GEOMETRIA Euklidesa, Riemanna, Łobaczewskiego Geo - Ziemia, metria - nauka o mierzeniu geometria - nauka o pomiarach na Ziemi.

Notki biograficzne: Tales z Miletu, Pitagoras z Samos, ur. ok. 620 pne, zm. ok. 540 pne. Grecki filozof, astronom i matematyk, stworzył podstawy do późniejszego rozwoju geometrii w Grecji. Pitagoras z Samos, ur. ok. 580 pne, zm. ok. 496 pne. Grecki matematyk i filozof, przyczynił się znacznie do rozwoju matematyki i astronomii, był twórcą kierunku filozoficznego zwanego pitagoreizmem.

Euklides, ur. ok. 365 pne, zm. ok. 300 pne Euklides, ur. ok. 365 pne, zm. ok. 300 pne. Matematyk grecki, pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii. Autor pierwszych prac teoretycznych z matematyki. Główne jego dzieło Elementy jest syntezą ówczesnej wiedzy matematycznej zarówno w dziedzinie geometrii, jak i w teorii liczb. Elementy są pierwszą próbą aksjomatycznego ujęcia geometrii i były podstawowym podręcznikiem geometrii do XIX wieku.

Riemann Georg Friedrich Bernhard ur. 1826r. , zm. 1866 r Riemann Georg Friedrich Bernhard ur. 1826r., zm. 1866 r. Matematyk niemiecki, twórca wielowymiarowej geometrii metrycznej, której zasady stanowią podstawę ogólnej podstawy względności. Zapoczątkował systematykę geometrii nieeuklidesowych. Łobaczewski Nikołaj ur. 1792 r., zm. 1856 r. Matematyk rosyjski, twórca pierwszej geometrii nieeuklidesowej, zwanej też geometrią Łobaczewskiego albo geometrią hiperboliczną. Liczące się rezultaty naukowe uzyskał przede wszystkim w geometrii. Zyskały mu one miano „Kopernika geometrii”.

W geometrii rozróżniamy: pewniki – czyli stwierdzenia oczywiste nie wymagające dowodu np. przez dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta pojęcia pierwotne, których nie definiujemy a ich istotę poznajemy w różnych działaniach, np.: punkt, prosta,… l A B A należy do l (A Є l), B Є l i A ≠ B <=> l jest tylko jedna pojęcie równoległości prostych: dwie proste są równoległe l1 || l2 <=> 1. nigdzie się nie przecinają 2. odległość między nimi jest w każdym punkcie taka sama l1 d1 = d2 l2

twierdzenia, z których przytoczymy jedno przydatne w dalszej części wykładu γ β α δ Jeśli dwie proste równoległe przetniemy trzecia prostą, to utworzone kąty dają zależności: α = β kąty naprzemianległe wewnętrzne, α = γ kąty odpowiadające α = δ kąty wierzchołkowe γ = δ kąty naprzemianległe zewnętrzne

Kluczowym pewnikiem jest dla Euklidesa stwierdzenie: GEOMETRIA EUKLIDESA Kluczowym pewnikiem jest dla Euklidesa stwierdzenie: „przez punkt poza prostą przechodzi tylko jedna prosta do niej równoległa”. A l2 l1 A Є l1 Λ A Є l2 Λ l1 || l2 <=> l1 tylko jedna Є = nie należy, Λ = i, Є należy, || są równoległe, A - punkt, l1, l2 - proste

Opierając się na tym pewniku wykażemy, że suma kątów trójkąta tworzy kąt półpełny, czyli kąt o mierze 1800. C α2 β2 γ α1 β1 A B przez punkt C prowadzimy prostą równoległą do prostej łączącej punkty A i B lAB - tylko jedna (pewnik) lC - tylko jedna (pewnik) Ponieważ kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe, to α1 = α2 Λ β1 = β2 a zatem suma kątów trójkąta = α1 + β1 + γ = α2 + γ + β2, czyli kąt 1800 - tworzy półprostą. cnw (Przez prawie 2 tysiące lat ludzkość wierzyła, że jest to „oczywista oczywistość”, tak jak wierzono, że Ziemia jest niewątpliwie płaska.)

Geometria Riemanna Łatwo zauważyć, że stwierdzenie o sumie kątów trójkąta na kuli nie jest prawdziwe. C biegun południki A równik B Trójkąt ABC ma w sumie więcej niż 1800: Południki tworzą z równikiem kąt prosty (900) i kąt A + kąt B + kąt C = 900 + 900 + γ > 1800 I odkąd Kolumb przez swoją wyprawę, a właściwie Magelan, który opłynął świat, wykazali, że Ziemia jest kulą, to geometria Euklidesa nie jest na niej prawdziwa.

