DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH IM J. MARCIŃCA W KOŹMINIE WLKP. ID grupy: 97/93_MF_G1 Opiekun: MGR MARZENA KRAWCZYK Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW Semestr/rok szkolny: V / 2011-2012

LEONHARD EULER Czytajcie Eulera, czytajcie go – jest mistrzem nas wszystkich szwajcarski Matematyk i fizyk 1707-1783

WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW W 1752 Euler, wówczas profesor Akademii Nauk w Berlinie, odkrył zadziwiający związek między liczbami s, k, w ścian, krawędzi i wierzchołków dowolnego wielościanu wypukłego . s - k + w = 2.

NASZA PRACA PROJEKTOWA OTO PRZYGOTOWANE PRZEZ NAS MODELE DO BADAŃ

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA GRANIASTOSŁUPÓW Graniastosłup TO wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, A ściany boczne są równoległobokami. S=n+2 W=2n K=3n S + W- K=(n+2)+2n-3n=2

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA OSTROSŁUPÓW Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem ( podstawa ), a pozostałe ściany (ściany boczne ) są trójkątami o wspólnym wierzchołku. S=n+1 W=n+1 K=2n S + W- K=(n+1)+(n+1)-2n=2

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANU WYDRĄŻONEGO? W PROSTOPADŁOŚCIANIE WYDRĄZYLIŚMY GRANIASTOSŁUP PROSTY O PODSTAWIE TRÓJKATA PROSTOKĄTNEGO. Odkryliśmy, że: W 1813 roku Simon Antoine Jean Lhuilier udowodnił, ze dla wielościanów dziurami wzór Eulera przyjmuje postać W − K + S = 2 − 2g gdzie g jest liczba “dziur”.

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA BRYŁ PLATOŃSKICH ZBUDOWALIŚMY MODEL dwunastościanu foremnego S=12 W=30 K=20 S + W- K=12+30-20=2

O liczbie wielościanów foremnych możemy przekonać się z WZORU Eulera Oznaczmy: W - ilość wszystkich wierzchołków wielościanu, W ≥ 4, K - ilość jego wszystkich krawędzi, K ≥ 6, S - ilość ścian, S ≥ 4 p = ilość krawędzi w jednej ścianie, , p ≥ 3, q = ilość krawędzi przy jednym wierzchołku q ≥ 3. . Każda krawędź należy do dwóch ścian i łączy dwa wierzchołki. Stąd więc wynikają dwie zależności: Sp=2K     qW=2K Stąd : S= 2K/p, W = 2K/q, podstawiając do równania Eulera S + W - K = 2  dla wielościanów daje zależność: 2K/q +2K/p - K = 2 , która po podzieleniu stronami przez 2K daje równanie: 1/p +1/q= 1/2+ 1/K Ono oznacza, że 1/p + 1/q > 1/2.  Ten związek nie spełniają dowolne liczby naturalne p i q. Wybierając wszystkie pary  p ≥ 3,q ≥ 3 otrzymujemy tylko pary: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) i (5,3). Dla p ≥ 6 lub q ≥ 6 związek ten już nie zachodzi. Podstawiając wyznaczone pary liczb (p,q) do wzorów na W, S i K otrzymujemy wartości określające pięć wielościanów foremnych

ZBUDOWALIŚMY MODEL CZWOROŚCIANU ŚCIĘTEGO SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW PÓŁFOREMNYCH CZYLI ARCHIMEDESOWYCH ZBUDOWALIŚMY MODEL CZWOROŚCIANU ŚCIĘTEGO S=8 W=12 K=18 S + W- K=8+12-18=2

ZBUDOWALIŚMY MODEL SZEŚCIO-OŚMIOŚCIANU SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW PÓŁFOREMNYCH CZYLI ARCHIMEDESOWYCH ZBUDOWALIŚMY MODEL SZEŚCIO-OŚMIOŚCIANU S=14 W=12 K=24 S + W- K=14+12-24=2

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW CATALANA ZBUDOWALIŚMY MODEL TRZYDZIESTOŚCIANU ROMBOWEGO S=30 W=32 K=60 S + W- K=30+32-60=2

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW CATALANA ZBUDOWALIŚMY MODEL DWUNASTOŚCIANU ROMBOWEGO S=12 W=14 K=24 S + W- K=12+14-24=2

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW JOHNSONA ZBUDOWALIŚMY MODEL wydłużonej dwukopuły czworokątnej przekręconej S=26 W=28 K=52 S + W- K=26+28-52=2

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW WKLĘSŁYCH? ZBUDOWALIŚMY MODEL graniastosłupa prawidłowego pięciokątnego gwiaździstego S=12 W=20 K=30 S + W- K=12+20-30=2

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW WKLĘSŁYCH? Twierdzenie Eulera prawdziwe jest również dla wielu wielościanów innych niż wypukłe. Wystarczy założyć, żeby wielościan był homeomorficzny z kulą, a każda z jego ścian homeomorficzna z kołem.

GWIAZDA MORAWSKA powstaje w wyniku doklejenia prawidłowych ostrosłupów do ścian wielościanu archimedesowego zwanego sześcio-ośmiościanem rombowym małym – wzór eulera nie zachodzi

STELLA OCTANGULA OŚMIOŚCIAN GWIAŹDZISTY wielościan gwieździsty skonstruowany poprzez nałożenie na siebie dwóch przystających czworościanów foremnych lub stellację czworościanu foremnego. Inaczej mówiąc jest to czworościan foremny wydłużony o ostrosłupy doczepione do jego ścian. Posiada 12 krawędzi, 8 wierzchołków i 8(stellonych)/24 ściany będące trójkątami równobocznymi W pewnym sensie spełnia kryteria wielościanu foremnego, z wyjątkiem wymogu wypukłości

BIBLIOGRAFIA http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum http://www.math.edu.pl/bryly-platonski http://www.szkolnictwo.pl http://www.edukator.pl/portal-edukacyjny/matematyka/311.html http://www.jakubas.pl/konspekty/Tw-Eulera/Tw-Eulera.htm http://www.wiw.pl/delta/jeszcze_raz.asp http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/b_stereometria.php http://www.maximus.pl/bw-wielosciany_foremne-520.html http://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Skarbnica http://pl.wikipedia.org/wiki/Stereometria K. Starnawski, Wybrane zagadnienia z geometrii WPR M. Dobrowolska, Matematyka III Podręcznik GWO R. Kalina, Matematyka III Sens K. Sieńkowski Przygoda z niemożliwymi kształtami Encyklopedia szkolna Matematyka