Funkcja produkcji

Funkcja produkcji Cobb - Douglas Założenia - wartość produkcji czystej [tys. zł], - wartość brutto produkcyjnego majątku trwałego [mln zł], - średnia liczba zatrudnionych w ciągu roku [l. pracowników]   Relacja pomiędzy zmiennymi nieliniowa: funkcja Cobb – Douglasa:

Funkcja produkcji Cobb - Douglas   Rok 1993 864,00 13,5 359 1994 1081,20 17,4 453 1995 1092,80 18,7 431 1996 1194,10 23,3 423 1997 1225,60 24,4 424 1998 1284,60 24,2 471 1999 1409,70 28,6 486 2000 1502,70 31,2 511 2001 1597,40 34,1 535 2002 1634,80 33,2 574 2003 1783,00 35,1 601 2004 1786,90 38,5 600 2005 1900,40 41,4 634 2006 1972,80 41,1 690 2007 2022,50 42,2 707 Dane statystyczne: [1993 – 2007]

Funkcja produkcji Cobb - Douglas 1. obliczyć elastyczność produkcji względem czynników produkcji, zinteipretować wyniki 2. określić o ile procent wzrośnie produkcja, jeżeli wartość produkcyjnego majątku trwałego wzrośnie o 3%, a liczba zatrudnionych zmniejszy się o 2%, 3. określić jaka powinna być wartość brutto produkcyjnego majątku trwałego, aby osiągnąć wartość produkcji czystej 2,05 mln zł, utrzymując jednocześnie zatrudnienie na poziomie z roku 2007 4. określić, o ile należy zwiększyć średnie, roczne zatrudnienie z okresu 2007 na 2008, jeżeli wiadomo, że wartość brutto produkcyjnego majątku trwałego ulegnie w okresie 2008 zmniejszeniu o 5 mln zł w porównaniu z rokiem 2007, a jednocześnie chcemy utrzymać produkcje na poziomie roku 2007 5. wyznaczyć optymalny układ czynników produkcji {K, L}, tak by uzyskać maksymalną wartość produkcji czystej Y = 1,5 mln zł, gdy znana jest liniowa funkcja kosztów całkowitych C(K, L) = 22 000 K + 1 500 L 6. czy proces produkcji charakteryzuje; stały, rosnący czy malejący efekt skali produkcji 7. wyznaczyć i zinterpretować stopień jednorodności funkcji

Funkcja produkcji Cobb - Douglas Oszacowana postać modelu: Elastyczność produkcji względem majątku produkcyjnego oznacza, że zwiększenie majątku produkcyjnego o 1% powoduje wzrost produkcji czystej o 0,4521%. Elastyczność produkcji względem zatrudnienia oznacza, że zwiekszenie zatrudnienia o 1% powoduje wzrost produkcji czystej o 0,5080%

Funkcja produkcji Cobb - Douglas Elastyczność produkcji względem nakładów , stąd odpowiedź na pytanie o ile procent zmieni się produkcja czysta Y, jeśli zmieni się jednocześnie wartość nakładów {K, L}, odpowiednio o i zawiera wartość równania: , , , zmiana produkcji pod wpływem zmian nakładów:

Funkcja produkcji Cobb - Douglas Substytucja nakładów Załóżmy, że wartość produkcji jest na poziomie = 2,05 mln zł, przekształćmy funkcje produkcji, wyznaczając wartość majątku produkcyjnego jako funkcję zatrudnienia: , stąd jeśli , a [tys.zł], to

Funkcja produkcji Cobb - Douglas Krańcowa stopa substytucji majątku produkcyjnego poprzez pracę: określa jaka ilością pracy L należy zastąpić wycofaną ilość kapitału K, bowiem równanie wyznacza konieczne zwiększenie nakładów pracy, kompensujące spadek nakładów majątku produkcyjnego, pozwalające utrzymać produkcję na poziomie , z definicji: stąd podstawiając w miejsce K równanie izokwanty: = 0,0663, otrzymamy otrzymamy: , a zatem by zrekompensować spadek wartości produkcyjnego majątku trwałego o 5 mln zł, przy jednoczesnym utrzymaniu produkcji czystej na poziomie 2022,5 tys zł., należy zwiększyć średnie roczne zatrudnienie o 76 pracowników Stopa substytucji

Funkcja produkcji Cobb - Douglas

Funkcja produkcji Cobb - Douglas Funkcja kosztów całkowitych przyjmuje wartość minimalną wyznaczoną z warunku: podobnie wyznaczyć można przy założeniach przyjętych w poleceniach punktu 5, stąd: , stąd minimalny koszt jest równy: [tys. Zł] Funkcja produkcji Cobb - Douglas ,

Funkcja produkcji Cobb - Douglas Ponieważ , zatem tempo przyrostu nakładów jest większe aniżeli przyrost skali produkcji , zatem jest miarą stopnia jednorodności funkcji produkcji