Podstawy mechaniki klasycznej Fizyka dla humanistów Podstawy mechaniki klasycznej Andrzej Łukasik Zakład Ontologii i Teorii Poznania Instytut Filozofii UMCS http://bacon.umcs.lublin.pl/~lukasik www.filozofia.umcs.lublin.pl

XVII w. – matematyczne przyrodoznawstwo „Filozofia zapisana jest w tej ogromnej księdze, którą stale mamy otwartą przed naszymi oczami; myślę o wszechświecie; lecz nie można jej zrozumieć, jeśli się wpierw nie nauczymy rozumieć języka i pojmować znaki, jakimi została zapisana. Zapisana została zaś w języku matematyki, a jej literami są trójkąty, koła i inne figury geometryczne, bez których niepodobna pojąć z niej ludzkim umysłem ani słowa; bez nich jest to błądzenie po mrocznym labiryncie” (Galileo Galilei, Il saggiatore). Dawniej: matematyka jako język przyrody Współcześnie: matematyka jako język nauki o przyrodzie Wcześniejsze próby opisu zjawiska ruchu (Zenon, Arystoteles Kartezjusz) – język potoczny [nieefektywne] Od Galileusza i Newtona – opis ruchu w języku matematyki [okazały się skuteczne]

Arystoteles vs Galileusz Prędkość spadającego ciała jest proporcjonalna do jego ciężaru Nie można pominąć oporu ośrodka, ponieważ próżnia nie istnieje w przyrodzie spadek swobodny http://www.youtube.com/watch?v=KDp1tiUsZw8 Wszystkie ciała spadają z takim samym przyspieszeniem niezależnie od ciężaru Przy pominięciu oporu ośrodka (tzn. w próżni)

Ziemia jest nieruchoma Kopernik – Ziemia porusza się wokół Słońca… Arystoteles – wyróżniony układ odniesienia związany ze środkiem Wszechświata (Ziemi) Ziemia jest nieruchoma Kopernik – Ziemia porusza się wokół Słońca… Problem: czy (jeśli Ziemia się porusza) wystrzelony pionowo w górę z działa pocisk trafi z powrotem w lufę działa? Problem: po jakiej trajektorii porusza się przedmiot spadający z masztu statku gdy statek płynie? Względem brzegu Względem pokładu

Względność ruchu Układ odniesienia Ruch ciał można rozpatrywać jedynie względem innych ciał Inercjalny układ odniesienia Każdy układ odniesienia poruszający się ze stałą prędkością v względem inercjalnego układu odniesienia jest układem inercjalnym – wszystkie układy inercjalne są sobie równoważne Trajektorie ciał w różnych układach inercjalnych mogą wyglądać różnie, ale prawa ruchu są we wszystkich układach inercjalnych takie same

Zasada względności „Nie istnieją zjawiska, które charakteryzują się własnościami wymagającymi pojęcia bezwzględnego spoczynku” [N. David Mermin, Czas na czas. Klucz do teorii Einsteina, tłum. J. Przystawa, Prószyński i S-ka, Warszawa 2008, s. 19] Zasada względności jako przykład zasad niezmienniczości „Wszystkie rzeczy pozostają takie same, bez względu na to Gdzie jesteś (niezmienniczość względem przesunięcia w przestrzeni – jednorodność przestrzeni) Kiedy jesteś (… w czasie – jednorodność czasu) W którą stronę patrzysz (… obrotów w przestrzeni – izotropowość przestrzeni) Jak szybko się poruszasz (dla ruchu jednostajnego) – ZASADA WZGLĘDNOŚCI”

Zasada względności „jeśli jakiś obiekt ma pewne własności w układzie odniesienia, w którym spoczywa, wówczas, jeżeli ten sam obiekt porusza się ruchem jednostajnym, to będzie miał takie same własności w układzie odniesienia, który porusza się z tą samą prędkością wraz z nim” [Mermin 23] W innym układzie może mieć inne własności – np. zjawisko Dopplera Ruch jest stanem ciała (Newton) a nie procesem zmiany stanu (Arystoteles)

Zastosowanie zasady względności Zderzenia dwóch kul sprężystych Przed zderzeniem (v1 = v2 = 5): Po zderzeniu (v1 = v2 = 5):

Zastosowanie zasady względności (1) Zderzenia dwóch kul sprężystych Przed zderzeniem (v1 = 10, v2 = 0): Po zderzeniu (v1 = ? v2 = ?):

Zastosowanie zasady względności (1) Zderzenia dwóch kul sprężystych Przed zderzeniem (v1 = 10, v2 = 0) [w układzie „spoczywającym”]: Niech U porusza się w prawo z prędkością w = 5 – w tym U kule poruszają się naprzeciw siebie z v1 = v2 = 5 W układzie U: v1 = v2 = 5 (w przeciwnych kierunkach) Zatem po zderzeniu: v1 = 5, v2 = 5 (w układzie U) – sytuacja analogiczna do poprzedniej

Zastosowanie zasady względności (1) Zderzenia dwóch kul sprężystych Ponieważ U porusza się w prawo z w = 5, w układzie „spoczywającym” v1 = 0, v2 = 10 v1 = 5 – 5 = 0 v2 = 5 + 5 = 10 Ilustracja potęgi zasady względności

Zastosowanie zasady względności (2) Zderzenia dwóch kul niesprężystych (po zderzeniu kule sklejają się ze sobą, obiekt pozostaje nieruchomy) Przed zderzeniem (v1 = v2 = 5): Po zderzeniu (v1 = v2 = 0):

Zastosowanie zasady względności (2) Zderzenia dwóch kul niesprężystych (po zderzeniu sklejają się ze sobą, obiekt pozostaje nieruchomy) Przed zderzeniem (v1 = 10; v2 = 0): Co się stanie po zderzeniu?

Zastosowanie zasady względności (2) W układzie U poruszającym się w prawo z w = 5: Przed zderzeniem (v1 = v2 = 5): Po zderzeniu (v1 = v2 = 0) [w układzie U]: Ponieważ układ U porusza się w prawo z w = 5, w układzie „spoczywającym” v1 = v2 = 5

Zastosowanie zasady względności (3) Zderzenia dwóch kul sprężystych Przed zderzeniem (v1 = 10, v2 = 0) [w układzie „spoczywającym”]: Po zderzeniu (v1 = 10, v2 = 0) [w układzie „spoczywającym”]: Na przykład zderzenie piłki pingpongowej z kulą do kręgli

Zastosowanie zasady względności (3) Co się stanie? Przed zderzeniem (v1 = 0, v2 = 10) [w układzie „spoczywającym”]:

Zastosowanie zasady względności (3) Niech U porusza się w lewo z w = 10 Wówczas przed zderzeniem (v1 = 10, v2 = 0) [w układzie „poruszającym się”]: Po zderzeniu v1 = 10, v2 = 0 (jak poprzednio)

Zastosowanie zasady względności (3) W układzie „spoczywającym” Po zderzeniu (v1 = 20, v2 = 10) Po zderzeniu v1 = 10 + 10 = 20, v2 = 10

Zastosowanie zasady względności (4) W układzie „spoczywającym” Przed zderzeniem (v1 = 5, v2 = 5) Co się stanie po zderzeniu?

Zastosowanie zasady względności (4) W układzie „poruszającym się” w lewo z w = 5, v1 = 10, v2 = 0 (duża kula spoczywa) Zetem po zderzeniu v1 = 10, v2 = 0

Zastosowanie zasady względności (4) W układzie „spoczywającym” v1 = 15, v2 = 5 Po zderzeniu mała kulka porusza się z prędkością 3 razy większą!

Matematyczne przyrodoznawstwo Idealizacja (np. punkt materialny, pręt doskonale sztywny, jednorodne pole grawitacyjne) – założenie idealizowalności przyrody Matematyczny opis zjawisk Eksperyment

Zasady dynamiki Newtona (sformułowanie Newtona z Principia) I. „Każde ciało pozostaje w stanie spoczynku lub jednostajnego ruchu po linii prostej, dopóki nie jest zmuszone do zmiany tego stanu przez wywierane nań siły”. II. „Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły i odbywa się w kierunku prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona”. III. „Do każdego działania istnieje zawsze przeciwnie skierowana reakcja; lub wzajemne działania na siebie dwóch ciał są zawsze równe sobie i skierowane w przeciwne kierunki”.

Liczby, wektory, wielkości skalarne i wektorowe Przykłady wielkości skalarnych – energia, temperatura, czas Przykłady wielkości wektorowych – prędkość, pęd, przyspieszenie, siła Składowe wektora w kartezjańskim układzie odniesienia Moduł (długość) wektora

Dodawanie i odejmowanie wektorów

Iloczyn skalarny Iloczynem skalarnym wektorów nazywany liczbę:

Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektorów nazywamy wektor: Moment pędu Dlaczego łatwo zachować równowagę na rowerze podczas jazdy, natomiast trudno, gdy stoimy? [zasada zachowania momentu pędu]

Funkcja, granica, pochodna, różniczka Funkcja, dziedzina, przeciwdziedzina Granica funkcji f(x) jest ciągła w punkcie a wykres funkcji f(x) w przedziale zamkniętym a < x < b – fragment łuku krzywej y = f (x) Jeśli f (x) jest ciągła w przedziale a < x < b i jeśli dla pewnego punktu x istnieje granica to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f (x) w punkcie x

Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej Interpretacja geometryczna pochodnej – pochodna funkcji w pewnym punkcie P jest równa tangensowi nachylenia stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie Sieczna styczna Interpretacja fizyczna pochodnej – szybkość zmian wielkości fizycznej reprezentowanej przez daną funkcję; jeśli y’ = 0, to wielkość fizyczna jest stała w czasie

UKŁAD ODNIESIENIA — dowolny układ ciał materialnych, względem którego określa się  położenie dowolnego ciała w przestrzeni w dowolnej chwili czasu. Matematycznym modelem układu odniesienia jest układ współrzędnych (np. Kartezjański układ współrzędnych, który stanowią trzy proste przecinające się pod kątem prostym), który służy do określenia położenia ciała względem układu odniesienia. Szczególne znaczenia w fizyce ma  inercjalny układ odniesienia. NERCJALNY UKŁAD ODNIESIENIA —  układ odniesienia, względem którego każde ciało nie poddane działaniu  sił porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (tzn. bez  przyspieszenia) lub pozostaje w spoczynku. Każdy układ poruszający się względem danego układu inercjalnego ruchem jednostajnym prostoliniowym jest układem inercjalnym. Istnienie inercjalnego układu odniesienia jest postulowane przez pierwszą  zasadę dynamiki Newtona. Zgodnie z  zasadą względności wszystkie układy inercjalne są całkowicie równouprawnione i wszystkie prawa fizyki mają w nich taką samą postać.

POŁOŻENIE — wektor o początku umiejscowionym w początku  układu współrzędnych i końcu w punkcie, w którym znajduje się poruszające się ciało (scil. punkt materialny). Znajomość zależności wektora położenia od czasu pozwala na obliczenie  prędkości,  przyspieszenia, drogi i trajektorii (toru ruchu) poruszającego się ciała. PRZEMIESZCZENIE – wielkość wektorowa, różnica między wektorem położenia w czasie t + Δt i wektorem położenia w czasie t PRĘDKOŚĆ ŚREDNIA – stosunek przebytej odległości do czasu PRĘDKOŚĆ CHWILOWA – pochodna wektora położenia po czasie PRZYSPIESZENIE – pochodna wektora prędkości po czasie

Podstawowe pojęcia mechaniki klasycznej BEZWŁADNOŚĆ — własność wszystkich ciał, polegająca na tym, że do uzyskania  przyspieszenia względem  inercjalnego układu odniesienia niezbędne jest działanie  siły; w przeciwnym wypadku ciała poruszają się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym) lub spoczywają. Miarą bezwładności jest  masa (inercyjna). MASA — wielkość fizyczna charakteryzująca  bezwładność ciała (tzw. masa bezwładna) albo jego zdolność do oddziaływania  grawitacyjnego (tzw. masa ważka). W filozofii jeden z  atrybutów materii. W  dynamice klasycznej I. Newtona masa jest wielkością stałą, miarą „ilości materii”. W ogólniejszej dynamice relatywistycznej A. Einsteina masa ciała zależy od jego prędkości v względem  inercjalnego układu odniesienia: CIĘŻAR — 1) siła, z jaką Ziemia (albo Księżyc czy inna planeta itp.) przyciąga dane ciało znajdujące się blisko jej powierzchni.

SIŁA — wektorowa wielkość fizyczna stanowiąca miarę oddziaływań między ciałami. W mechanice klasycznej siły działają przez bezpośredni kontakt (np. zderzenia i tarcie) lub na odległość (np.  grawitacja), przy czym zakłada się, że oddziaływania mogą być przenoszone w sposób natychmiastowy, tzn. z nieskończenie wielką prędkością. Efektem działania sił jest nadanie ciału przyspieszenia ( zasady dynamiki Newtona) lub ich odkształcenie (deformacja). W szczególnej  teorii względności wszelkie oddziaływania rozchodzą się ze skończoną prędkością, nie większą niż prędkość światła w próżni c. PĘD — wielkość wektorowa równa iloczynowi  masy i  prędkości ciała: p = mv.

Zasady dynamiki Newtona (zapis współczesny) Jeżeli na ciało nie działa siła (lub działające siły się równoważą, to ciało porusza się ruchem jednostajnie prostoliniowym (lub pozostaje w spoczynku) – postulat istnienia układów inercjalnych Przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do działającej siły a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała Akcja równa jest reakcji

Prawo powszechnego ciążenia każde dwa ciała o masach m1 i m2 przyciągają się siłą wprost proporcjonalną do iloczynu tych mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r między nimi G - stała grawitacji

ENERGIA — jedna z podstawowych wielkości fizycznych, charakteryzująca wszelkiego rodzaju procesy w przyrodzie. W mechanice klasycznej wyróżnia się m.in.  energię kinetyczną i  energię potencjalną. Energia podlega  zasadzie zachowania, tzn. energia nigdy nie powstaje i nie gnie, może jedynie zmienić formę z jednej na drugą. Na przykład ciało, spadając z pewnej wysokości nad powierzchnią Ziemi, traci stopniowo  energię potencjalną, wskutek czego zwiększa się jego  prędkość, a zatem i  energia kinetyczna. W  mechanice kwantowej zasada zachowania energii ograniczona jest przez  zasadę nieoznaczoności.

ENERGIA KINETYCZNA — część  energii ciała związana z ruchem względem pewnego  układu odniesienia. W mechanice klasycznej energia E ciała o  masie m, poruszającego się z prędkością v wyraża się wzorem:   .  Według ogólniejszej mechaniki relatywistycznej (szczególna  teoria względności) całkowitą energię ciała wyraża wzór: gdzie m0 jest masą spoczynkową, tzn.  masą ciała w układzie odniesienia, w którym ciało spoczywa, c ­— prędkością światła w próżni. Energia kinetyczna jest więc równa różnicy między energią całkowitą a energią spoczynkową:

ENERGIA POTENCJALNA — część  energii ciała związana z pewnym typem  sił (tzw. sił potencjalnych); jest funkcją wyłącznie współrzędnych. Na przykład energia potencjalna ciała o masie m, w polu sił  grawitacyjnych Ziemi w odległości h od jej powierzchni wyraża się wzorem Ep = mgh, gdzie g jest wartością przyspieszenia ziemskiego (g = 9,81 m s–2). (Przyjęto, że energia potencjalna na powierzchni Ziemi wynosi zero.) ENERGIA SPOCZYNKOWA —  energia ciała spoczywającego w danym  inercjalnym układzie odniesienia. Według szczególnej  teorii względności wyraża się wzorem:    gdzie mo jest  masą spoczynkową ciała, c — prędkością światła w próżni (c = 3∙108 m/s). Ze względu na wielką wartość prędkości światła w próżni, w każdym ciele zmagazynowana jest olbrzymia energia, która może być wyzwolona na przykład w procesie  anihilacji materii.

GRAWITACJA — jedno z czterech (obok  elektromagnetyzmu, oddziaływań  jądrowych silnych i słabych) podstawowych oddziaływań w przyrodzie. Klasyczną teorię grawitacji — prawo powszechnego ciążenia — sformułował Newton:  . Każde dwa ciała o masach m i M przyciągają się  siłą F wprost proporcjonalną do iloczynu tych  mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r między nimi. (G = 6, 67  10–11 N m2 kg–2 jest uniwersalną stałą fizyczną, zwaną stałą grawitacji.) Siła grawitacji jest uniwersalna, tzn. działa między wszystkimi obiektami materialnymi i jest zawsze siłą przyciągania. Z tego względu, pomimo iż jest najsłabsza ze znanych sił w przyrodzie, odgrywa w skali kosmicznej dominującą rolę — dzięki niej istnieją m.in. gwiazdy i układy planetarne. Współczesną teorią grawitacji powszechnej jest ogólna teoria względności A. Einsteina (1916), która zamiast pojęcia siły działającej między ciałami, wprowadza pojęcie zakrzywienia  czasoprzestrzeni.

ZASADY ZACHOWANIA — zasady stwierdzające, że w układach zamkniętych (tzn. takich, które nie oddziałują z obiektami fizycznymi znajdującymi się na zewnątrz nich) pewne wielkości fizyczne zachowują stałe w czasie wartości. Przykładami ważnych zasad zachowania w fizyce są zasady zachowania:  pędu,  momentu pędu,  energii,  ładunku elektrycznego.

Pytania kontrolne Co to jest inercjalny układ odniesienia? Na czym polega względność ruchu? Sformułuj zasadę względności i podaj przykłady zastosowania. Zdefiniuj iloczyn wektorowy i iloczyn skalarny wektorów. Podaj przykłady wielkości skalarnych i wektorowych. Podaj definicje: granicy funkcji, pochodnej, różniczki. Przedstaw geometryczną i fizyczną interpretację pochodnej. Zdefiniuj: wektor położenia, wektor przemieszczenia, prędkość średnią i chwilową, przyspieszenie średnie i chwilowe. Co to jest siła? Co to jest bezwładność? Sformułuj zasady dynamiki Newtona. Sformułuj prawo powszechnego ciążenia. Czym się różni ciężar od masy? www.umcs.filozofia.lublin.pl

Literatura www.umcs.filozofia.lublin.pl