Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

Nazwa szkoły: Publiczne Gimnazjum im. Jana Pawła II w Człopie ID grupy: 98/7 MF_G2 Opiekun: Mirosław Chruścicki Kompetencja: Matematyczno-fizycza Temat projektowy: Twierdzenia i pojęcia geometryczne oraz ich ilustracja za pomocą fotografii. Semestr/rok szkolny: sem. III 2010/2011

SPIS PODEJMOWANYCH ZAGADNIEŃ 1. Kąty środkowe i wpisane. 2. Wielokąty przystające i podobne. 3. Symetria. 4. Przykłady symetrii w naturze i architekturze. 5. Graniastosłupy i ostrosłupy. 6. Walec, stożek, kula. 7. Pole koła, pierścień koła, wycinek koła – zadania. 8. Czworokąty i trójkąty 9. Wielokąty foremne. 10. Zamiana jednostek powierzchni i objętości.

KĄTY ŚRODKOWE I WPISANE Kąt środkowy - to kąt, którego wierzchołkiem jest środek koła, a ramiona są półprostymi zawierającymi promienie koła. Kąt wpisany - to taki kąt wypukły, którego wierzchołkiem jest dowolny punkt okręgu, a ramiona są półprostymi zawierającymi cięciwy tego koła.

KĄTY ŚRODKOWE I WPISANE Miary kątów wpisanych w koło, opartych na tych samych łukach są równe. Kąt wpisany oparty na półokręgu, jest kątem prostym. Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku co kąt środkowy. α = 2 · β

WIELOKĄTY PRZYSTAJĄCE Przystawanie (kongruencja) – w geometrii relacja równoważności figur zdefiniowana poprzez izometrię rozumianą intuicyjnie jako identyczność kształtu i wielkości figury. Każda izometria jest złożeniem skończonej liczby symetrii, obrotów i przesunięć; w szczególności rozkładowi na symetrie podlegają same obroty i przesunięcia. W związku z tym dane dwie figury są przystające, gdy istnieje ciąg symetrii przekształcający jedną z nich na drugą.

CECHY PRZYSTAWANIA DLA TRÓJKĄTÓW Cecha bok-bok-bok (BBB) – przystawanie odpowiednich boków, cecha bok-kąt-bok (BKB) – przystawanie dwóch boków i kąta między nimi, cecha kąt-bok-kąt (KBK) – przystawanie dwóch kątów i boku będącego ramionami kątów, cecha bok-bok-kąt (BBK) – przystawanie dwóch boków i kąta naprzeciw dłuższego z nich, cecha bok-kąt-kąt (BKK) – przystawanie dwóch kątów i boku leżącego naprzeciw jednego z nich.

WIELOKTY PODOBNE Podobieństwo – przekształcenie geometryczne zachowujące stosunek odległości punktów. Także relacja równoważności utożsamiająca figury geometryczne, które nazywane są wtedy podobnymi, o ile istnieje podobieństwo przeprowadzające jedną na drugą. Własności podobieństwa

WŁASNOŚI PODOBIEŃSTWA CZĘŚC 1 Założenie podobieństw o skalach k 1,k 2 jest podobieństwem o skali k 1 k 2 Przekształcenie odwrotne do podobieństwa o skali k jest podobieństwem o skali. stosunek objętości figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa. Dowolne podobieństwo nie będące izometrią ma dokładnie jeden punkt stały przekształcenia. Z definicji oraz powyższych własności wynika, że w figurach podobnych w przestrzeniach euklidesowych: stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa,

WŁASNOŚCI PODOBIEŃTWA CZĘŚC 2 odpowiadające sobie kąty są przystające, stosunek pół figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa, Dowolne podobieństwo przestrzeni euklidesowej jest złożeniem izometrii i jednokładności skali równej skali podobieństwa.przestrzeni euklidesowej Podobieństwa tworzą grupę przekształceń geometrycznych. Niezmienniki określające jednoznacznie grupę podobieństw: stosunek długości odcinków, równość odcinków, Cofnij

PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach Cofnij

STOSUNEK PÓL WIELOKĄTÓW PODOBNYCH Wielokąty podobne to takie wielokąty, których odpowiadające kąty mają równe miary i odpowiadające boki są proporcjonalne.

Przekształcenie, w wyniku którego jedna z figur jest obrazem drugiej i obie są do siebie podobne nazywamy podobieństwem.

Dokładniej: Podobieństwo o skali nazywamy przekształceniem płaszczyzny (przestrzeni), które każdym dwóm punktom płaszczyzny (przestrzeni) przyporządkowuje punkty takie, że. Jeżeli istnieje podobieństwo o skali przekształcające figurę to mówimy, że figury są podobne w skali, co zapiszemy (figura jest obrazem figury w podobieństwie o skali.

PRZYKŁAD Czy figury przedstawione poniżej są podobne?

Jeżeli długości odcinków to. W przypadku okręgów porównujemy długości ich promieni:. Wniosek: Jeżeli stosunek długości promieni dwóch okręgów jest równy liczbie, to również stosunek długości okręgów jest równy Kwadrat ma wszystkie boki i kąty równe, więc odpowiadające boki kwadratów z rysunku są proporcjonalne oraz czyli. Odp. Odcinki o długościach są podobne, okręgi są podobne oraz kwadraty o bokach długości są podobne.

REGUŁA Dwa dowolne niezerowe odcinki są podobne. Dwa dowolne okręgi są podobne. Dwa dowolne koła są podobne. Dwa dowolne kwadraty są podobne. więcej: Dwa dowolne wielokąty foremne o takiej samej liczbie boków są podobne.

PRZYKŁAD Co możemy powiedzieć o figurach? Odp. Figury nie są podobne, stosunki odpowiadających sobie odcinków nie są równe.

ŚRODEK SYMETRII Środek symetrii figury jest punktem, względem którego ta figura jest do siebie środkowosymetryczna. Figura jest obrócona 180 wokół swojego środka symetrii nałoży się na siebie

ŚRODEK SYMETRII

SYMETRIA WZGLĘDEM PUNKTU S A A.. |AS|=|AS|

SYMETRIA WZGLĘDEM PUNKTU

SYMETRIA WZGLĘDEM PROSTEJ

OŚ SYMETRII Figury jest prostą, względem której ta figura jest do siebie osiowo symetryczna. Oś symetrii dzieli figurę na dwie przystające części.

OŚ SYMETRII

PRZYKŁADY OSI SYMETRII W NATURZE

PRZYKŁADY OSI SYMETRII W ARCHITEKTURZE

PARY FIGUR SYMETRYCZNYCH Parami figur symetrycznych są figury umieszczone po przeciwnych stronach osi symetrii, ten sam punkt w obu figurach jest tak samo oddalony od osi symetrii. Takie zjawisko można zaobserwować w: lustrze, w odbiciu w wodzie

OBRAZOWANIE FIGUR PRZESTRZENNYCH Obrazowanie figur przestrzennych możliwe jest dzięki rzutom Monge'a. Ich idea polega na przedstawieniu przestrzeni trójwymiarowej z dwóch różnych kierunków widzenia (rzutowania). Dzięki temu położenie obiektów geometrycznych takich jak punkt i większości prostych staje się jednoznaczne i możliwe do odwzorowania na kartce papieru. Najczęściej stosowane są rzuty prostokątne (kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni) i prostopadłe (kierunki rzutowania są prostopadłe względem siebie). Tak uzyskane rzuty umownie nazywa się widokiem z góry i widokiem z boku. Możliwe jest wprowadzanie dodatkowych rzutni, o dowolnym usytuowaniu w celu ułatwienia, bądź przeprowadzenia konstrukcji.

ZADANIE 1 Które obrazki są symetryczne? Gotowe

Dobrze! Dalej

Źle Dalej

GRANIASTOSŁUP PROSTY

GRANISTOSŁUP PRAWIDŁOWY To w geometrii taki graniastosłup prosty, którego każda podstawa jest jakimkolwiek wielokątem foremnym (tj. mającym równe boki oraz takie same kąty). Graniastosłupem prawidłowym jest więc np. dowolny prostopadłościan mający w podstawie kwadrat (graniastosłup prawidłowy czworokątny). W szczególności jest nim też sześcian.

GRANIASTOSŁUPY PRAWIDŁOWE PRZYKŁADY

GRANIASTOSŁUPY Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, którego podstawa jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych 3cm i 4cm, przeciwprostokątnej 5cm, a wysokość graniastosłupa równa jest 4,5cm. Sporządź rysunek tego graniastosłupa. V= Pp*h = 0,5*a*b*h = 0,5*3*4*4,5= 27 cm3 Pc = Pp+Pb = 0,5*3*4 + (3*4,5 + 4*4,5 +5*4,5)= , ,5 = 60 cm 2

PRZYKŁADY GRANIASTOSŁUPÓW - ORIGAMI

OSTROSŁUPY – NASZE PRACE

OSTROSŁUP PRAWIDŁOWY To w geometrii taki ostrosłup, w podstawie którego znajduje się wielokąt foremny. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Przykłady ostrosłupów prawidłowych: czworościan foremny, ostrosłup prawidłowy trójkątny, ostrosłup prawidłowy czworokątny itp. A więc nazewnictwo takich ostrosłupów wywodzi się od tego jaki wielokąt foremny jest w podstawie.

