Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych I Metoda bisekcji II Metoda siecznych III Metoda stycznych ( Newtona) Zakładają one, że funkcja jest ciągła na przedziale, w którym znajduje się pierwiastek pojedynczy (przedział izolacji pierwiastka), a rozwiązanie polega na poprawianiu kolejnych przybliżeń pierwiastka. Metody te stosuje się najczęściej, gdy przedział izolacji pierwiastka jest znany. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych Twierdzenie Bolzano-Cauchy’ ego Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b] i To między punktami a i b znajduje się co najmniej jeden pierwiastek równania Twierdzenie o przedziale izolacji pierwiastka Jeżeli w przedziale [a,b] są spełnione założenia twierdzenia Bolzano-Cauchy’ego i dodatkowo sgn f’(x)=const dla , to przedział ten jest przedziałem izolacji pierwiastka równania f(x)=0. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Przebieg funkcji w przedziale [a,b] – ustalanie przedziału izolacji pierwiastka równania nieliniowego f(x)=0 Sprawdzić, czy podany przedział [a,b] jest przedziałem izolacji jednego pierwiastka równania f(x)=0 Co najmniej jeden pierwiastek gdy f(a)*f(b)<0 ? Czy funkcja f’(x) ma stały znak? Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

I Metoda bisekcji (połowienia) Przedział izolacji pierwiastka [a,b] dla równania . Kolejne przybliżenia: Liczba iteracji k powinna być dobierana tak, aby: Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

I Metoda bisekcji (połowienia) Dokładność i-tego przybliżenia: Przykład: dla d1=0 i d2=7 oblicz pierwiastek równania f(d)=0 Pochodna funkcji f(d) w przedziale jest ujemna czyli ma stały znak Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Metoda bisekcji – zbieżność metody Kolejne punkty należą do przedziału izolacji pierwiastka oraz zachodzi: Metoda bisekcji jest metodą zbieżną. Metoda bisekcji jest zbieżna liniowo z wykładnikiem lokalnej zbieżności ρ=1 Zbieżność ma miejsce dla rzeczywistych funkcji ciągłych w przedziale [a,b], dla których Interpretacja geometryczna metody bisekcji Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Metoda siecznych (metoda cięciw) – metoda zbieżna Rozwiązanie równania f(x) = 0 jest przybliżone ciągiem miejsc zerowych cięciw (siecznych) poprowadzonych między punktami stanowiącymi końce kolejnych przedziałów izolacji. Założenie: funkcja f(x) klasy C2 w przedziale izolacji pierwiastka. Ciąg miejsc zerowych cięciw, poprowadzonych między punktami i stanowiącymi końce kolejnych przedziałów izolacji Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Metoda siecznych – metoda zbieżna Wstawiając y=0 i x=xi wyznaczamy i-te przybliżenia pierwiastka równania nieliniowego Punkt, w którym wartość funkcji f(x) ma taki sam znak jak i druga pochodna funkcji: f”(x) – pozostaje nieruchomy. Przypadki: ciąg rosnący ciąg malejący Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Zbieżność metody siecznych Ciąg {xi} jest monotoniczny i ograniczony, zatem posiada granicę g. Z granicy wynika zatem Współczynnik lokalnej zbieżności ρ1,618 Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Oszacowanie pierwiastka z niedomiarem Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Oszacowanie pierwiastka z nadmiarem Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Metoda siecznych – metoda zbieżna Błąd bezwzględny przybliżenia xi C jest zawarte w przedziale o końcach xi i α. Ponieważ f(α)=0 Gdzie: Oszacowanie błędu w niewielkim otoczeniu pierwiastka α można aproksymować: Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Metoda siecznych - przykład Wykorzystując metodę siecznych znaleźć pierwiastek równania Jako punkt nieruchomy – punkt Jako przybliżenie zerowe x0 punkt Wyniki obliczeń: Przykładowo dla drugiej iteracji xi f(xi) 1,150796 -1,570796 O,879802 -0,0522793 0,861163 -0,002272 0,860369 -0,000098 0,860335 -0,000004 0,860334 -0,000001 Uproszczone wersje metody siecznych: reguła falsi i metoda Steffensena posiadają złe własności numeryczne i aktualnie są rzadko stosowane. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Metoda stycznych (metoda Newtona) – metoda zbieżna Rozwiązanie równania f(x) = 0 jest przybliżone ciągiem miejsc zerowych stycznych do funkcji f(x) w przedziale izolacji pierwiastka [a,b]. Założenie: funkcja f(x) klasy C2 w przedziale izolacji pierwiastka. Równanie stycznej w punkcie o odciętej xi-1 Wstawiając y=0 i x=xi wyznaczamy i-te przybliżenia pierwiastka równania nieliniowego Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Twierdzenie o stycznych Jeżeli dany jest przedział <a,b> taki, że: wartości f(a) i f(b) mają przeciwne znaki, funkcja f”(x) jest ciągła i nie zmienia znaku na <a,b> Styczne do krzywej y=f(x) poprowadzone w punktach o odciętych a i b przecinają oś X wewnątrz przedziału <a,b>, wówczas równanie Ma dokładnie jeden pierwiastek α w przedziale <a,b> i metoda Newtona jest zbieżna do α dla dowolnego punktu startowego Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Metoda Newtona (stycznych) – metoda zbieżna Rozwinięcie w szereg Taylora wokół przybliżonego pierwiastka równania Oszacowanie błędu w niewielkim otoczeniu pierwiastka α można aproksymować: Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Metoda stycznych cd. Wybór pierwszego przybliżenia x1 zapewniający zbieżność metody Metoda Newtona jest lokalnie zbieżna kwadratowo (ρ=2) ze współczynnikiem C Proces iteracyjny metody Newtona może być rozbieżny, jeżeli druga pochodna nie ma stałego znaku w przedziale izolacji. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Wybór pierwszego przybliżenia w metodzie stycznych Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Wybór pierwszego przybliżenia w metodzie stycznych cd. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Metoda stycznych wariant uproszczony Przyjęto stały współczynnik kierunkowy obliczony dla pierwszej stycznej: Kolejne iteracje zbiegają wolniej do punktu x* Kryteria doboru punktu startowego są takie same Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic