Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: KATOLICKIE GIMNAZJUM IM. ŚW. S. KOSTKI ID grupy: 98/75_MF_G2 Opiekun: KATARZYNA ZAKRZEWSKA Kompetencja: MATEMATYCZNO – FIZYCZNA Temat projektowy: „W ŚWIECIE LICZB” Semestr/rok szkolny: II/2010-2011

Świat liczb w starożytności

Pochodzenie cyfr i liczb, wynalezienie” zera. Znaki za pomocą, których zapisujemy obecnie liczby, nazywamy cyframi. Wyraz cyfra pochodzi od arabskiego słowa sirf, które oznacza zero, jednak sam wynalazek tej cyfry zawdzięczamy nie arabom, a hindusom. Nie możemy ustalić dokładnej daty tego przełomowego odkrycia, które umożliwia nam nie tylko zapisywać liczby, ale również wykonywanie działań. Używamy dziesięciu cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 0. Umiejętności posługiwania się liczbami i nazywanie ich znacznie wyprzedziła umiejętność zapisywania ich. Stosowany obecnie system zapisywania liczb Europejczycy przejęli od Arabów, dlatego mówimy, że używamy cyfr arabskich, jednak są one pochodzenia hinduskiego. Najstarszym w Europie, znanym zapisem liczb w obecnym systemie jest data umieszczona na monetach wybitych przez Rogera z Sycylii w 1138r. Bardzo duży wpływ na rozpowszechnienie się obecnego sposobu zapisywania liczb wywarła również książka wydana w 1202r pt. ,,Liber Abaci” co oznacza książka o abakusie. Autor jest wyraźnie nastawiony na pokazanie niezwykłych zalet zapisywania liczb w układzie powstałym przez dołączenie znaku zero do znanych już i od dawna używanych pozostałych znaków od 1 do 9.

Liczenie na palcach Od najdawniejszych czasów do liczenia używane były palce. Początkowo do oznaczania liczb od jednego do dziesięciu używano te samej liczby palców, ale ten najprostszy sposób stał się szybko niewystarczający. Obmyślono więc, aby za pomocą odpowiednich pozycji palców lub ręki można było przedstawić odpowiednie liczby.

Liczydło sznurowe – peruwiańskie quipu Kolejnym sposobem notowania liczb było stosowanie węzłów, które rozpowszechniło się w starożytnej Persji, Rosji i Chinach. Istnieje aż do dziś m.in. w Nowej Gwinei, czy na Hawajach. Wyraz quipu oznacza w języku Inków węzeł. Taki rodzaj liczydła składał się z głównego sznura, do którego przymocowane były sznurki, niejednokrotnie różniące się kolorami. Węzły oznaczały liczby. Na końcu sznura umieszczono jednostki, w pewnym odstępie od nich dziesiątki, a w dalszych setki i tysiące.

Najstarsze liczydła - abak Najstarszym przyrządem do liczenia była prostokątna deska zwana abak. Wynalazcami tej „maszyny do liczenia” byli Grecy, a liczenie na niej przejęli najprawdopodobniej od Egipcjan. Liczenie na takim liczydle polegało na mechanicznym przesuwaniu kamyków od lewej do prawej. Liczenie na abaku rozpowszechniło się szeroko i przetrwało w różnych postaciach aż do naszych czasów.

System zapisywania liczb u Majów. Bardzo oryginalny system liczb stworzyło plemię indiańskie Majów. Byli oni twórcami wysoko rozwiniętej cywilizacji. Rozwinęli m.in.. pismo hieroglificzne i dwudziestkowy system zapisu matematycznego, prowadzili obserwacje astronomiczne i posługiwali się dokładnym systemem rachuby czasu. Już od początków naszej ery jednostki do czterech włącznie oznaczali kropkami, a nazywali je kin, czyli dzień, a liczbę pięć oznaczali za pomocą kreski poziomej

Inne układy zapisywania liczb W starożytnym świecie liczb wykształciły się również inne układy ich zapisywania m. in. : Układ pozycyjny dziesiątkowy Układy: piątkowy i siódemkowy Układy: dwunastkowy i dwójkowy Układ trójkowy – Układ odważników Układ dziesiątkowy – Układ „kopowy”

Liczby Olbrzymy Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk.

W zależności od n liczby noszą różne nazwy w oparciu o nazwy łacińskie W zależności od n liczby noszą różne nazwy w oparciu o nazwy łacińskie. Z łaciny: bi- oznacza dwu- (stąd bilion) tri- oznacza trój- (stąd trylion) quadri- oznacza czwór- (stąd kwadrylion) quintus oznacza piąty (stąd kwintylion) sextus oznacza szósty (stąd sekstylion) septimus oznacza siódmy (stąd septylion)

octavus oznacza ósmy (stąd oktylion) nonus oznacza dziewiąty (stąd nonilion lub nonylion) deimus oznacza dziesiąty (stąd decylion) undecimus oznacza jedenasty (stąd undecylion) duodecimus oznacza dwunasty (stąd duodecylion) centum oznacza sto, lub centesimus-setny (stąd centylion)

JEDEN 100 = 1 TYSIĄC 103 = 1000 MILION 106= 1 000 000 MILIARD 109 = 1 000 000 000

BILION 1012 = 1000 000 000 000 BILIARD 1015 = 1000 000 000 000 000 TRYLION 1018 = 1000 000 000 000 000 000 TRYLIARD 1021= 1 000 000 000 000 000 000 000

KWADRYLION 1024= 1 000 000 000 000 000 000 000 000 KWADRYLIARD 1027= 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 KWINTYLION 1030= 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 KWINTYLIARD 1033= 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

SEKSTYLION SEKSTYLIARD SEPTYLION SEPTYLIARD 1036= 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 SEKSTYLIARD 1039= 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 SEPTYLION 1042= 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 SEPTYLIARD 1045= 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

OKTYLION 1048 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 OKTYLIARD 1051 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

NONYLION 1054 NONILIARD 1057 DECYLION 1060 DECYLIARD 1063 NONYLION 1054 NONILIARD 1057 DECYLION 1060 DECYLIARD 1063 ... … CENTYLION 10600

Zapisz w notacji wykładniczej: 2 300 000 000 000 000 000 Rozwiązanie: 2,3 x 1018 b) 4 400 000 000 000 000 000 000 000 000 4,4 x 1027 5 789 000 000 000 000 000 000 000 000 000 5,789 x 1030

2. Zapisz liczby olbrzymie: a) 7,8 x 1051 7 800 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 b) 9,5 x 1027 9 500 000 000 000 000 000 000 000 000 c) 4,2 x 1036 4 200 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 d) 6,743 x 1018 6 743 000 000 000 000 000 e) 1,739 x 1048 1 739 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Podsumowanie:

Ciąg Fibonacciego Rodzaje liczb Łamigłówki arytmetyczne

Ciąg Fibonacciego Ciąg Fibonacciego to taki ciąg liczb, którego kolejne liczby są sumą dwóch poprzednich. To wygląda tak: 1-wsza liczba: 0 2-ga liczba : 1 3-cia liczba: 0+1=1 4-rta liczba: 1+1=2 … Inaczej przedstawia się to tak:

Leonardo z Pizy (Fibonacci) podał ten ciąg w 1202 roku w swoim dziele „Liber abaci” jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików. W XIX w. Edward Lucas spopularyzował nazywanie ciągu jako ciąg Fibonacciego. Ciąg Fibonacciego w przyrodzie: Liście na pędzie rośliny- wyrastają w określonym porządku. Ich nasady znajdują się na spirali opasującej pęd. Ziarna słonecznika- układają się wzdłuż łuków biegnących w obydwie strony. liczba łuków jest różna, ale obie są liczbami Fibonacciego, zwykle 34 i 55. Inne rośliny to kalafior, ananas i szyszka.

W ten sam sposób przyrastają gałęzie dębów czy innych drzew.

    Gdyby przyjrzeć się z bliska łuskom szyszki, ananasa, ziarnom na tarczy słonecznika czy kwiatom kalafiora – można zauważyć, że układają się spiralnie, a ich przyrost również podlega regułom słynnego ciągu – wystarczy policzyć liczbę prawo- i lewoskrętnych spiral – pestki słonecznika czy różyczki kalafiora ułożone są wzdłuż logarytmicznych krzywych, które grupami biegną w różnych kierunkach, na przykład 34 lewoskrętne i 55 prawoskrętnych. A 34 i 55 to nic innego, jak liczby Fibonacciego.

