Nie taki diabeł straszny czyli o zadaniach: wykaż , uzasadnij , udowodnij Piotr Ludwikowski

Nie taki diabeł straszny czyli o zadaniach: wykaż , uzasadnij , udowodnij Piotr Ludwikowski

W matematyce ważne są dwa rodzaje wypowiedzi: definicje twierdzenia

Definicja „odpowiada” na pytanie „co to jest ?” np. Pendrive to urządzenie elektroniczne, które zawiera pamięć nieulotną typu Flash EEPROM i jest zaprojektowane do współpracy z każdym komputerem poprzez port USB. Angina to choroba gardła, która objawia się wysoką gorączką i silnym bólem gardła nasilającym się przy przełykaniu. Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Definicja „odpowiada” na pytanie „co to jest ?” np. Pendrive to urządzenie elektroniczne, które zawiera pamięć nieulotną typu Flash EEPROM i jest zaprojektowane do współpracy z każdym komputerem poprzez port USB. Angina to choroba, która objawia się wysoką gorączką i silnym bólem gardła nasilającym się przy przełykaniu. Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Budowa definicji „Pojęcie definiowane” to tu powinna się znaleźć nazwa „grupy pojęć” do której należy pojęcie definiowane , który tu następuje lista warunków, wyróżniających pojęcie definiowane z „grupy pojęć”. Rozwiązanie równania to liczba (lub liczby), która podstawiona (lub podstawione) w miejsce niewiadomej (lub niewiadomych) daje równość prawdziwą.

Budowa definicji „Pojęcie definiowane” to tu powinna się znaleźć nazwa „grupy pojęć” do której należy pojęcie definiowane , który tu następuje lista warunków, wyróżniających pojęcie definiowane z „grupy pojęć”. Rozwiązanie równania to liczba (lub liczby), która podstawiona (lub podstawione) w miejsce niewiadomej (lub niewiadomych) daje równość prawdziwą.

Twierdzenie „mówi” o własnościach obiektów i warunkach, które muszą być spełnione by ta własność zachodziła. np. Jeżeli zdiagnozowana choroba jest anginą to jest to choroba wirusowa. Jeżeli dysk DVD zostanie usunięty z nagrywarki podczas procesu jego nagrywania, to dane nie zostaną poprawnie zapisane. Jeżeli kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku okręgu, to miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego.

Twierdzenie „mówi” o własnościach obiektów i warunkach, które muszą być spełnione by ta własność zachodziła. np. Jeżeli zdiagnozowana choroba jest anginą to jest to choroba wirusowa. Jeżeli dysk DVD zostanie usunięty z nagrywarki podczas procesu jego nagrywania, to dane nie zostaną poprawnie zapisane. Jeżeli kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku okręgu, to miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego.

Budowa twierdzenia Jeżeli „tu powinien być warunek lub lista warunków” to „tu powinna być własność, która zachodzi gdy warunki są spełnione”.

Budowa twierdzenia Jeżeli „tu powinien być warunek lub lista warunków” to „tu powinna być własność, która zachodzi gdy warunki są spełnione”. Jeżeli wyróżnik trójmianu kwadratowego jest nieujemny, to ten trójmian ma przynajmniej jeden pierwiastek.

Twierdzenia, jak każda wypowiedź orzekająca, mogą być prawdziwe lub fałszywe np. Jeżeli przekątne w czworokącie przecinają się pod kątem prostym, to ten czworokąt jest rombem.

Twierdzenia, jak każda wypowiedź orzekająca, mogą być prawdziwe lub fałszywe np. Jeżeli przekątne w czworokącie przecinają się pod kątem prostym, to ten czworokąt jest rombem. To twierdzenie jest fałszywe, ponieważ

Wykaż, że dla każdego m ciąg jest arytmetyczny.

Wykaż, że dla każdego m ciąg jest arytmetyczny. Niektórzy ze zdających wstawiali za m kolejne liczby np. i sprawdzali, że otrzymany ciąg jest arytmetyczny. Za każdym razem okazywało się że tak.

Wykaż, że dla każdego m ciąg jest arytmetyczny. Niektórzy ze zdających wstawiali za m kolejne liczby np. i sprawdzali, że otrzymany ciąg jest arytmetyczny. Za każdym razem okazywało się że tak. Niestety, na podstawie takiego rozumowania nie można wnioskować , że dla wszystkich m też tak będzie.

W XVII wieku matematycy zauważyli że liczby: 31, 331, 3331, 33331, 333331 … są liczbami pierwszymi. Sądzono że wszystkie liczby tego typu są pierwsze

W XVII wieku matematycy zauważyli że liczby: 31, 331, 3331, 33331, 333331 … są liczbami pierwszymi. Sądzono że wszystkie liczby tego typu są pierwsze Okazuje się jednak, że liczba 333333331 nie jest pierwsza, daje się bowiem przedstawić jako iloczyn liczb 17 i 19607843.

Brak kontrprzykładu może więc być tylko poszlaką a nie dowodem. Leonhard Euler sformułował hipotezę, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych dodatnich

Przez ponad 200 lat uczeni nie potrafili ani tego twierdzenia udowodnić, ani wskazać kontrprzykładu. Sądzono, że hipoteza Eulera jest twierdzeniem prawdziwym.

Przez ponad 200 lat uczeni nie potrafili ani tego twierdzenia udowodnić, ani wskazać kontrprzykładu. Sądzono, że hipoteza Eulera jest twierdzeniem prawdziwym. Jednak w 1988 roku Noam Elkies znalazł odpowiedni kontrprzykład:

W zadaniu z ciągiem można przeprowadzić następujące rozumowanie.

Co to jest dowód matematyczny?

Co to jest dowód matematyczny? Raczej nie kawałek plastiku.

Co to jest dowód matematyczny? Dowód jest formalnym rozumowaniem korzystającym z zasad logiki, aksjomatów oraz założeń twierdzenia i wcześniej udowodnionych twierdzeń, którego efektem jest wykazanie tezy twierdzenia.

Dwa najczęściej popełniane błędy przy budowaniu dowodów: nieprawidłowe używanie twierdzeń, szczególnie twierdzeń odwrotnych, zakładanie, bez uzasadnienia, własności nie wynikających bezpośrednio z założeń.

Zadanie z próbnego egzaminu maturalnego

Rozwiązanie:

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia T, to takie twierdzenie, którego założeniem jest teza danego twierdzenia, tezą zaś założenie twierdzenia T. Niech będzie dane twierdzenie: jeśli A, to B; wtedy twierdzenie odwrotne do niego jest zdaniem jeśli B, to A.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia T, to takie twierdzenie, którego założeniem jest teza danego twierdzenia, tezą zaś założenie twierdzenia T. Niech będzie dane twierdzenie: jeśli A, to B; wtedy twierdzenie odwrotne do niego jest zdaniem jeśli B, to A. Twierdzenie odwrotne do danego prawdziwego twierdzenia nie musi być zdaniem prawdziwym.

np. Jeżeli zdiagnozowana choroba jest anginą to jest to choroba wirusowa. tw. odwrotne: Jeżeli zdiagnozowana choroba jest chorobą wirusową to jest to angina.

Twierdzenie Talesa (I wersja) Jeżeli proste m i n są równoległe, to

Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Talesa (I wersja) Jeżeli to proste m i n są równoległe

Twierdzenie Talesa (II wersja) Jeżeli proste m , n i p są równoległe, to

Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Talesa (II wersja) Jeżeli to proste m , n i p są równoległe

Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Talesa (II wersja) Jeżeli to proste m , n i p są równoległe W takim brzmieniu to twierdzenie jest fałszywe!!!

Kontrprzykład

Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Talesa (II wersja) Jeżeli i dwie spośród prostych m , n i p są równoległe to trzecia też jest do nich równoległa.

Egzaminacyjny diabeł wcale nie jest straszny Powodzenia!

Egzaminacyjny diabeł wcale nie jest straszny Powodzenia!