Kwaterniony jako nośniki obrotu Piotr Orzechowski aero@priv.ckp.pl.

Prezentacja na temat: "Kwaterniony jako nośniki obrotu Piotr Orzechowski aero@priv.ckp.pl."— Zapis prezentacji:

1 Kwaterniony jako nośniki obrotu Piotr Orzechowski

2 Poszukiwania uniwersalnego sposobu na reprezentację obrotów w 3D …
„ … uogólnienie liczb zespolonych ? ” Sir William Rowan Hamilton

3 Notacja macierzowa kwaternionu
czyli :

4 Definiujemy macierze i, j, k :
Ponadto dla dowolnej liczby rzeczywistej r :

5

6 Notacja kwaternionu przy pomocy pary : liczby rzeczywistej i trójwymiarowego wektora współczynników części urojonej czyli

7 Liczby urojone i, j, k :

8 Osiowo-kątowa reprezentacja obrotu
Każda seria obrotów może być opisana przez pojedynczy obrót wokół osi. Kwaternion = kąt + oś obrotu (!) … reprezentuje obrót, gdy : =

9 Odwrotność kwaternionu
W przypadku jednostkowych kwaternionów reprezentujących obrót osiowo-kątowy : Poprzez negację wektora v zmieniamy zwrot osi obrotu n, co powoduje odwrócenie kierunku obrotu, który uważamy za ‘dodatni’.

10 Mnożenie Główne własności mnożenia :

11 Obrót wektora w R3 * Punkt a o współrzędnych (x, y, z)
p = [ 0 (x, y, z) ] * q = Kwaterniony - są nośnikami obrotu! :D

12 Kwaterniony w grafice komputerowej
Główne zalety : Prosta modyfikacja i szybkie łączenie obrotów Szybka inwersja obrotów Unikanie kosztownych normalizacji Tylko cztery liczby (małe zużycie pamięci) Płynna konwersja z/do macierzy obrotu Płynna interpolacja obrotów