W przypadku słonecznika również jego ulistnienie podporządkowane jest ciągowi Fibonacciego – liście wyrastają wokół łodygi, w maksymalny sposób wykorzystując dostęp do światła i wody spływającej wzdłuż łodygi, czyli – gdybyśmy spojrzeli z góry – jeden drugiego nie zasłania, bowiem cechują się spiralną filotaksją (ulistnieniem), a liście układają się wzdłuż helisy – spirali okrążającej łodygę. Określa się ją, licząc obroty, a także odległości między liczbami – dla wielu roślin te liczby są liczbami Fibonacciego.

Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu Leonarda z Pizy jest spirala Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju: Widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną. Wyraźnie widać, że (pomijając dwa pierwsze, najmniejsze) kolejne kwadraty są większe od poprzedzających dokładnie o sumę ich ścianek, co zgodne jest z regułą naszego ciągu.

Zadanie! Jeśli na początku był 1 królik, miesiąc później 1, to ile królików przybędzie w siódmym miesiącu? No właśnie?

Z tabelki wynika, że w siódmym miesiącu przybędzie 34 królików. Wyrazy ciągu Fibonacciego to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181.

RODZAJE LICZB

Liczby lustrzane to takie liczby, które czytane od tyłu wyglądają tak samo jak liczba z pary czytana normalnie np. 56 i 65, 89 i 98. Liczby bliźniacze to 2 liczby pierwsze różniące się 2 np. 3 i 5, 5 i 7 … Największą parą liczb bliźniaczych jest 16869987339975∙2171960 ±1. Liczby palindromiczne to takie liczby, które tak samo czytamy od początku i od końca np. 343, 66, 797… Liczby automorficzne to liczby, których kwadraty kończą się taką samą cyfrą np. 62 =36.

Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. Pierwsza liczba doskonała to 6. D6 = { 1, 2, 3, 6 } 6 = 1 + 2 + 3 Druga liczba doskonała to 28. D6 = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 } 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Łamigłówki 2 matki i 2 córki pojechały na piknik. Wzięły do podziału 3 jabłka i o dziwo wszystkie dostały po jednym. Jak to możliwe? Rybak złowił szczupaka. Na pytanie, jak wielka jest zdobycz, odpowiedział zagadkowo jakby chciał wybadać inteligencję pytającego: "Łeb szczupaka mierzy 12 cm, tułów ma długość taką jak łeb i ogon razem, przy czym trzy czwarte ogona mierzą tyle ile łeb i czwarta część głowy". Ile ważył szczupak? Mamy na dwóch wyświetlaczach liczby 58 i 58. Wystarczy wykonać jeden ruch na każdej z liczb, by ich różnica wyniosła 39. Jakie wyjdą liczby po owym ruchu (zmiany wykonuje się poprzez dotknięcie kwadracika)?

W koszyku jest sześć jabłek W koszyku jest sześć jabłek. W jaki sposób można je rozdać sześciorgu dzieciom, aby każde z nich dostało po jednym jabłku i by jedno zostało w koszyku? 5 pająków łapie 5 much w ciągu 5 godzin. Ile pająków łapie 100 much w ciągu 100 godzin? W kwadratowym pokoju w każdym z czterech kątów siedzi myszka. Naprzeciwko każdej myszki siedzi również myszka. Także na ogonku każdej myszki siedzi myszka. Ile jest myszek?

NASZE ROZWIĄZANIA 2 matki i 2 córki zjadły po jednym jabłku z trzech. To znaczy, że były 3 kobiety: babcia (matka), matka (matka i córka) i córka! Ogon szczupaka mierzy: 12 cm (łeb) + 3 cm (1/4 łba) - 1/4 ogona. Stąd 3/4 ogona = 15 cm. Cały ogon mierzył 20 cm. Tułów mierzy 32 cm. Cały szczupak ma 64 cm długości. Niczego sobie sztuka! Po lewej będzie 98, a po prawej 59! Pięciorgu dzieciom dajemy po jednym jabłku, a szóstemu wręczamy jabłko... w koszu! I wszystko się zgadza: każde dziecko dostaje po jabłku i jedno jest w koszu. Sto pająków łapie w ciągu stu godzin 2000 much.  Nie dwanaście tylko cztery myszki. Każda siedzi przecież na własnym ogonku.

LICZBA PI

HISTORIA LICZBY PI Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był właśnie trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych - papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była przedstawiana jako (169)2≈3,160493... W III wieku przed Chrystusem, Archimedes zaproponował ciąg oszacowań. Wcisnął ten stosunek między dwa ułamki. Pisał tak: W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych. Poszukiwana liczba według Archimedesa zawarta jest między 3+1071 i 3+17. Doszedł do tego obliczając pola zawarte w wielokątach foremnych o 96 bokach.

Czym jest liczba Pi ? Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415... Ale dlaczego w przybliżeniu? Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku. Rodzi się pytanie: jakiego rodzaju to liczba? Wiemy, że jest bardzo bliska 22/7≈ 3,14 , ale nie ma tu równości. Bliższa jest wartości 355/113≈ 3,1415929203... , ale nawet ta liczba nie określa dokładnej wartości.

Czy jest możliwe, żeby liczba pi była równa pewnemu ułamkowi tym samym należącą do zbioru liczb wymiernych? Odpowiedź brzmi: nie, jak pokazał Johann Lambert w 1761 roku. Lambert udowodnił, że π nie jest pierwiastkiem kwadratowym żadnego ułamka. Ostatecznie w roku 1882 niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann rozstrzygnął podstawowy problem dotyczący liczby i wykazał, że π jest liczbą przestępną czyli taką, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Liczba pi jest więc liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się "byle jak", nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy.

Nazwa liczby Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go Leonhard Euler używając tego zapisu w dziele Analiza. Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa "peryferia". Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem.

:D

Ciekawostki W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku ! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych. Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat.

NAUKA KOLEJNYCH CYFR ‘pi’ Żeby zapamiętać kolejne cyfry liczby „pi” można nauczyć się wierszyka w którym długości każdego słowa jest równa kolejnym cyfrą ludolfiny np. : Jaś o kole z werwą dyskutuje bo dobrze temat ten czuje zastąpił ludolfinę słowami wierszyka czy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika ? Raz w maju, w drugą niedzielę Pi liczył cyfry pan Felek. Pomnożył, wysumował, Cyferki zanotował, Ale ma ich niewiele... 3,1415926535897932384626

Liczby pierwsze

Liczba pierwsza Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę oraz samą siebie, np.2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 itp. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznacza się symbolem Liczby naturalne większe od 1, które nie są liczbami pierwszymi, nazywa się liczbami złożonymi. Z tego wynika, że liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone(0 nie jest liczbą pierwszą, bo ma nieskończoną liczbę dzielników; 1 nie jest liczbą pierwszą, bo ma tylko jeden dzielnik (samą siebie).

Jak znaleźć liczbę pierwszą? Najłatwiejszym sposobem na to, by wyznaczyć liczbę pierwszą jest skorzystanie z sita Eratostenesa.

Sito Eratostenesa Najpierw należy sporządzić tablicę kolejnych liczb pierwszych nie większych od danej liczby n(u nas n nich będzie30). Liczba 2, pierwsza z wypisanych liczb, jest liczbą pierwszą; pozostawia się ją i wykreśla się wszystkie pozostałe liczby podzielne przez 2, gdyż nie są to na pewno liczby pierwsze. Z liczb pozostałych po tym wykreślaniu kolejną po liczbie 2 jest liczba 3. Pozostawia się ją jako liczbę pierwszą i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 3, które nie zostały jeszcze poprzednio wykreślone. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Z pozostałych teraz liczb kolejną po 2 i 3 jest liczba 5; pozostawia się ją i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 5, które nie zostały dotychczas wykreślone. Kontynuując to wykreślanie, dojdzie się wreszcie do tego, że wszystkie liczby, które nie są pierwsze zostaną wykreślone, pozostaną tylko liczby pierwsze nie większe od n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 W naszym przypadku (gdzie za n podstawiliśmy 30) jesteśmy w stanie określić, że liczbami pierwszymi mniejszymi od 30 są:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Oto portret twórcy „sita”:

Liczby pierwsze o ciekawej budowie Największą znaną liczbą pierwszą jest liczba 243112609−1, która jest jedną z liczb Mersenne'a. Istnieją liczby pierwsze składające się z samych jedynek Ciekawe liczby pierwsze:188888881, 199999991, 722222227, 111181111, 111191111, 777767777, 123484321, 987646789, 727272727, 919191919, 72020207. Para liczb pierwszych, których różnica wynosi 2, jest nazywana parą liczb bliźniaczych np. 11 i 13.

Ciekawe ciągi liczbowe

Ciekawe ciągi liczbowe: Liczby Kwadratowe Liczby Trójkątne Trójkąt Pascala

Trójkąt Pascala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 57

Jak stworzyć trójkąt Pascala ??? 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Zaczynamy pisząc jedynkę W drugim wierszu piszemy 2 jedynki Pod spodem piszemy sumę dwóch liczb stojących obok siebie (1+1 = 2) i dodajemy jedynki po bokach W podobny sposób piszemy dalej Trójkąt Pascala można ciągnąć w nieskończoność, ale zakończę tutaj

Zastosowanie Trójkąta Pascala Trójkąt Pascala ma zastosowanie we wzorach skróconego mnożenia. Każdemu rzędowi w trójkącie Pascala są przypisane kolejne potęgi poczynając od zerowej. Dla wzoru skróconego mnożenia (a+b)n wzory są zapisane poniżej Potęgi Trójkąt Pascala Wzory skróconego mnożenia 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 2 3 4 5 6 7 8 (a+b)0=1 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 (a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 (a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7 (a+b)8=a8+8a7b+28a6b2+56a5b3+70a4b4+56a3b5+28a2b6+8ab7+b8

Liczby Kwadratowe Liczba kwadratowa jest to liczba podniesiona do kwadratu, czyli do drugiej potęgi. Np. kwadratem liczby jest 4 bo (22=2*2=4). Pitagoras stwierdził, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat. 12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 1=12 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 1+3+5+7+9=52 1+3+5+7+9+11=62 1+3+5+7+9+11+13=72 1+3+5+7+9+11+13+15=82 1+3+5+7+9+11+13+15+17=92 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102 Przykład pierwszych 20 liczb kwadratowych Obserwacja Pitagorasa

Liczby Trójkątne T1=1 T2=1+2=3 T3=1+2+3=6 T4=1+2+3+4=10 Liczba trójkątna (T) to liczba, którą można przedstawić w postaci sumy kolejnych liczb naturalnych (n), zaczynając od jedynki. T1=1 T2=1+2=3 T3=1+2+3=6 T4=1+2+3+4=10 T5=1+2+3+4+5=15 T6=1+2+3+4+5+6=21 T7=1+2+3+4+5+6+7=28 T8=1+2+3+4+5+6+7+8=36 T9=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 T10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

Kwadraty magiczne

Kwadrat magiczny jest to tablica składająca się z n wierszy i n kolumn w którą wpisano n2 różnych dodatnich liczb naturalnych. Suma liczb w każdym wierszu, kolumnie i przekątnej kwadratu magicznego jest taka sama. Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.

Oto jeden z przykładowych kwadratów magicznych…

Własności kwadratów magicznych: Jeśli do każdej liczby w kwadracie dodamy tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma magiczna wzrośnie o n·k. Jeśli każdą liczbę w kwadracie pomnożymy przez tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma wzrośnie k-krotnie. Jeśli weźmiemy dwa kwadraty magiczne o tym samym rozmiarze i sumach magicznych S1 i S2, i dodamy liczby na odpowiadających sobie pozycjach, to otrzymany w wyniku tego dodawania nowy kwadrat też będzie magiczny, a jego suma magiczna wyniesie S1+S2

Sumę magiczną kwadratu można szybko wyznaczać za pomocą wzoru S= n(X+Y) : 2 , gdzie X - pierwsza liczba kwadratu magicznego (w lewym górnym rogu), Y - ostatnia liczba kwadratu (w prawym dolnym rogu), n - liczba wierszy (czyli także kolumn) kwadratu.

sprawdźmy czy to naprawdę działa… 4 x (16+1): 2 = 34

A teraz trochę historii… Tak zwany "Idealny Kwadrat" stworzył ok. 2800 roku p.n.e. chiński filozof i budowniczy Lo Shu. Jego kwadrat składa się z dziewięciu pól z wpisanymi liczbami od 1 do 9. Starożytni Chińczycy i Hindusi wierzyli w ich magiczną moc i dlatego umieszczali je na amuletach i talizmanach. Chińscy architekci radzili stosować magiczny kwadrat podczas projektowania domów, pałaców i miast. Najbardziej znaną budowlą, gdzie podczas projektowania ściśle zastosowano zasadę idealnego kwadratu jest Cesarski Pałac w Pekinie.

W IX wieku naszej ery, tajemnicę Magicznego Kwadratu poznali Arabowie, a do Europy wiedza o nim dotarła, za sprawą mieszkającego w Konstantynopolu Greka - Moscopulosa - dopiero w XIV wieku. Magia Magicznych Kwadratów jest to matematyczny szyfr, a kontemplacja "doskonałego" układu liczb. Wzmacnia koncentrację oraz pomaga w szybkim kojarzeniu różnych faktów.

