Bryły archimedesowskie i platońskie Beata Małyszko Dorota Mierzwa Kasia Olender

Bryły archimedesowskie Wielościan archimedesowski (albo półforemny) - wielościan, którego ściany są wielokątami foremnymi, a w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian, jednak poszczególne ściany różnią się od siebie. Gdyby ściany były przystającymi wielokątami foremnymi wielościan nazwalibyśmy foremnym (platońskim). Istnieje 13 wielościanów półforemnych (15 jeśli liczyć odbicia lustrzane dwóch spośród nich) oraz dwie nieskończone serie. Są to: wielościany powstające przez ścięcie wierzchołków wielościanów foremnych

Czworościan ścięty Czworościan ścięty to wielościan półforemny o 8 ścianach w kształcie czterech trójkątów równobocznych i czterech sześciokątów foremnych. Posiada 18 krawędzi i 12 wierzchołków. Czworościan ścięty można uzyskać przez ścięcie wierzchołków czworościanu foremnego. Pole powierzchni całkowitej: Objętość:

Sześcian ścięty Sześcian ścięty to wielościan półforemny o 14 ścianach w kształcie 8 trójkątów równobocznych i 6 ośmiokątów foremnych. Posiada 36 krawędzi i 24 wierzchołki. Sześcian ścięty można uzyskać przez ścięcie wierzchołków zwykłego sześcianu. Pole powierzchni całkowitej: Objętość:

Ośmiościan ścięty Ośmiościan ścięty to wielościan półforemny o 14 ścianach w kształcie 6 kwadratów i 8 sześciokątów foremnych. Posiada 36 krawędzi i 24 wierzchołki. Ośmiościan ścięty można uzyskać przez ścięcie wierzchołków zwykłego ośmiościanu. Pole powierzchni całkowitej: Objętość:

Dwunastościan ścięty Dwunastościan ścięty to wielościan półforemny o 32 ścianach w kształcie 12 dziesięciokątów foremnych i 20 trójkątów równobocznych. Posiada 90 krawędzi i 60 wierzchołki. Dwunastościan ścięty można uzyskać przez ścięcie wierzchołków zwykłego dwunastościanu foremnego. Pole powierzchni całkowitej: Objętość:

Dwudziestościan ścięty Dwudziestościan ścięty to wielościan półforemny o 32 ścianach w kształcie 20 sześciokątów foremnych i 12 pięciokątów foremnych. Posiada 90 krawędzi i 60 wierzchołków. Dwudziestościan ścięty można uzyskać przez ścięcie wierzchołków zwykłego dwudziestościanu foremnego. Kształt ten jest używany przy produkcji piłki nożnej, choć oczywiście zamiast płaskich ścian ma ona boki zaokrąglone. Taką strukturę ma też cząsteczka fullerenu złożona z 60 atomów węgla. Piłka nożna ma średnicę ok. 22 cm, wspomniana cząsteczka ok. 1 nm (stosunek 200000000:1), tak więc kształt ten występuje zarówno w mikro- jak i makroskali. Pole powierzchni całkowitej: Objętość:

Sześcio-ośmiościan Bryła ta posiada: 12 wierzchołków, 24 krawędzie, (8 trójkątów równobocznych,  6 kwadratów). Wierzchołki o charakterystyce (3, 4, 3, 4).

Sześcio-ośmiościan rombowy wielki Bryła ta posiada: 120 wierzchołków,  180 krawędzi, 62 ściany  (30 kwadratów, 20 sześciokątów foremnych, 12 dziesięciokątów foremnych). Wierzchołki o charakterystyce  ( 4, 10, 6 ).

Sześcio-ośmiościan rombowy mały Bryła ta posiada: 24 wierzchołki,  48 krawędzi 26 ścian  (8 trójkątów równobocznych,  18 kwadratów). Wierzchołki o charakterystyce ( 3, 4, 4, 4 ).

Dwunasto-dwudziestościan Bryła ta posiada: 30 wierzchołków,  60 krawędzi, 32 ściany  (20 trójkątów równobocznych, 12 pięciokątów foremnych). Wierzchołki o charakterystyce (3,5,3,5).

Dwunasto-dwudziestościan rombowy wielki Bryła ta posiada: 120 wierzchołków,  180 krawędzi, 62 ściany  (30 kwadratów, 20 sześciokątów foremnych, 12 dziesięciokątów foremnych). Wierzchołki o charakterystyce  (4, 10, 6).

