Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Noblistów Polskich w Kleczewie ID grupy: 98/54_MF_G2 Opiekun: Maria Kosińska Kompetencja: mat-fiz. Temat projektowy: Od równań liniowych do stycznych do krzywych drugiego stopnia Semestr/rok szkolny: V 2011/2012

I. Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą Na początku naszego tematu projektowego zajęliśmy się równaniami pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Wyszukiwaliśmy ciekawe zadania i je rozwiązywaliśmy. Korzystaliśmy z ciekawej książki „Lilavati” Szczepana Jeleńskiego, w której oprócz ciekawostek historycznych jest mnóstwo interesujących zadań oraz anegdot, gier, zabaw, sztuk i figlów matematycznych.

Strona tytułowa książki

O tytule… Oto jedne z pierwszych jej słów, zaraz po wyjaśnieniu, że taki tytuł to imię dziewczyny, córki Bhaskary, jednego z najsłynniejszych matematyków. Żył w Indiach w XII wieku. Lˆılˆavatˆı to znaczy urocza, czarująca! Taka zapewne była owa dziewczyna hinduska obdarzona niepospolitym talentem matematycznym, ale taka jest przede wszystkim sama MATEMATYKA.

Zadanie 1 W Lilavati znajdujemy – prawie na samym początku książki – zadanie, którego rozwiązanie otrzymujemy z równania, a które w niezliczonych wersjach i z rozmaitymi fabułami rozsiane jest po różnych książkach i nawet podręcznikach szkolnych. Przytoczymy je tutaj za Karolem Żerą (Wtóra próba na matematyka, XVIII wiek). – Pomagaj Bóg stom pannom! – młodzieniec mimo idąc rzekł do panien pracujących. – Nie masz nas stu, jako ty powiadasz – na to jedna z panien odrzekła – ale by nas było dwa razy tak wiele jako jest i połowica tego i czwarta znowu część do tego i ty sam, wtedy właśnie będzie nas dopiero całe sto.

rozwiązanie Urok zadania polega oczywiście na rozwiązaniu prościutkiego równania 2x + 0,5x + 0, 25x + 1 = 100 2,75x = 100 – 1 2,75x = 99 x = 36

Wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalne Zadanie 2. Pociąg przejechał 300 km w ciągu 4 godzin. Ile kilometrów przejechał w ciągu 6 godzin? Rozwiązanie 1. Rozwiązanie arytmetyczne (gdy dane są bardzo proste): 300 km – 4 godz. /:2 150 km – 2 godz. /*3 450 km – 6 godz. Rozwiązanie 2. Rozwiązanie za pomocą proporcji – zakładamy proporcjonalność prostą i wy- korzystujemy jej własność (stały iloraz odpowiednich wielkości): y =a x (a > 0), ˛d ska otrzymujemy y = ax (x, y > 0) KOMENTARZ DO ZADANIA 1. Rozwiązanie arytmetyczne polega na tzw. „sprowadzeniu do jedności” (pociąg pokona 75 km w ciągu 1 h, więc 6·75 km w ciągu 6 h) lub posłużeniu się odpowiednimi działaniami (jak w przykładzie). Rozwiązanie algebraiczne polega na zastosowaniu proporcji lub ułożeniu równania. We wszystkich przypadkach należy wyraźnie sformułować założenia.

Zadanie 3 Ośmiu robotników naprawia odcinek drogi w ciągu 3 dni. W ciągu ilu dni wykona tę samą pracę sześciu robotników? 8 rob. - 3 dni 6 rob. - x dni 8 : 6 = x : 3 (iloczyn wyrazów środkowych jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych) 6x = 24 x = 4

II. Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi Zadanie 4 Dziadek z babcią maja razem 140 lat. Dziadek ma dwa razy tyle co babcia, ile babcia miała wtedy, kiedy dziadek miał tyle ile babcia ma teraz. Ile lat ma obecnie babcia a ile dziadek ? Rozwiązanie: x – tyle lat ma babcia teraz; y – tyle lat miała babcia kiedyś; x – tyle lat miał dziadek kiedyś zgodnie z treścią zadania:, „kiedy dziadek miał tyle, ile babcia ma teraz.” 2y – tyle lat ma dziadek teraz: „Dziadek ma dwa razy tyle lat, ile babcia miała wtedy, kiedy dziadek miał tyle, ile babcia ma teraz.” x – y – to było tyle lat temu; 140 – tyle lat mają babcia z dziadkiem teraz; 2y + x – tyle lat mają babcia z dziadkiem teraz; x + x – y – tyle lat ma dziadek teraz;

cd… Po zrobieniu analizy możemy ułożyć układ równań, a więc wystarczy przyrównać ze sobą te same wyrażenia. {2y = x + x – y; 2y + x = 140} {2y = 2x – y; 2y + x = 140} {y = 2x; 2y + x = 140} do drugiego równania wstawiamy y = 2x i otrzymujemy: 2 · 2x + x = 140 (5x = 140) / 5 x = 140 / 5 x = 60 tyle lat ma teraz babcia; wstawiamy do równania 2y + x = 140 zamiast x 60 i otrzymujemy: 2y + 60 = 140 2y = 140 – 60 2y = 80 tyle lat ma teraz dziadek; Odpowiedź na pytanie: „Ile lat ma teraz dziadek, a ile babcia?” brzmi: Babcia ma teraz 60 lat, a dziadek ma 80 lat.

Sposoby rozwiązywania układów równań METODA PODSTAWIANIA Rozwiązanie y = 8 - 2x – podstawienie 3x + 8 – 2x = 11 x = 11 – 8 x = 3 y = 8 – 2* 3 y = 8 – 6 y = 2 Metoda ta polega na wyznaczeniu z któregoś z równań jednej niewiadomej i podstawieniu otrzymanego wyrażenia do drugiego równania w miejsce wyznaczonej niewiadomej.

METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW Przykład Rozwiązanie Metoda ta polega na pomnożeniu obu stron jednego lub obu równań przez takie liczby, aby przy jednej z niewiadomych współczynnik w pierwszym równaniu był przeciwny do współczynnika w drugim z równań. Po dodaniu równań stronami otrzymamy równanie, w którym będzie występowała tylko jedna niewiadoma. 2x + 3x + y – y = 8 + 12 5x = 20 /: 5 x = 4 2* 4 + y = 8 8 + y = 8 y = 8 - 8 y = 0

METODA GRAFICZNA Aby rozwiązać układ równań metodą graficzną, należy każde z równań przedstawić w postaci y = ax + b (a, b – dowolne liczby; x, y – niewiadome), następnie narysować wykres tych zależności w jednym układzie współrzędnych. Współrzędne punktu przecięcia się wykresów są rozwiązaniem układu równań. Współrzędne tego punktu (2,1) są rozwiązaniem układu równań:

PRZYKŁAD 1. Rozwiąż graficznie układ równań: Aby narysować wykresy przedstawiające równania musimy dla każdego z nich znaleźć co najmniej 2 punkty przez które przechodzi wykres.

PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy y = -5x + 11 Wybieram dowolną liczbę (najlepiej taką, aby łatwo było zaznaczyć punkt w układzie współrzędnych i wykonać obliczenia) i wstawiam do równania w miejsce x, następnie obliczam y. Dostaję w ten sposób punkt o współrzędnych (x; y). x = 2 y = -5 ∙ 2 + 11 = -10 + 11 = -1 (2, -1) x = 3 y = -5 ∙ 3 + 11 = -15 + 11 = -4 (3; -4)

PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy. y = 2x – 3 x = 0 y = 2∙ 0 – 3 = 0 – 3 = -3 (0; -3) x = 1 y = 2 ∙ 1 – 3 = 2 – 3 = -1 (1; -1) Zaznaczamy punkty w układzie współrzędnych i rysujemy wykresy. Współrzędne punktu w którym linie się przecinają są rozwiązaniem układu równań.

PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy. Wykres

PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy. Linie przecinają się w punkcie (2;1), a więc rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x = 2, y = 1. UWAGA! Graficzna metoda rozwiązywania układów równań jest niedokładna. Wykresy przez nas sporządzane zawszę zawierają pewne błędy, wynikające chociażby z grubości stosowanych przyborów do pisania. Nie zawszę jesteśmy w stanie dokładnie odczytać współrzędne punktu przecięcia się linii, zwłaszcza kiedy rozwiązaniem układu równań są ułamki. Aby upewnić się, czy odczytane liczby są rozwiązaniem układu równań, należy sprawdzić, czy spełniają oba równania (należy podstawić je do równań i sprawdzić, czy otrzymujemy równości prawdziwe).

Zanim pojawią się wzory rozwiążmy dowolny układ równań. Metoda wyznacznikowa To nie wszystko o układach równań… Istnieje jeszcze jedna metoda rozwiązywania układów równań – to metoda wyznacznikowa. Obliczamy trzy wyznaczniki i w zależności od ich wartości wiemy czy układ ma rozwiązania czy nie. Zanim pojawią się wzory rozwiążmy dowolny układ równań.

Ciąg dalszy Obliczamy najpierw wyznacznik główny W – tworzymy dwie kolumny: kolumna czerwona to współczynniki znajdujące się przed niewiadomą x , natomiast kolumna zielona to współczynniki przed y

cd. Obliczamy wyznacznik Wx: Obliczamy wyznacznik Wy: Pierwszą kolumnę tworzymy z wyrazów wolnych, a druga pozostaje bez zmian. Druga kolumna to wyrazy wolne z układu równań.

CD. Wyznacznik główny W jest różny od zera, dlatego układ równań ma jedno rozwiązanie, które obliczamy ze wzoru: Zbiorem rozwiązań układu równań jest para liczb:

CD. wyznacznik główny DEFINICJE: Układ równań liniowych można rozwiązać stosując metodę wyznaczników: wyznacznik główny wyznacznik Wx wyznacznik Wy

CD. Układ równań: ma jedno rozwiązanie, jeżeli: W ≠ 0 układ taki nazywamy układem oznaczonym b) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli : W = 0 i Wx = 0 i Wy = 0 układ taki nazywamy nieoznaczonym c) nie ma rozwiązań, jeżeli: W = 0 i ( Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0 ) układ taki nazywamy sprzecznym

Przykład 1. Metodą wyznacznikową rozwiąż układ równań: Najpierw uporządkujemy równania w układzie. Obliczamy trzy wyznaczniki:

Wszystkie trzy obliczone wyznaczniki mają wartość 0 W=0 i Wx=0 i Wy=0 dlatego układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony).

Przykład 2. Y Oblicz pole figury ograniczonej prostymi: y=0, y=x, y=-2x+8 Najpierw narysujemy przybliżony wykres, aby powstał odpowiedni obszar, którego pole policzymy. Otrzymaną figurą jest trójkąt o wierzchołkach: A, B, C. Prosta AB to prosta o równaniu: y=0 Prosta AC to prosta o równaniu: y=x Prosta BC to prosta o równaniu: y=-2x+8 C A B X

Wyznaczamy współrzędne punktu C – punktu przecięcia się prostych o równaniach: y=x i y=-2x+8 Tworzymy układ równań: Obliczamy wyznaczniki:

C= Obliczamy długość podstawy i wysokości trójkąta ABC. Pole obszaru wynosi j2

III. Równania KWADRATOWE Równania kwadratowe, to równania z jedną niewiadomą x, ale pojawia się w nich x2. Można je rozwiązać następującymi sposobami: Pierwiastkowaniem Wyłączaniem wspólnego czynnika przed nawias Wzorami skróconego mnożenia Stosując wyróżnik

Zadanie 1 Małpować też trzeba umieć. Oto zadanie z Lilavati, ale pochodzące z XII w. Dwie małpy siedziały na drzewie: jedna na wierzchołku, druga na wysokości 10 łokci. Druga małpa chcąc napić się wody w źródle odległym o 40 łokci zlazła z drzewa; pierwsza skoczyła z wierzchołka wprost do tego źródła po przeciwprostokątnej. Przebyły tę samą drogę. Powiedz, człowieku światły, ile wysokości miało drzewo, a zobaczę, ile masz sprawności w obliczaniu.

cd… Zadanie nietrudne. Tak nietrudne, że . . . kilka lat temu zostało wykorzystane na egzaminie wstępnym do liceum w jednym z województw centralnej Polski. Wywołało to falę krytyki, niemalże oburzenia społecznego. Wybitni uczeni pisywali sążniste listy z uzasadnieniem, że małpa nie mogła skoczyć z drzewa do źródła odległego o 40 łokci po linii prostej, że grawitacja, parabola, że nawet Newton (nie mówiąc już o Einsteinie) nie pozwala małpie na takie wygłupy. Na odpowiednim kuratorium nie zostawiono suchej nitki.

ROZWIĄZANIE x - wysokość drzewa 402 + x2 = 502 1600 + x2 = 2500 x2 = 2500-1600 x2 = 900 x = √900 x = 30 Odp: Wysokość drzewa wynosi 30 łokci. X-10

Poniższe zadania pochodzą z książki „Stare polskie zadania z matematyki” Witolda Wiesława. „Najstarsze teksty w tym zbiorze zadań pochodzą z XVI w., a więc z okresu, w którym coraz bardziej powszechna staje się w Polsce książka drukowana, a drukarze powstających licznie oficyn drukarskich wyraźnie starają się pisownię udoskonalić, uprościć.”