OSTROSŁUP PRAWIDŁOWY

OSTROSŁUP Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 6 cm i krawędzi bocznej 12 cm. Wysokość trójkąta równobocznego w podstawie jest równa Długość odcinka to dokładnie wysokości (bo tak dzieli wysokość środek trójkąta równobocznego), czyli Teraz, stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie, mamy Zatem objętość jest równa (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego)

WALEC

Promień podstawy walca ma długość. Oblicz objętość tego walca wiedząc, że jego wysokość jest dwa razy dłuższa od promienia podstawy.

STOŻEK

Przekrój stożka wyznaczony przez wierzchołek i cięciwę podstawy jest trójkątem równobocznym, o polu równym. Płaszczyzna, do której należy ten przekrój, tworzy z płaszczyzną podstawy stożka kąt o mierze równej. Oblicz objętość stożka. Z podanego pola przekroju mamy Z trójkąta wyliczymy długość wysokości, a z trójkąta długość promienia podstawy. Liczymy Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie Stąd szukana objętość

KULA

Przekrój osiowy kuli jest kołem, którego obwód wynosi 18pi cm.Oblicz pole powierzchni i objętość tej kuli. 2πr=18π 2r=18 r=9 P=4πr²=81x4π=324π V= 4/3 πr³= 729 x 4/3 π= 972π

POLE KOŁA Jak obliczyć pole koła? Pole koła oblicza się wg. wzoru: P = Π * r 2 Π jest stałą i wynosi w przybliżeniu 3, r to promień koła.

PIERŚCIEŃ KOŁOWY Pole pierścienia jest różnicą pól kół o promieniach R i r:

WYCINEK KOŁOWY Wycinek kołowy – część koła ograniczona okręgiem (łukiem) i ramionami kąta środkowego. Pole wycinka jest wprost proporcjonalne do miary kąta wycinka:

DŁUGOŚC OKRĘGU Długość okręgu to długość linii oznaczającej jego krawędź. Skonstruowanie odcinka długości równej długości danego okręgu w sposób klasyczny, tzn. za pomocą cyrkla i linijki, jest niewykonalne. Ponadto udowodniono, że stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy jest stały. Liczba, gdzie są długością i średnicą okręgu, jest zawsze taka sama. Oznaczenie tej liczby zaproponował walijski matematyk i pisarz William Jones i od roku stałą oznaczamy grecką literą.

LICZBA Liczba to długość okręgu o promieniu 1 cm. Najbardziej popularne są dwa przybliżenia tej liczby: Dziesiętne ( z niedomiarem) 3,14 Archimedesa (z nadmiarem) Bliższe prawdy jest przybliżenie Archimedesa

ŁUKI OKRĘGÓW Każdy łuk ma długość zależną od promienia okręgu i kąta środkowego opartego na tym łuku. Ramiona kąta środkowego wycinają łuki na okręgu. Mogą być poprowadzone z różnych punktów na okręgu.

ZADANIE 1 Znajdź długość promienia okręgu. Wynik zapisz w cm. Przyjmij, że π = 3,14. Obwód równa się 2πr Rozwiązanie

Ponieważ 2πr = 628 mm, więc

POLE I OBWÓD TRÓJKĄTA Jak obliczyć pole trójkąta? Pole trójkąta oblicza się wg. wzoru: P = 1/2 * a * h a to długość podstawy h to wysokość Obwód : a+b+c

POLE I OBWÓD CZWOROKĄTA Ob = 4a P = a2

WIELOKĄTY FOREMNE Wielokąt foremny - to wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0. Czworokąt foremny to inaczej kwadrat.

WIELOKĄTY FOREMNE WielokątRysunekKątPole Trójkąt równoboczny 60° Kwadrat90° Pięciokąt108° Sześciokąt 120°

JEDNOSTKI OBJĘTOŚCI Jednostki objętości; 1 m3 = cm3 1 cm3 = 0, m3 1m3 = 1000 dm3 1 dm2 = 0,001 m3 1 dm3 = 1000 cm3 1 cm3 = 0,001 dm3 1 cm3 = 1000 mm3 1 mm3 = 0,001 cm3

JEDNOSTKI POLA Jednostki pola; 1km = m2 1 m2 = 0, m2 = cm2 1 cm2 =0,0001 m2 1 m2 = 100 dm2 1 dm2 = 0,01 m2 1 dm2 = 100 cm2 1cm2 = 0,01 dm2 1 cm2 = 100 mm2 1mm2 = 0,01 cm2 1 a = 100 m2 100 m2 = 0,01 a 1 ha = 100 a 1 a = 0,01 ha

BIBLIOGRAFIA - Podręcznik do matematyki Matematyka z plusem - Internet www. matematyka.wroc.pl Zbiory zadań

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA