Konstrukcje geometryczne samym cyrklem Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Centrum Kształcenia Rolniczego im. W. Witosa w Boninie III Liceum Ogólnokształcące im. Św. Jana Kantego w Poznaniu ID grupy: 97/42_MF_G1 i 97/69_MF_G1 Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Semestr/rok szkolny: V semestr 2011 / 2012 Konstrukcje geometryczne samym cyrklem

pani prof. Irena Lichtańska- Woźniak Przedstawienie grupy pani prof. Irena Lichtańska- Woźniak opiekun grupy Banasiak Tomasz Berndt Katarzyna Ciszewski Kacper Karandys Klaudia Kęsicka Dominika Kostyk Milena Lenartowicz Małgorzata Anna Mikołajczak Katarzyna Sarnecka Monika Świtała Alicja

Przedstawienie grupy pani prof. Beata Kaczmarek – opiekun grupy Julita Czekała Dominika Janczura Izabela Klappa Izabela Krakowiak Sandra Lisoń Joanna Mruk Anna Majewska Monika Szwedziak Aleksandra Śledziejowska Daria Walczak

Konstrukcje geometryczne samym cyrklem

Twierdzenie Mohra-Mascheroniego Jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii.

Twierdzenie Ponceleta-Steinera Jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem.

Ślimak Teodorsa Pomysł konstrukcji opiera się na twierdzeniu Pitagorasa. Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego matematyka i filozofa, Teodorosa z Cyreny. W matematyce, konstrukcja geometryczna, pozwalająca stworzyć odcinek o długości równej pierwiastkowi z liczby naturalnej.

Zasady konstrukcji cyrklem Obydwa narzędzia są wyidealizowane – cyrkiel może być rozwarty na dowolną szerokość, a linijka jest jednostronna (tj. nie wolno korzystać z drugiej krawędzi) i ma potencjalnie nieskończoną długość. Jedyne dozwolone wykorzystanie cyrkla to kreślenie okręgów o środkach w punktach, które już są dane i promieniach równych odcinkom wyznaczonym przez dane lub już skonstruowane punkty; jedyne dozwolone wykorzystanie linijki to rysowanie (lub przedłużanie) odcinków wyznaczonych przez dane lub już skonstruowane punkty. Poza tym mając dane: * dwie proste * prostą i okrąg * dwa okręgi można znaleźć ich punkty wspólne lub stwierdzić że ich nie ma. Inne czynności są niedozwolone.

Możliwe operacje przy konstrukcjach klasycznych

Sześciokąt foremny Narysuj cyrklem dowolny okrąg o środku A, następnie na jego obwodzie oznacz dowolny punkt B, który będzie środkiem drugiego okręgu o tym samym promieniu. Punkty przecięcia się okręgów wybierz jako środki kolejnych okręgów o tym samym promieniu. Postępując analogicznie narysuj następne okręgi w ten sposób aż na obwodzie pierwszego narysowanego okręgu uzyskasz sześć punktów B, C, D, E, F, G. Otrzymane punkty połącz odcinkami. Powstałą figurę BCDEFG nazywamy sześciokątem foremnym.

Konstrukcja trójkąta równobocznego Na dowolnej prostej zaznacz dowolny odcinek AB, który ma być bokiem trójkąta. Następnie odmierz cyrklem długość odcinka AB i zakreśl dwa okręgi: jeden o środku w punkcie A i drugi o środku w punkcie B. Jeden z punktów przecięcia się okręgów oznacz literą C. Połącz odcinki AC i BC. W ten sposób powstały trójką ABC jest trójkątem równobocznym. Konstrukcja trójkąta równobocznego

Podział odcinka na n-równych części Mając dany odcinek AB poprowadź od punktu A półprostą l pod kątem ostrym do tego odcinka. Następnie cyrklem odznacz na tej półprostej n jednakowych odcinków o dowolnej długości zaczynając od punktu A. n - określa liczbę części na jaką mamy podzielić dany odcinek AB - w naszym przykładzie to 8. Następnie połącz punkt ostatniego odznaczonego odcinka na półprostej l z końcem B danego odcinka AB. Teraz stosując przesunięcie równoległe narysuj proste równoległe do tego odcinka przechodzące przez końce odcinków odznaczonych na półprostej l. Narysowane proste równoległe podzielą dany odcinek AB na 8 jednakowych części.

Konstrukcja symetralnej odcinka Narysuj dowolny odcinek AB. Zakreśl cyrklem jeden okrąg o środku A i promieniu AB i drugi okrąg o środku B i również promieniu AB. Następnie poprowadź prostą przez punkty przecięcia się tych dwóch okręgów. W ten sposób narysowaną prostą nazywamy symetralną odcinka AB - tzn. prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego środek.

KONSTRUKCJE KTÓRYCH NIE MOŻNA WYKONAĆ ZA POMOCĄ SAMEGO CYRKLA I LINIJKI Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne sformułowane w starożytnej Grecji: Podwojenie sześcianu – problem delijski polegająca na zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy większej niż dany sześcian. Udowodnienie nierozwiązalności problemu sprowadza się mniej więcej do takiego rozumowania: Aby podwoić sześcian o krawędzi a, trzeba znaleźć odcinek długości x, który odpowiada równaniu: x3 = 2 a3 Mamy tu do czynienia z równaniem stopnia trzeciego. Jednak geometria koła i lini prostej nie doprowadza do rozwiązania równań stopnia trzeciego. Zadanie to więc z ograniczeniem, iż ma być wykonane za pomocą cyrkla i linijki jest nierozwiązalne.

Trysekcja kąta Trysekcja kąta - polega ona na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i linijki. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna. Istnienie kątów, których konstrukcyjnie nie da się podzielić na trzy równe części pierwszy uzasadnił (w wieku 19 lat) C. F. Gauss

Kwadratura koła Kwadratura koła - problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki. Niezliczone próby przedstawienia takiej konstrukcji bez wyjątku kończyły się fiaskiem. Dopiero w drugiej połowie XVIII wieku matematyk Johan Heinrich Lambert ustalił niewymierność liczby π, co oznaczało, że liczby tej nie da się przedstawić pod postacią ułamka. Sto lat póżniej, w 1882 roku, Ferdinand von Lindemann udowodnił, że liczba π jest liczbą przestępną. Żadna liczba przestępna nie może powstać za pomocą linijki i cyrkla. W ten sposób udowodniono, że jeden z najstarszych problemów matematycznych - kwadratura koła jest niemożliwa. Kwadratura koła stała się synonimem nierozwiązywalnego zadania.

BIBLIOGRAFIA http://samymcyrklem.blogspot.com/ http://www.geogebra.org/cms/ http://www.interklasa.pl/portal/dokumenty/pabich/s13g.htm http://pl.wikipedia.org/wiki/konstrukcje_klasyczne

Koniec ! Dziękujemy za uwagę 