Istnieją też inne przykłady kwadratów magicznych i nie tylko…

Kwadraty magiczne z ramką 9 25 26 23 18 10 16 1 35 34 4 21 20 32 6 7 29 17 24 8 30 31 5 13 15 33 3 2 36 22 27 12 11 14 19 28 Bardziej zaawansowaną formą kwadratu magicznego jest kwadrat magiczny z ramką. Składa się on z dwóch kwadratów magicznych. Większy kwadrat zawiera mniejszy w środku.

Magiczne trójkąty Magiczny trójkąt ma równe sumy liczb na swoich bokach. Zaprezentowany trójkąt jest magiczny na dwa sposoby, gdyż zarówno sumy liczb na jego bokach, jak i ich kwadratów są równe.

Kwadraty magiczne zadania

Uzupełnij puste pola kwadratów tak by suma rzędów i kolumn wynosiła 10.

Nasze rozwiązania Wyniki: Karol 20sec Szymon 11sec Mariusz 15sec Iza 21sec

Kwadraty magiczne III stopnia

Kwadraty magiczne IV stopnia Wpisz brakujące liczby naturalne od 1 do 16 tak, aby powstał kwadrat magiczny, w którym suma liczb w każdej kolumnie, w każdym wierszu i na  przekątnych jest równa 34.

Kwadraty magiczne V stopnia Wpisz brakujące liczby naturalne od 0 do 24 tak, aby powstał kwadrat magiczny, w którym suma liczb w każdej kolumnie, w każdym wierszu i na  przekątnych jest równa 60.

DEFINICJA Wzór: Prawdopodobieństwo liczba zdarzeń z wybranym przez nas wynikiem Zdarzenia liczba wszystkich zdarzeń Probabilistyka to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Inne nazwy tej dziedziny to rachunek prawdopodobieństwa oraz teoria prawdopodobieństwa.

RZUT KOSTKĄ Na jeden rzut kostką przypada 6 możliwych wyników. Jednak przy dwóch rzutach mamy już ich 36. Dwa rzuty kostką są zdarzeniami niezależnymi, gdyż pierwszy rzut nie ma wpływu na drugi, ponieważ ,,kość nie ma pamięci’’.

• • • • • • • • • • • • ⅟6 ⅟6 ⅟6 ⅟6 ⅟6 ⅟6

MONETY Rzut monetą jest najszybszym i najprostszym sposobem wyboru spośród dwóch możliwości. Tak powszechnie nam znane i często używane wyznaczają, np.: która drużyna ma zacząć itp. Rzut monetą jest prosty i uczciwy, lecz co wylosujemy orzeł czy reszka? Prawdopodobieństwo wylosowania reszki jest równe 50/50 tak samo jak orła.

1 liczba rzutów, w których wypadł orzeł lub reszka 2 Prawdopodobieństwo liczba wszystkich rzutów 2 1 Czyli, prawdopodobieństwo orła LUB reszki wynosi ½ + ½ = 1

TRÓJKĄT PASCALA To układ liczb, który pozwala rozwiązać mnóstwo morderczych problemów. Ma również zastosowanie w probabilistyce. Trójkąt Pascala

Zastosowanie trójkąta Pascala w rzucie monetą. W drugim rzędzie trójkąta Pascala są liczby 1- 2- 1 tzn. że w rzucie dwoma monetami występują wyniki: oo, or, ro, rr, gdzie r to reszka, a o to orzeł. W dziesiątym rzędzie mamy już liczby 1-10-45-120-210-252-210-120-45-10-1 Wiersz 10: 1 10 45 120 210 252 Wyniki: 10o 9o 8o 7o 6o 5o 4o 3o 2o 1o 0o 0r 1r 2r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r 10r Wszystkich możliwości rzutów mamy 1024 = 210 Szansa wyrzucenia 5o i 5r: 252÷1024≈ 24,61%

TOTOLOTEK I PERMUTACJE* Każdy z nas chciałby wygrać kiedyś w totolotku. Szansa jest mała ale… Szansa trafienia szóstki w totka= 1÷[(49!)÷(6! X 43!)]=1÷ 13 983 816 *permutacja-to różne ustawienia tego samego zestawu, zbioru składników