Jeśli przyjąć, że na Ziemi „prostą” jest wielki południk, czyli linia opasująca całą kulę, to przez punkt poza prostą nie przechodzi żadna prosta do niej równoległa. A B C Prosta przechodząca przez punkt A przetnie daną prostą dwa razy, w punkcie B i C.

Zauważmy, że kulistość Ziemi powoduje poważne konsekwencje: Pilot startujący z równika z bakiem paliwa na 4 tysiące kilometrów jeśli przebędzie drogę: 1 tys. km na północ, 1 tys. km na wschód, 1 tys. km na połunie i 1 tys. km na zachód – nie doleci do miejsca, z którego wystartował. 1000 km 1000 km 1000 km 1000 km

2. Ponieważ fale elektromagnetyczne rozchodzą się po liniach prostych, to zasięg nadajnika w zależności od wysokości jego umieszczenia nie przekracza na ogół 30 km. maszt zasięg fal pole martwe Matody pomiarów w geometrii Euklidesa można stosować na Ziemi tylko na „małych” odległościach, dla których błąd pomiaru spowodowany użyciem narzędzi jest większy niż błąd spowodowany nieuwzględnieniem krzywizny Ziemi.

Imieniny Bogusława Na imieninach pan A, geograf, tłumaczy przyczynę nieobecności na poprzednich imieninach. „Byłem na wyprawie naukowej. Równo ze wschodem słońca wyszedłem z namiotu, poszedłem na północ, potem skręciłem na wschód i po jakimś czasie skręciłem na południe. Szedłem ciągle w tym samym kierunku i okazało się, że wróciłem do namiotu (czyli do miejsca wyjścia).” Jak miał na imię solenizant? droga geografa wyjście równo ze wschodem słońca w dniu imienin

imieniny obchodzą: Bogusław i Tekla Droga jaką geograf odbył w zadaniu jest możliwa jeśli punktem wyjścia był biegun południowy. Ponieważ wyjście na trasę nastąpiło „równo ze wschodem słońca” to łatwo ustalimy datę dnia imienin, bo wschód słońca jest na biegunie południowym raz w roku, gdy u nas jest jesienne zrównanie dnia z nocą czyli września imieniny obchodzą: Bogusław i Tekla

Geometria Łobaczewskiego Euklides: przez punkt poza prostą przechodzi tylko jedna prosta do niej równoległa. Riemann: przez punkt poza prostą nie przechodzi żadna prosta do niej równoległa. Łobaczewski (Gauss): przez punkt poza prostą przechodzi nieskończenie wiele prostych do niej równoległych.

Wyobraźmy sobie ograniczony obszar, w którym w środku jest ciepło, a im bliżej krańca tym jest zimniej aż do zera bezwzględnego 0 K (zero Kelwina, czyli - 273,15 0C). I niech przedmioty na tej „Ziemi” mają takie właściwości jak metale na „naszej Ziemi” – pod wpływem zimna się kurczą, a pod wpływem ciepła się rozszerzają. A d2 l2 d1 l1 Zauważmy, że proste l1 i l2 : nigdzie się nie przecinają i odległość między nimi też się nie zmienia. Chociaż d2 jest dla nas mniejsze niż d1 , , ale na tamtym świecie o tym nie wiedzą, bo wprawdzie odległość między nimi zmalała, ale zmalała również miara, którą ta odległość jest mierzona, skurczyli się też ludzie, którzy tego pomiaru dokonują.

Przyjmując pozostałe pewniki z geometrii Euklidesa Łobaczewski zbudował swoja geometrię. A przecież nikt nam nie zagwarantuje, że nasz Świat nie jest właśnie taki jak w przedstawionym modelu.

Mógł Kolumb przy pomocy „jajka Kolumba” przekonywać, że Ziemia jest kulą wbrew powszechnej opinii, że płaskość Ziemi jest oczywistą oczywistością, mogę i ja podjąć próbę przekonania słuchaczy, że Ziemia wcale nie jest kulą, tylko jest bryłą wszędzie wklęsłą (lub chodzimy wewnątrz kuli). Wystarczy popatrzeć na buty jak się zdzierają, Gdyby Ziemia była kulą, zelówki zdzierałyby się na środku, a przecież zdzierają się na czubku i na pięcie, co jest dostatecznym dowodem na przedstawioną tezę o wklęsłości Ziemi. I to by było na tyle. październik 2010 opracował: Franciszek Potulski