ZADANIE 2. Kupuie kto pewną liczbę łokci materyi , za które płaci złotych 204. Drugą razą kupuie pięcią łokciami więcey niż pierwszą inney materyi, którey łokieć płaci czterema złotemi drożey , i wydaie złotych 352. Ileż łokci kupił i za iaką cenę tak pierwszey iak drugiey materyi? ROZWIĄZANIE: Nazwawszy liczbę łokci pierwszey materyi przez x, iey cenę przez y; będzie liczba łokci maeryi drugiey x +5 , cena y+4. Z warunków otrzymujemy dwa zrównania xy=204 (x+5)(y+4)=352 czyli xy+4x+5y=332.

Cd. Wyrzuciwszy z nich y będzie : x2 -32x+255=0 Stąd po rozwiązaniu wypadną dwie wartości x=15 i x= 17. Podstawuiąc ie koleją w pierwsze zrównanie znaydziemy y=13+ 3∕5 i y=12. Więc albo pierwszey materyi kupiono łokci 15 po złotych 13 i groszy 18, a drugiey łokci 20 po złotych 17 i groszy 18; albo pierwszey łokci 17 po złotych 12, a drugiey łokci 22 po złotych 16.

Zadanie 3. Mam prostokąt dwa razy tak długi, iak szeroki: dodaję do każdego boku po 1 stopie, i będę miał powierzchnię większą 19 stóp kwadratowych od pierwszey. Jakiż jest ten prostokąt? ROZWIĄZANIE: x - krótszy bok 2x = 12 2x - dłuższy bok Odp: Prostokąt ma boki 6 i 12 stóp. (2x+1)(x+1) – 19 = 2x*x 2x2 + 2x + x + 1 – 19 = 2x2 2x2 - 2x2 + 3x = 18 3x = 18 x = 6

IV. Krzywe stopnia drugiego Funkcją kwadratową nazywamy funkcję o równaniu y=ax2+bx+c gdzie a≠0 , b i c są dowolne. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Sumę ax2+bx+c nazywamy trójmianem kwadratowym. Wykres funkcji y=x2 Ramiona paraboli są skierowane w górę, jest tak zawsze, gdy współczynnik a jest większy od 0 (a>0, w tym wypadku równy 1).

Wykres funkcji y=−x2 Gdy a<0, ramiona paraboli są skierowane w dół. Aby otrzymać wykres tej funkcji wystarczy wykonać symetrię poprzedniego wykresu względem osi OX.

Równania kwadratowe Znajdowanie rozwiązań równania kwadratowego ax2+bx+c=0, lub inaczej szukanie pierwiastków równania polega na znajdowaniu takiego argumentu x, dla którego parabola dana równaniem y=ax2+bx+c przecina oś OX. Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego Δ nazywamy wyrażenie b2−4ac.

Właściwości wyróżnika trójmianu kwadratowego: Dla równania w postaci: ax2+bx+c=0, Δ=b2−4ac 1. Jeżeli Δ<0, to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. 2. Jeżeli Δ=0, to równanie ma dwa takie same rozwiązania: x= − 3. Jeżeli Δ>0, to równanie ma dwa różne rozwiązania:

Przykład 1. Rozwiązanie graficzne układu Na niebiesko zaznaczono wykres pierwszej nierówności, na czerwono - drugiej. Zakreskowana figura, to graficzne rozwiązanie układu.

RÓWNANIE Okręgu Okrąg o środku (0,0) i promieniu r ma równanie: x2 + y2 = r2 Okrąg o środku (a,b) i promieniu r ma równanie: (x - a)2 + (y - b)2 = r2 S r S r

Przykład 2. Rozwiążemy układ równań: Zatem układ ma dwa rozwiązania. Są to pary liczb (2,2) oraz (-2,-2).

Wykresy obu równań powinny się przecinać właśnie w tych punktach Wykresy obu równań powinny się przecinać właśnie w tych punktach. Pierwsze równanie jest równaniem okręgu o środku S(0,0) i promieniu, wykresem drugiego równania jest prosta.

Prezentację przygotowali: Garczyńska Karolina Grzelaczyk Agata Grzelak Karolina Jankowiak Magdalena Jasiak Ewelina Lewandowska Karina Majewska Agata Okupniarek Natalia Piekarska Kinga Rogaliński Dawid Szafrański Łukasz Twardowski Jakub Wiśniewska Sabina Zwolińska Angelika

W TRAKCIE PRACY

Dziękujemy za obejrzenie prezentacji