Kinematyka prosta

Macierz A mnożymy przez macierz B Macierze Mnożenie macierzy nie jest przemienne, i aby można było mnożyć macierze ilość kolumn 1 macierzy musi być równa ilości wierszy 2 macierzy Macierz A mnożymy przez macierz B

A*B=C

Tak więc aby uzyskać wynik np Tak więc aby uzyskać wynik np. „x10” mnożymy pierwszą liczbę 3 wiersza macierzy A z pierwszą liczbą 2 kolumny macierzy B następie dodajemy do tego iloczyn drugiej liczby 3 wiersza macierzy A i drugiej liczby 2 kolumny macierzy B potem znów dodajemy iloczyn trzeciej liczby 3 wiersza macierzy A i trzeciej liczby 2 kolumny macierzy B i znów dodajemy iloczyn czwartej liczby 3 wiersza macierzy A i 4 liczby 2 kolumny macierzy B i tak otrzymujemy wynik w macierzy C będący przecięciem 3 wiersza i 2 kolumny (tj. x10). W przypadku innych wyników mnożenia postępujemy analogicznie, co widać na następnym slajdzie.

Rozpisanie wyników mnożenia macierzy :

Proste zadanie kinematyki – polega ono na obliczeniu pozycji i orientacji chwytaka względem nieruchomej podstawy manipulatora. Aby tego dokonać niezbędna jest notacja Denavita-Hartenberga i notacja Eulera. Notacja Denavita-Hartenberga jest to zagadnienie analizy względnego położenia ciała, znajdującego się w jednym układzie, w stosunku do jego położenia w innym układzie.

Chcąc znaleźć położenie punktu C (leżącego w układzie Up) względem głównego układu współrzędnych należy wpierw znaleźć orientację układu Up względem układu głównego

Układ współrzędnych Up jest obrócony względem układu głownego 1 Układ współrzędnych Up jest obrócony względem układu głownego 1. układ Up jest obrócony wokół osi Z głównego układu o kąt „a” i powstaje układu U’p Obrót ten zapisujemy jako macierz gdzie: c – kosinus kąta s – sinus kąta

2. układ U’p jest obrócony wokół osi Y’ układu U’p o kąt „b” i powstaje układu U’’p Obrót ten zapisujemy jako macierz gdzie: c – kosinus kąta s – sinus kąta

3. układ U’’p jest obrócony wokół osi X’’’ układu U’’p o kąt „c” i powstaje układu U’’’p Obrót ten zapisujemy jako macierz gdzie: c – kosinus kąta s – sinus kąta

Przy obrotach układów Up, U’p, i U’’p i początek tych układów współrzędnych nie zmienia się i jest wciąż taki sam, czyli pozostaje nim punkt P Układ U’’’p jest przesunięty o wektor względem układu głównego. Wektor ten można zapisać w postaci macierzy: Wartości „1” i „0” w macierzach dotychczas przedstawionych są stałe i nie ulegają zmianie

Tak więc orientacja układu U’’’p względem układu głównego jest iloczynem macierzy obrotu i translacji czyli: Tp = Rot(a)*Rot(b)*Rot(c)*Tw Wynikiem tego iloczynu jest macierz gdzie: a, b, c, d, e, f, g, h, i – to orientacja układu U’’’p względem układu głównego (tj. jak poszczególnego osie zostały obrócone x, y, z, - to współrzędne początku układu U’’’p w układzie głównym

Aby obliczyć położenie punktu C względem głównego układu należy macierz Tp przemnożyć przez macierz punktu C (Tc) Tgł = Tp*Tc gdzie: Xgł, Ygł, Zgł – współrzędne punktu C w układzie głównym

Gdy mamy do czynienia z większą ilością układów to postępujemy w analogiczny sposób. Przyjmując, że punkt C jest początkiem kolejnego układu współrzędnych a położenie i orientacja układu U’’’p względem układu głównego jest macierzą A. Potem należy policzyć orientację i położenie układu Uc względem U’’’p z czego otrzymalibyśmy macierz B. Tak więc chcąc znać orientacje i położenie układu Uc względem głównego trzeba macierz A przemnożyć przez macierz B

Copyright by Wojdas ®