← KOLEJNY SLAJD →

REBUSY MATEMATYCZNE

REBUSY MATEMATYCZNE

OKRĄG I KOŁO

(Plansza z gabinetu matematycznego.) OKRĄG I KOŁO (Plansza z gabinetu matematycznego.)

S – środek okręgu (koła) r – promień okręgu (koła) o(S, r) – okrąg o środku S i promieniu r Okręgiem o środku S i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od punktu S o odcinek r. Odległość każdego punktu okręgu od środka S jest równa promieniowi tego okręgu.

k(S, r) – koło o środku S i promieniu r Kołem o środku S i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od środka koła o odcinek mniejszy lub równy promieniowi r. Odległość każdego punktu koła od środka S jest równa lub mniejsza od promienia tego koła.

PROMIEŃ KOŁA

PROMIEŃ KOŁA

PROMIEŃ KOŁA

Okręgiem nazywamy zbiór punktów (x, y) płaszczyzny euklidesowej spełniającej równość: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 Koło w kartezjańskim układzie współrzędnych jest opisane wzorem: (x – x0)2 + (y – y0)2 ≤ r2, gdzie r – promień koła; r > 0 S(x0, y0) – środek okręgu (koła)

promień r – odcinek łączący środek okręgu (koła) z punktem okręgu cięciwa – odcinek łączący dwa różne punkty okręgu średnica d – cięciwa przechodząca przez środek okręgu (koła) d = 2r średnica – najdłuższa cięciwa sieczna – prosta mająca z okręgiem dwa różne punkty wspólne

styczna do okręgu – prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny punkt styczności – punkt wspólny prostej i okręgu Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia o końcu w punkcie styczności.

Ob = 2r obwód okręgu (koła) P = r2 pole koła r – promień okręgu (koła)  ≈ 3, 14  ≈ 3, 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 .....

okrąg – posiada obwód i nie posiada pola Ob > 0 P = 0 koło – posiada obwód i pole Ob > 0 P > 0 Okrąg jest brzegiem koła.

ŁUK OKRĘGU, WYCINEK I ODCINEK KOŁA

łuk AB – odcinek okręgu wycinek koła – część koła zawarta między dwoma promieniami odcinek koła – część koła odcięta cięciwą

 – kąt środkowy oparty na łuku AB L = r/1800 długość łuku okręgu Pw = r2/3600 pole wycinka koła Pw = Lr/2 pole wycinka koła Po = Pw – PΔ pole odcinka koła

WZAJEMNE POŁOŻENIE DWÓCH OKRĘGÓW

S1, S2 – środki okręgów r1, r2 – promienie okręgów o(S1, r1) – okrąg o środku S1 i promieniu r1 o(S2, r2) – okrąg o środku S2 i promieniu r2 r1, r2 > 0 d = S1S2 odległość środków dwóch okręgów wartość bezwzględna liczby a, moduł liczby a – odległość liczby a od zera, np. –2 = 2, 0 = 0, 2 = 2

OKRĘGI ROZŁĄCZNE

OKRĘGI ROZŁĄCZNE okręgi rozłączne – okręgi, które nie mają ze sobą żadnych punktów wspólnych d > r1 + r2  jeden okrąg leży na zewnątrz drugiego;  odległość między środkami tych okręgów jest większa od sumy długości ich promieni;  może być: r1 = r2 lub r1 ≠ r2. 0 < d <  r1 – r2   jeden okrąg leży wewnątrz drugiego;  odległość między środkami tych okręgów jest większa od zera (dodatnia) i mniejsza od wartości bezwzględnej z różnicy długości ich promieni;  zawsze musi być: r1 ≠ r2.

OKRĘGI WSPÓŁŚRODKOWE

OKRĘGI WSPÓŁŚRODKOWE ROZŁĄCZNE okręgi współśrodkowe – okręgi, które mają ten sam środek (S1 = S2) d = 0 S1 = S2 (mają ten sam środek) r1 ≠ r2 (promienie są różnej długości)  okręgi nie mają punktów wspólnych;  jeden okrąg leży wewnątrz drugiego;  okręgi o wspólnym środku;  odległość między środkami tych okręgów jest równa zero.

OKRĘGI WSPÓŁŚRODKOWE POKRYWAJĄCE SIĘ okręgi pokrywające się (identyczne) – okręgi, które posiadają wspólny środek i mają równe promienie; należą do nich te same punkty (S1 = S2 i r1 = r2 ) d = 0  okręgi mają ze sobą nieskończenie wiele punktów wspólnych;  odległość między środkami tych okręgów jest równa zero.

OKRĘGI STYCZNE okręgi styczne – okręgi, które nie mają ze sobą dokładnie jeden punkt wspólny

OKRĘGI ZEWNĘTRZNIE STYCZNE A – punkt styczności okręgów d = r1 + r2  okręgi mają ze sobą dokładnie jeden punkt wspólny;  jeden z nich leży na zewnątrz drugiego;  odległość między środkami tych okręgów jest równa sumie długości ich promieni;  może być: r1 = r2 lub r1 ≠ r2.

OKRĘGI WEWNĘTRZNIE STYCZNE A – punkt styczności okręgów d =  r1 – r2   okręgi mają ze sobą dokładnie jeden punkt wspólny;  jeden okrąg leży wewnątrz drugiego;  odległość między środkami tych okręgów jest równa wartości bezwzględnej z różnicy długości ich promieni;  zawsze musi być: r1 ≠ r2.

OKRĘGI PRZECINAJĄCE SIĘ okręgi przecinające się – okręgi, które mają ze sobą dwa różne punkty wspólne A i B

OKRĘGI PRZECINAJĄCE SIĘ  r1 – r2 < d < r1 + r2  okręgi mają ze sobą dwa różne punkty wspólne;  odległość między środkami tych okręgów jest większa od wartości bezwzględnej z różnicy długości promieni tych okręgów i mniejsza od ich sumy;  może być: r1 = r2 lub r1 ≠ r2.

PIERŚCIEŃ KOŁOWY

PIERŚCIEŃ KOŁOWY

pierścień kołowy – w geometrii euklidesowej zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej ograniczony dwoma okręgami współśrodkowymi o środku S(x0, y0) i różnych promieniach R i r Pierścieniem kołowym nazywamy część wspólną dwóch kół o promieniach R oraz r (r < R), czyli podzbiór płaszczyzny opisywany układem równań: (x – x0)2 + (y – y0)2 ≤ R2 (x – x0)2 + (y – y0)2 ≥ r2 lub równoważnie: r ≤ √ {(x – x0)2 + (y – y0)2} ≤ R.

Ob = 2(R + r) obwód pierścienia kołowego Obwód pierścienia kołowego jest sumą obwodów kół (okręgów) o promieniach R i r (r < R). P = (R2 – r2) pole pierścienia kołowego Pole pierścienia kołowego jest różnicą pól kół o promieniach R i r (r < R).

Autor prezentacji: mgr Wioletta Nawrocka nauczyciel matematyki w Gimnazjum w Zespole Szkół im. Unii Europejskiej w Choczewie Prezentacja zawiera prace wykonane przez gimnazjalistów. rok szk. 2010/2011