródeł napięcia z uwzględnieniem rezystancji wewnętrznej

Przenoszenie źródeł prądu Rozpływ prądów w obwodzie elektrycznym nie ulegnie zmianie, jeżeli do dowolnego węzła tego obwodu zostaną dodatkowo włączone dwa idealne źródła prądu o jednakowych prądach źródłowych, różniące się jedynie zwrotami względem węzła. Rozpływ prądów w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli równoległe do każdej gałęzi dowolnie wybranego oczka zostanie włączone idealne źródło prądu o takim samym prądzie źródłowym i o takim samym zwrocie w stosunku do przyjętego obiegu oczka (rys. 11. a i b). Rys. 11. Włączenie źródła prądu równolegle do każdej gałęzi oczka a) oczko obwodu elektrycznego b) to samo oczko z włączonymi równolegle źródłami prądu

Rys. 12. Rysunek objaśniający przenoszenie źródeł prądu a) schemat obwodu elektrycznego b) wprowadzenie wyprowadzenie źródła prądu do węzła b c) zastąpienie źródeł prądu źródłami napięcia d) włączenie trzech źródeł prądu równolegle do gałęzi oczka a d c a e) zastąpienie źródeł prądu źródłami napięcia

Przekształcenie trójkąt - gwiazda i gwiazda - trójkąt Rys. 13. Układy połączeń oporników a) w trójkąt b) w gwiazdę Rezystancja między dwoma dowolnymi zaciskami układu połączenia w gwiazdę jest suma rezystancji dwóch gałęzi przyłączonych do tych zacisków. W układzie połączenia w trójkąt rezystancja mierzona np.: między zaciskami 1 – 2 jest rezystancją układu równoległego, w którym jedną gałąź stanowi R12, a drugą – szeregowego połączone pozostałe dwie gałęzie (R23 + R31). Dla poszczególnych par zacisków muszą być spełnione równości : (1)

Odejmując kolejno poszczególne równania (1) od połowy ich sumy otrzymuje się wyrażenia: (2) Rezystancja gałęzi gwiazdy równoważnej trójkątowi jest równa iloczynowi rezystancji gałęzi trójkąta wychodzących z tego samego węzła podzielonemu przez sumę rezystancji trójkąta. Jeżeli dane są rezystancje układu w gwiazdę, to można wyznaczyć rezystancję poszczególnych gałęzi układu w trójkąt. W tym celu wystarczy utworzyć z wyrażeń (2) sumę iloczynów (R1 R2 + R2 R3 + R3 R1) i podzielić ją kolejno przez R1, R2, R3. Stąd otrzymujemy następujące wyrażenia :

Rys. 14. Kolejne etapy przekształcania Rezystancje gałęzi trójkąta symetrycznego są trzy razy większe od rezystancji gałęzi równoważnej mu gwiazdy symetrycznej. Rys. 14. Kolejne etapy przekształcania aktywnej gwiazdy na aktywny trójkąt Rys. 15. Kolejne etapy przekształcania aktywnego trójkąta na aktywną gwiazdę

Układ mostkowy Rys. 16. Mostek Wheatstone’a a) układ mostka b) mostek z wyłączoną gałęzią środkową c), d) schematy do obliczania rezystancji wewnętrznej mostka mierzonej na zaciskach c – d Rezystancja układu mierzona między zaciskami c – d

Prąd w gałęzi galwanometru Mostek jest w równowadze, gdy: Czyli gdy: Mostek Wheatstone’a jest używany do pomiaru rezystancji. Jeżeli z czterech rezystancji ostatniego równania trzy są znane, a mostek jest w równowadze, to czwartą rezystancję można obliczyć.

Łączenie szeregowe źródeł napięcia Rys. 17. Łączenie szeregowe źródeł napięcia a) a źródeł napięcia połączonych zgodnie w szereg b) źródło zastępcze c) trzy źródła napięcia połączone niezgodnie w szereg Układ szeregowy n gałęzi aktywnych i pasywnych (Ej= 0) można zastąpić jedną gałęzią aktywną o napięciu źródłowym E równym sumie napięć źródłowych i o rezystancji Rw równej sumie rezystancji poszczególnych gałęzi aktywnych i pasywnych.

Łączenie równoległe Układ równoległy n gałęzi aktywnych o dowolnych napięciach źródłowych Ej i konduktancjach Gj , można zastąpić jedną gałęzią o napięciu źródłowym równym sumie iloczynów konduktancji i napięć źródłowych poszczególnych gałęzi podzielonej przez sumę ich konduktancji, która jest zarazem konduktancją gałęzi zastępczej. Rezystancja gałęzi zastępczej:

Prawa Kirchhoffa I Prawo Kirchhoffa (prądowe) – suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów odpływających od węzła.  I = 0 Suma algebraiczna prądów dopływających i odpływających z dowolnie wydzielonego fragmentu obwodu elektrycznego jest równa zeru. Rys. 18. Węzeł obwodu elektrycznego Rys. 19. Zastosowanie I prawa Kirchhoffa do dowolnie wydzielonego fragmentu sieci elektrycznej a) sieć elektryczna b) fragment tej sieci

Rys. 20. Oczko obwodu elektrycznego II Prawo Kirchhoffa (napięciowe) – Suma napięć źródłowych w dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego jest równa sumie iloczynów rezystancji i prądów w gałęziach należących do danego oczka. W dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego suma algebraiczna napięć źródłowych i napięć odbiornikowych jest równa zeru (jeżeli obwód nie jest poddany działaniu zmiennych pól elektromagnetycznych). Rozwiązywanie obwodu elektrycznego polega na wyznaczaniu prądów przy danych parametrach obwodu i działających w nim wymuszeniach. Rys. 20. Oczko obwodu elektrycznego lub

Liczba niewiadomych równań jest równa liczbie gałęzi g Liczba niewiadomych równań jest równa liczbie gałęzi g. Dla ich wyznaczania służą równania prądowe wg I prawa Kirchhoffa dla węzłów oraz równania napięciowe wg II prawa Kirchhoffa dla oczek Liczba równań prądowych w obwodzie o w węzłach wynosi (w-1) Brakujące równania w liczbie n = g – ( w – 1 ) = g – w +1 należy wypisać na podstawie II prawa Kirchhoffa, gdzie n oznacza liczbę niezależnych oczek w danym obwodzie. Po wypisaniu równania dla dowolnego oczka skreśla się w nim jedną gałąź w tym celu, aby ją ominąć przy doborze następnych oczek. Postępowanie jest zakończone, gdy nie można utworzyć oczka z samych nie skreślonych oczek. Rys. 21. Oczka zależne i niezależne sieci elektronicznej a) graf sieci elektronicznej b,c,d,) oczka niezależne w tej sieci e) oczka zależne

Metoda oczkowa rozwiązywania obwodów elektrycznych Liczba niezależnych równań Kirchhoffa, stanowiących podstawę analizy obwodu elektrycznego, jest równa liczbie gałęzi g w danym obwodzie. Składają się na nie równania prądowe w liczbie (w-1) i równania napięciowe w liczbie n oznaczającej liczbę niezależnych oczek. Metoda oczkowa może być stosowana do rozwiązywania obwodów spełniających zasadę superpozycji, a więc obwodów liniowych. Rys. 22. Metoda prądów oczkowych a) schemat obwodu elektrycznego b), c) przykłady doboru oczek niezależnych

(E)j – suma napięć źródłowych w oczku j. Rezystancje własne oczek zawsze ze znakiem (+). Rezystancje wzajemne ze znakiem (+) jeżeli zwroty prądów oczkowych są zgodne, ze znakiem (-) gdy zwroty prądów oczkowych są przeciwne. Jeżeli w obwodzie istnieją źródła prądu należy je najpierw zamienić na źródła napięcia, lub tak dobierać oczka, aby znany prąd źródłowy był jednocześnie prądem oczkowym i gałęziowym.

Metoda potencjałów węzłowych Prąd w gałęzi aktywnej o danych parametrach E oraz G lub R jest zależny od potencjałów na końcach gałęzi. W przypadku gałęzi pasywnej E=0 czyli Prąd w dowolnej gałęzi obwodu elektrycznego prądu stałego można wyrazić za pomocą parametrów E, G tej gałęzi oraz różnicy potencjałów na końcach gałęzi, tj. potencjałów węzłowych. Rys. 23. Przykłady zastępowania gałęzi szeregowe E, R przez źródło prądu i równolegle włączony opornik

Rys. 24. Rysunek objaśniający wyprowadzenie równania węzłowego a) fragment obwodu elektrycznego b) układ zastępczy ze źródłami prądu Bilans prądów w węźle l przy przyjętych zwrotach: Prądy w poszczególnych gałęziach: Po przekształceniach otrzymujemy równanie dla węzła l: Ogólnie (równanie węzłowe):

Iloczyn sumy konduktancji łączących rozpatrywany węzeł l z węzłami sąsiednimi, przez potencjał tego węzła Vl, pomniejszony o sumę iloczynów konduktancji tych gałęzi Gjl i potencjałów Vj węzłów sąsiednich jest równy sumie iloczynów tych konduktancji i napięć źródłowych Ejl w wymienionych gałęziach. Napięciom źródłowym Ejl skierowanym do rozpatrywanego węzła przypisujemy znak (+), a znak (-) skierowanym przeciwnie. Jeżeli do węzła l dopływa prąd Il to należy go dodać do prawej strony równania węzłowego ze znakiem (+) jeżeli dopływa, ze znakiem (-) gdy wypływa. Równania węzłowe przyjmują następującą postać ogólną: Konduktancje własne węzłów występują ze znakiem (+), a konduktancje wzajemne węzłów ze znakiem (-). Gdy węzły nie są połączone ich wzajemna konduktancja wynosi 0.

Twierdzenie o kompensacji Rys. 25. Rysunek objaśniający twierdzenie o kompesancji a) gałąź rezystencyjna o prądzie I b) ta sama gałąź, z włączonymi w szereg przeciwsobnie źródłami napięcia c) gałąź skompensowana jednym źródłem napięcia Punkty ekwipotencjalne w obwodzie elektrycznym można ze sobą zewrzeć nie powodując przez to zmian w rozpływie prądów. Twierdzenie o kompensacji: Rozpływ prądów w obwodzie elektrycznym nie ulegnie zmianie, jeżeli dowolny element rezystancyjny R tego obwodu zostanie zastąpiony źródłem idealnym o napięciu źródłowym R równym spadkowi napięcia RI na tym elemencie i o zwrocie przeciwnym niż zwrot prądu I. Napięcie źródłowe, którego wartość i zwrot zależą od prądu płynącego przez źródło nazywa się napięciem źródłowym sterowanym. Napięcie źródłowe, którego wartość i zwrot nie zależą od prądu płynącego przez źródło nazywa się napięciem źródłowym nie sterowanym. Element rezystancyjny R, przez który płynie prąd I, można zastąpić idealnym źródłem napięcia o napięciu źródłowym sterowanym: E = RI.

Rozwiązywanie obwodów elektrycznych metodą superpozycji Prąd w dowolnie wybranej gałęzi k przy jednoczesnym działaniu wielu idealnych źródeł napięcia w obwodzie jest sumą algebraiczną prądów wywołanych w tej gałęzi przez poszczególne źródła napięcia. Potencjał w dowolnym węźle obwodu liniowego zasilanego przez wiele źródeł napięcia i prądu jest sumą potencjałów wywołanych w tym węźle przez poszczególne źródła przy przyjęciu, że potencjał jednego z węzłów ma stale tą samą wartość, np. równą zeru w wyniku uziemienia. Metodę superpozycji można stosować do rozwiązywania obwodów elektrycznych. W tym celu oblicza się prądy w gałęziach lub potencjały węzłów, pochodzące od poszczególnych źródeł zakładając, że wszystkie inne źródła mają napięcia źródłowe i prądy źródłowe równe zeru, ale ich rezystancje wewnętrzne i bocznikujące pozostają w obwodzie. Otrzymane wyniki dodaje się algebraicznie.

Twierdzenie Thevenina Rys. 26. Obwód złożony zawierający kilka źródeł napięcia, traktowany jako dwójnik a) obwód nie obciążony na obranych zaciskach a - b b) ten sam obwód obciążony opornikiem na zaciskach a – b c) ten sam obwód z włączonymi przeciwswobnie w gałąź obciążenia źródłami napięcia d) ten sam obwód z włączonym źródłem napięcia E e) ten sam obwód z włączonym źródłem napięcia f) dwójnik zastępczy

Prąd płynący przez odbiornik rezystancyjny R, przyłączony do dwóch zacisków a – b dowolnego liniowego układu zasilającego prądu stałego jest równy ilorazowi napięcia U0 mierzonego na zaciskach a – b w stanie jałowym przez rezystancję R powiększoną o rezystancję zastępczą Rw układu zasilającego mierzoną na zaciskach a – b. Obwód elektryczny liniowy o dowolnym ukształtowaniu, traktowany jako złożony dwójnik liniowy aktywny o zaciskach a – b, można zastąpić jednym źródłem o napięciu źródłowym E, równym napięciu stanu jałowego U0 na zaciskach a – b i o rezystancji zastępczej mierzonej na zaciskach a – b obwodu. Rezystancję Rw można wyznaczyć z pomiaru stanu zwarcia na zaciskach a – b. Do scharakteryzowania aktywnego dwójnika liniowego prądu stałego wystarcza znajomość napięcia stanu jałowego i prądu zwarcia. stąd

Twierdzenie Nortona Rys. 27. Rysunek objaśniający twierdzenie Nortona a) obwód elektryczny b) zastępcze źródło napięcia obciążone opornikiem R c) zastępcze źródło prądu Każdy liniowy obwód elektryczny prądu stałego, traktowany jako dwójnik źródłowy o zaciskach a – b, można zastąpić jednym źródłem prądu o prądzie Iżr = U0/Rw = Iz , równym prądowi zwarcia na zaciskach a – b oraz równolegle włączonym opornikiem o konduktancji Gw = 1/Rw równej konduktancji wewnętrznej obwodu mierzonej na zaciskach a – b. Prąd płynący przez odbiornik jest proporcjonalny do konduktancji gałęzi odbiornika Napięcie na zaciskach odbiornika