Twierdzenie Thevenina-Nortona

Prezentacja na temat: "Twierdzenie Thevenina-Nortona"— Zapis prezentacji:

1 Twierdzenie Thevenina-Nortona

2 A. Twierdzenie Nortona Każdy liniowy dwójnik aktywny można zastąpić z wybranej pary zacisków AB rzeczywistym źródłem prądu o parametrach iz i Gz. Prąd iz jest prądem zwarciowym, a konduktancję liczymy z zacisków AB po usunięciu wszystkich źródeł niezależnych.

3 A. Twierdzenie Thevenina
Każdy liniowy dwójnik aktywny można zastąpić z wybranej pary zacisków AB rzeczywistym źródłem napięcia o parametrach uz i Rz. Napięcie uz występuje na rozwartych zaciskach AB, a rezystancję liczymy z zacisków AB po usunięciu wszystkich źródeł niezależnych.

4 UAB Przykład: A B Wyznaczymy parametry dwójnika Thevenina (Ez i Rz)
widzianego z zacisków AB. Przykład: A Dane: E1 J R1 R2 R3 UAB B

5 Dwójnik Thevenina: A B Ez Rz uAB

6 Jak zmieni się napięcie uAB, gdy do dwójnika dołączymy rezystor R0=3Ω?
Rz R0 i

7 Przykład: A JZ B Wyznaczymy parametry dwójnika Nortona (Jz i Gz)
widzianego z zacisków AB. Przykład: A Dane: E1 J R1 R2 R3 JZ B

8 Dwójnik Nortona: J GZ A B

9 Podstawy topologii obwodów

10 OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANY

11 OBWÓD - GRAF - GRAF NIEZORIENTOWANY
OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANY 2 4 3 6 5 1

12 Droga Drogą między węzłami j i k nazywamy zbiór gałęzi grafu utworzony w ten sposób, że kolejne gałęzie mają wspólny węzeł, w żadnym węźle nie łączą się więcej niż dwie gałęzie zbioru, z węzłem j oraz z węzłem k łączy się dokładnie jedna gałąź zbioru.

13 Przykład 1 drogi między węzłami 1 i 2
Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drogi

14 Przykład 2 drogi między węzłami 1 i 2
Zbiór gałęzi e-f-g-c-h-i-j nie spełnia warunku (2) definicji drogi

15 Pętla Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu spełniający następujące warunki podgraf jest spójny, w każdym węźle podgrafu łączą się dwie i tylko dwie gałęzie.

16 Przykład 1 pętla Zbiór gałęzi e-f-g-c-d-a spełnia warunki definicji pętli

17 Przykład 2 nie-pętla Zbiór gałęzi e-j-a-g-c-h nie spełnia warunku 1 definicji pętli

18 Drzewo Drzewem grafu spójnego nazywamy spójny podgraf obejmujący wszystkie węzły i nie zawierający żadnej pętli. Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo (DOPEŁNIENIE)

19 Przykład 1 DRZEWO Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drzewa

20 Przykład 2 DRZEWO Zbiór gałęzi e-f-g-h-j spełnia warunki definicji drzewa

21 Drzewo grafu spójnego o  węzłach i b gałęziach zawiera  - 1 gałęzi.
Twierdzenie Drzewo grafu spójnego o  węzłach i b gałęziach zawiera  - 1 gałęzi. Dowód (indukcyjny): Dla n=2, b=1 (n= ) twierdzenie prawdziwe

22 Cd. Dowód (indukcyjny)cz.2:
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla grafu n-węzłowego. Rozpatrzmy graf o n+1 węzłach, utwórzmy drzewo i wyodrębnijmy ten węzeł, w którym zbiega się tylko jedna gałąź drzewa. Graf o n węzłach

23 Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem
n węzłach Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem z drzewa grafu n-węzłowego oraz gałęzi dk. Uwzględniając założenie indukcyjne otrzymamy: (n-1)+1=n WNIOSEK: Dopełnienie grafu spójnego  węzłach i b gałęziach zawiera b -  + 1 gałęzi.

24 Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór
PRZEKRÓJ Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór gałęzi spełniający następujące warunki (1) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju bez węzłów końcowych powoduje podział grafu na dwa podgrafy (2) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju poza jedną nie narusza spójności grafu.

25 Przykład 1 przekrój Zbiór gałęzi b-f-i-d spełnia warunki definicji przekroju

26 Przykład 2 nie- przekrój
Zbiór gałęzi b-f-i-d-j nie spełnia warunków (2) definicji przekroju

27 PRZEKRÓJ FUNDAMENTALNY
Przekrój grafu spójnego nazywamy fundamentalnym jeżeli jest utworzony z dokładnie jednej gałęzi drzewa i gałęzi dopełnienia. Jest ich w grafie  - 1

28 (1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja
DRZEWO grafu i przekroje fundamentalne Przekroje fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja

29 Pętla FUNDAMENTALNA Pętlę nazywamy fundamentalną jeżeli jest utworzona z dokładnie jednej gałęzi dopełnienia i gałęzi drzewa. Jest ich w grafie b -  + 1

30 (1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcd
DRZEWO grafu i pętle fundamentalne Pętle fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcd

31 Twierdzenia dotyczące PRAW KIRCHHOFFA
(1) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z PPK wynosi  -1. Równania te można napisać stosując PPK do  -1 fundamentalnych przekrojów. (2) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z NPK wynosi b -  +1 . Równania te można napisać stosując PPK do b -  +1 fundamentalnych pętli.

32 DEFINICJA GRAFU PLANARNEGO: Graf planarny to taki graf, który może być
narysowany na płaszczyźnie tak aby gałęzie przecinały się tylko w węzłach. DEFINICJA OCZKA: Oczkiem grafu planarnego nazywamy pętlę nie zawierająca wewnątrz żadnych gałęzi. TWIERDZENIE Graf planarny zawiera b -  +1 oczek. Równania NPK napisane dla b -  +1 są liniowo niezależne.

33

34 u4 u4 i1 i2 i3 i4 i5 i1 i2 i3 i4 i5 Przykład:
Rozważymy dwa obwody o takiej samej topologii: u4 u4 R4 R1 R2 R5 e3 i1 i2 i3 i4 i5 i1 i2 i3 i4 i5 R2 R3 R5 e1 u4 u1 u4 u1 J4 Dane: R2=4 R3=R4=2 J4=3A e1=4V Dane: R1=R2=6 R4=R5=4 E3=10V

35 i1 i2 i3 i4 i5 R4 R1 R2 R5 e3 1 2 i1 i2 i3 i4 i5 R2 R3 R5 e1

36 R4 R1 R2 R5 e3 R2 R3 R5 e1

37 A B Bilans mocy