Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH ID grupy: 97/53_MF_G2 Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Semestr/rok szkolny: SEMESTR II/2011/2012

Równania diofantyczne Cele jakie postawiliśmy sobie w tym temacie: Znalezienie i zaprezentowanie podstawowych informacji o równaniach diofantycznych i sposobach ich rozwiązywania. Stworzenie prezentacji multimedialnej prezentującej wyniki projektu.

WSTęp Równaniem diofantycznym nazywamy równanie, z reguły o kilku niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w liczbach całkowitych. Przykłady:

WSTęp Nazwa równań diofantycznych pochodzi od imienia greckiego matematyka Diofantosa (III w. n. e.). Znany jest epigram o długości jego zycia: Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant - a dzieki przedziwnej sztuce zmarłego i wiek Jego zdradzi ci ten głaz: Chłopcem przez szóstą część życia pozostać bóg mu pozwolił, Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część życia minęła, A znowu żywota gdy przebył część siódma, Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu bóg. Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka. Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiek ojca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades. Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczb Jeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał sie z życiem.

WSTęp Tłumacząc na język bardziej przystępny mamy: 1/6 życia zajęła mu młodość, potem po 1/12 życia wyrosła mu broda, następnie po 1/7 życia ożenił się, po 5 latach urodził mu sie syn, syn żył połowę krócej od ojca, ojciec zmarł 4 lata po synu. Oblicz ile lat żył Diofantos!

Równania diofantyczne Twierdzenie 1. Równanie diofantyczne posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

Równania diofantyczne Twierdzenie 1. Ponadto jeśli para liczb całkowitych x0, y0 jest rozwiązaniem równania to wszystkie rozwiązania dane są wzorami: gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.

Równania diofantyczne Przykład 1. Znajdź rozwiązania równania Do znalezienia NWD liczb 309 i 186 zastosujemy algorytm Euklidesa, zatem: Zatem

Równania diofantyczne Przykład 1. Znajdź rozwiązania równania Ponadto Zatem

Równania diofantyczne Przykład 1. Znajdź rozwiązania równania Stąd rozwiązaniem naszego równania diofantycznego jest para liczb: Aby znaleźć pozostałe rozwiązania, zastosujemy dalszą część twierdzenia 1, mianowicie:

Równania diofantyczne Przykład 1. Znajdź rozwiązania równania W konsekwencji mamy: gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.

Równania diofantyczne Przykład 2. Ile biletów po 3 zł i po 5 zł mozna kupic za 149 zł, jesli nalezy wydac wszystkie pieniadze? Niech: x – ilość biletów po 3 zł y – ilość biletów po 5 zł Zatem musimy rozwiązać następujące równanie diofantyczne: Postępujemy podobnie jak w rozwiązaniu poprzedniego równania.

Równania diofantyczne Przykład 2. Ile biletów po 3 zł i po 5 zł mozna kupic za 149 zł, jesli nalezy wydac wszystkie pieniadze? Zatem Mnożąc obustronnie przez 149 otrzymujemy:

Równania diofantyczne Przykład 2. Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć wszystkie pieniądze? No tak. Ale przecież nie można kupić -149 biletów, zatem szukamy teraz pozostałych rozwiązań. Rozwiązania muszą być liczbami nieujemnymi, czyli:

Równania diofantyczne Przykład 2. Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć wszystkie pieniądze? Zatem bilety można kupić na następujące sposoby: t -59 -58 -57 -56 -55 -54 -53 -52 -51 -50 x 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48 y 25 22 19 16 10 7 4 1

Równania diofantyczne Twierdzenie 2. Równanie diofantyczne posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

Równania diofantyczne Przykład 3. Znajdź rozwiązania równania Niech Otrzymujemy zatem układ równań: Rozwiązując drugie równanie metodą z poprzednich przykładów mamy:

Równania diofantyczne Przykład 3. Znajdź rozwiązania równania Łatwo zauważyć, że w pierwszym równaniu zachodzi zależność: czyli

Równania diofantyczne Przykład 3. Znajdź rozwiązania równania Podstawiając rozwiązanie do rozwiązań z pierwszego równania, otrzymujemy następujące równania końcowe: gdzie u i t są dowolnymi liczbami całkowitymi.

Bibliografia Wykaz najważniejszych źródeł, z których korzystaliśmy tworząc niniejszą prezentację: W. Sierpiński, Wstęp do teorii liczb, PZWS, Warszawa 1956 Wykład dr Andrzeja Sładka z Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach, listopad 2005

Prezentację dla Państwa przygotowali: Oliwia Grudziecka Martyna Jakubowska Joanna Opałka Agata Pawłowska Magdalena Socha Daniela Świadek Monika Wałkiewicz Małgorzata Wyciślak Magdalena Żurawska Denis Özer

Dziękujemy za uwagę!