Dwunasto-dwudziestościan rombowy mały Bryła ta posiada: 60 wierzchołków,  120 krawędzi, 62 ściany  (20 trójkątów równobocznych,  30 kwadratów, 12 pięciokątów foremnych). Wierzchołki o charakterystyce  (3, 4, 5,4)

Sześcian przycięty Bryła ta posiada: 24 wierzchołki, 60 krawędzi, (32 trójkąty równoboczne,  6 kwadratów). Wierzchołki o charakterystyce ( 3, 3, 3, 3, 4 ).

Dwunastościan przycięty Bryła ta posiada : 60 wierzchołków,  150 krawędzi, 92 ściany  (80 trójkątów równobocznych,  12 pięciokątów foremnych), Wierzchołki o charakterystyce  (3, 3, 3, 3, 5).

Nieskończona seria graniastosłupów archimedesowych Graniastosłupy archimedesowe, to graniastosłupy, których ściany boczne są kwadratami, a w podstawach są wielokąty foremne. Takich brył jest nieskończenie wiele ponieważ graniastosłupy mogą mieć w podstawach różne wielokąty foremne. Graniastosłupy są jedną z dwóch nieskończonych serii wielościanów archimedesowych. W każdym wierzchołku graniastosłupa schodzą się 2 kwadraty i wielokąt foremny.

Nieskończona seria antygraniastosłupów Antygraniastosłup powstaje poprzez obrócenie jednej z podstaw graniastosłupa o połowę kąta środkowego jego podstawy. Ściany boczne antygraniastosłupów są trójkątami równobocznymi. Jest to druga nieskończona seria brył półforemnych ponieważ antygraniastosłupy mogą mieć w podstawach dowolne wielokąty foremne. W każdym wierzchołku antygraniastosłupa schodzą się 3 trójkąty równoboczne i wielokąt foremny.

Bryły platońskie Wielościany foremne inaczej nazywamy bryłami platońskimi. Dlaczego bryłami platońskimi? To właśnie Platon wyobrażał sobie, że wszechświat tworzą cztery elementy: ogień, ziemia, woda i powietrze, a każda z tych żywiołów zbudowany jest z cząsteczek, które mają kształt wielościanów foremnych. (Na przykład według niego cząsteczki ognia mają kształt czworościanów itd): czworościan symbolizował ogień, sześcian symbolizował ziemię, ośmiościan symbolizował powietrze, dwudziestościan symbolizował wodę, dwunastościan miał symbolizować eter.

Czworościan foremny Czworościan foremny (łac. tetraedr) to wielościan foremny o czterech ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych. Jest szczególnym przypadkiem czworościanu. Posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan foremny stanowi trójwymiarowy simpleks. Ścinając wierzchołki czworościanu uzyskujemy wielościan półforemny o nazwie czworościan ścięty. Pole powierzchni całkowitej: Objętość:

Sześcian foremny Sześcian (właściwie sześcian foremny, in. heksaedr) to wielościan foremny o sześciu bokach w kształcie identycznych kwadratów. Posiada 12 krawędzi i 8 wierzchołków. Ścinając wierzchołki sześcianu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie sześcian ścięty. Pole powierzchni całkowitej: Objętość: V = a3

Ośmiościan foremny Ośmiościan foremny (in. oktaedr) to wielościan foremny o 8 ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych. Posiada 12 krawędzi i 6 wierzchołków. Ścinając wierzchołki ośmiościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie ośmiościan ścięty. Pole powierzchni całkowitej: Objętość:

Dwunastościan foremny Dwunastościan foremny (in. dodekaedr) to wielościan foremny o 12 ścianach w kształcie identycznych pięciokątów foremnych. Posiada 30 krawędzi i 20 wierzchołków. Ścinając wierzchołki dwunastościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwunastościan ścięty. Pole powierzchni całkowitej: Objętość:

Dwudziestościan foremny Dwudziestościan foremny (in. ikosaedr) to najbardziej złożony wielościan foremny o 20 ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych. Posiada 30 krawędzi i 12 wierzchołków. Ścinając wierzchołki dwudziestościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwudziestościan ścięty. Pole powierzchni całkowitej: Objętość: