Dane informacyjne : Nazwy szkół: IV Liceum Ogólnokształcące w Gorzowie Wlkp. LO im. Henryka Sienkiewicza we Wrześni ID grup: 97/16_MF_G1 97/65_MF_G1 Opiekunowie: mgr Monika Zedel mgr Justyna Rewers Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka Semestr/rok szkolny: II/2010/2011

Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp.  

Pierwsze znane zagadnienia z rachunku prawdopodobieństwa dotyczyły gier hazardowych, w szczególności gry w kości. Mimo, że gra znana była już w starożytności, pierwsze teoretyczne zainteresowanie tą grą przejawiali dopiero matematycy francuscy z XVII w. Pierre de Fermat i Blaise Pascal.   Pierre de Fermat Blaise Pascal

Cel rachunku prawdopodobieństwa   Celem rachunku prawdopodobieństwa jest poszukiwanie sposobu mierzenia tej szansy, czyli określenia prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia losowego.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Sposób liczenia prawdopodobieństwa podał po raz pierwszy Pierre Simon de Laplace w roku 1812. Twierdzenie to brzmi: Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A nazywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich możliwych przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki wzajemnie się wykluczają i są jednakowo możliwe.   P(A) = |liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających A| |liczba wszystkich zdarzeń elementarnych|

Niech Ω będzie skończonym wzorem wszystkich zdarzeń elementarnych Niech Ω będzie skończonym wzorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli zajście każdego zdarzenia elementarnego jest jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A ⊂ Ω jest równe: P(A) = |A| |Ω| |A|- liczba elementów zbioru A |Ω|- liczba elementów zbioru Ω. Pierre Simon de Laplace

Własności prawdopodobieństwa 0≤ P (A) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω P (Ω) = 1 Ω - zdarzenie pewne P (Ø) = 0 Ø - zdarzenie niemożliwe (pusty zbiór Ω) P (A) ≤ P (B) gdy A ⊂ B ⊂ Ω P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B), dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω, zatem P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B) dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω.

P(A’) = 1 – P(A) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(B\A) = P(B) – P(A) Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem: P(A’) = 1 – P(A) Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli P(A) ≤ P(B) to P(B\A) = P(B) – P(A)

o prawdopodobieństwie całkowitym Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Jeżeli zdarzenia B1, B2, ..., B ⊂ Ω spełniają warunki: 1. Bi ∩ Bj = Ø dla 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, i ≠ j 2. B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω, 3. P (Bi) > 0 dla 1 ≤ i ≤ n to dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω zachodzi równość: P (A) = P (A | B1) · P (B1) + P (A | B2) · P (B2) + ... + P (A | Bn)· P (Bn)

Zdarzenia losowe   To zdarzenia, które mogą wystąpić, ale ich zajścia nie można przewidzieć. To wyniki eksperymentu losowego, którym może być np.: opisywany w szkole rzut kostką do gry lub monetą, losowy wybór elementu z określonego zbioru, obserwacja zjawisk o charakterze losowym w otaczającym nas świecie. Dla zdarzeń losowych chcemy badać szansę ich zajścia.

i prawdopodobieństwo warunkowe Zdarzenia niezależne i prawdopodobieństwo warunkowe Zdarzenia niezależne Zdarzenia A ⊂ Ω, B ⊂ Ω są niezależne, gdy P (A ∩ B) = P (A) · P (B) Prawdopodobieństwo warunkowe Niech A, B ⊂ Ω będą zdarzeniami, przy czym P (B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym P (A | B) zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę: P(A|B) = P(A ∩ B) P(B)

( ) Schemat Bernoulliego n k . . p q p + q = 1 Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego wyraża się wzorem : n k ( ) . . k n-k p q p + q = 1 gdzie: p- prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie, q- prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie.

Kombinatoryka

Kombinatoryka Kombinatoryka to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, teorii grafów, teorii informacji i innym działom matematyki stosowanej. Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej.

Podstawowe pojęcia Zbiór i element to pojęcia pierwotne. Nie możemy podać definicji zbioru, możemy podać dwie cechy zbioru: a) w zbiorze kolejność elementów nie jest istotna, b) zbiór nie zawiera dwóch identycznych elementów, To znaczy każdy element traktujemy tak, jakby występował tylko jeden raz. Zauważmy, że kombinacje bez powtórzeń są zbiorami. Multizbiór różni się z kolei tym od zbioru, że może zawierać elementy identyczne, a więc innymi słowy, każdy z różnych elementów multizbioru może występować więcej niż jeden raz. Ciąg definiuje się formalnie jako funkcję na danym zbiorze, można też określić ciąg jako „zbiór uporządkowany”. Ciąg może zawierać wyrazy identyczne lub nie.

Reguła mnożenia Podzielmy daną czynność na dwa etapy. Jeśli pierwszy etap można wykonać na n sposobów, drugi etap można wykonać na k sposobów, to całą czynność można wykonać na n∙k sposobów. PRZYKŁAD 1 Ile można ułożyć liczb dwucyfrowych? 1 etap Wybranie cyfry można wykonać na 9 sposobów ( bez zera) 2 etap Wybranie drugiej cyfry można wykonać na 10 sposobów. Wszystkich liczb dwucyfrowych jest 9∙10=90 sposobów

1 etap Wybieranie czapki można wykonać na 5 sposobów. Podzielmy daną czynność na trzy etapy. Jeżeli pierwszy etap można wykonać na n sposobów, drugi etap można wykonać na k sposobów, a trzeci na p sposobów, to całą czynność można wykonać na n∙k∙p sposobów. Przykład 2. Wybieramy czapkę spośród 5 czapek, z siedmiu szalików oraz jedną z dwóch par rękawiczek. Na ile sposobów można wybrać te rzeczy? 1 etap Wybieranie czapki można wykonać na 5 sposobów. 2 etap Wybieranie szalika można wykonać na 7 sposobów. 3 etap Wybieranie rękawiczek można wykonać na 2 sposoby. Wybrać te rzeczy można na 70 sposobów. Podobnie jest gdy daną czynność można wykonać w czterech, pięciu, … etapach.

ilość permutacji bez powtórzeń wynosi : Permutacje Permutacją bez powtórzeń n - elementowego zbioru nazywamy każdy ciąg (n - elementowy) zawierający wszystkie elementy z tego zbioru ilość permutacji bez powtórzeń wynosi :  Przykład Permutacją 3 elementową bez powtórzeń byłoby każde ułożenie w wyraz 3 literek wyciągniętych z kompletu scrabble. Zakładamy, że literek tych nie da się wymieniać na inne. Ilość możliwych ułożeń wyrazów z 3 liter scrabble jest równa: 3! = 1 · 2 ·  3 = 6 

Kombinacje Podzbiór k różnych elementów ze zbioru n elementów Przykład Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące dwuelementowe kombinacje: {a, b}, {a, c}, {b, c}

Wariacje bez powtórzeń k wyrazową wariacją bez powtórzeń z n-elementowego zbioru (n > k) nazywamy każdy k wyrazowy ciąg elementów, którego wyrazy są różnymi elementami z tego zbioru. Ilość k wyrazowych wariacji bez powtórzeń równa jest: Przykład Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące dwuelementowe wariacje: {a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b}

Wariacje z powtórzeniami k wyrazową wariacją z powtórzeniami ze n-elementowego zbioru (n > k) nazywamy każdy k wyrazowy ciąg elementów z tego zbioru Ilość k wyrazowych wariacji z powtórzeniami równa jest: Przykład Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące dwuelementowe wariacje: {a, b}, {b, a}, {c, a}, {a, c}, {b, c}, {c, b},{a, a}, {b, b}, {c, c}

Przydatne wzory… n! = 1·2·3·4·...·(n-1)·n silnia Przykład: 5! = 1·2·3·4·5 = 120 Symbol Newtona Przykład:

Właściwości typów zestawień spośród wyciągamy czy zwracamy? czy notujemy kolejność? permutacje bez powtórzeń n różnych elementów wszystkie nie tak permutacje z powtórzeniami n elementów, w tym identyczne wariacje bez powtórzeń k elementów, k < n wariacje z powtórzeniami k elementów kombinacje

Ustalanie rodzaju zestawień Aby ustalić rodzaj zestawień, które będziemy analizować, należy postępować według następującego algorytmu: Ustalamy, czy kolejność elementów w zestawieniach jest istotna, czy też nie. Jeżeli nie jest istotna, a zestawienia różnią się tylko składem, mamy do czynienia z kombinacjami i omijamy punkt b. Ustalamy, czy zestawienia różnią się tylko kolejnością elementów. Jeżeli tak, mamy do czynienia z permutacjami. Jeżeli różnią się nie tylko kolejnością elementów, ale także składem, nasze zestawienia to wariacje. Ustalamy, czy w zestawieniach elementy powtarzają się, czy też nie.

Obliczanie ilości zestawień Ilość zestawień zadanego typu obliczamy według następujących wzorów:   permutacje wariacje kombinacje bez powtórzeń z powtórzeniami

Ciekawostki

Wolfgang Amadeusz Mozart Ten artysta znany był z poczucia humoru. Jednym z przykładów może być utwór Musikalisches Wurfelspiel (Muzyczna gra w kości), wydany już po śmierci autora. Dziełko to jest przepisem na tworzenie różnych 16-taktowych menuetów. Mozart przedstawił po dwie propozycje taktów ósmego i szesnastego oraz po jedenaście propozycji każdego z pozostałych taktów. Wykonawca sam mógł dokonać wyboru wariantów taktów i „skomponować” własny menuet. Odegranie takiego utworu zajmowało około pół minuty. Mozart chciał, by wybór wersji taktu ósmego i szesnastego następował na przykład w wyniku rzutu monetą, a wybór wersji każdego z pozostałych jedenastu taktów - w wyniku rzutu kostkami. Proponował, by rzucać dwiema kostkami i od sumy oczek na kostkach odejmować 1. Wynik wskazywałby, którą z jedenastu wersji należy wybrać.

Antoine Gombaud Francuski szlachcic Antoine Gombaud (1607-1684) zwany kawalerem de Méré, grał namiętnie w kości. Znał on matematykę na tyle by stwierdzić, że prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej szóstki w czterech rzutach jest większe niż ⅟2.Dzięki tej wiedzy zwykle odchodził od stołu gry z wygraną. Zachęcony skutecznością swych rozważań postanowił określić liczbę rzutów dwiema kośćmi, przy której prawdopodobieństwo wypadnięcia co najmniej jednej pary szóstek byłoby większe od ⅟2. Uznał, że skoro w rzucie jedną kością wystarczą 4 rzuty, to w wypadku dwóch kości powinny wystarczyć –proporcjonalnie 4/9∙36,czyli 24 rzuty. Był bardzo zaskoczony, gdy próbując wykorzystać swoje obliczenia w praktyce, coraz częściej przegrywał.  

Zirytowany opisał tę historię w liście do znakomitego francuskiego matematyka Blaise′a Pascala. Problem przedstawiony w liście tak zaintrygował Pascala, że ten nie tylko go rozwiązał, ale też rozpoczął poważne studia nad zagadnieniami dotyczącymi prawdopodobieństwa. Wyniki swych badań opisał w 1654 roku w niezwykle ważnym dla rachunku prawdopodobieństwa dziele Traité du triangle arithmétique. Może Pascal nie zająłby się rachunkiem prawdopodobieństwa, gdyby nie skłonność do hazardu de Méré.  

Zadania Hazardowe i nie tylko…

Duży lotek Gra polega na poprawnym wytypowaniu losowanych w wyznaczonych terminach liczb. Podczas jednego losowania losowanych jest 6 liczb z 49. Typowanie odbywa się przez zaznaczenie liczb na blankiecie. Wygrywa się po trafieniu minimum 3 cyfr. Wysokość głównej wygranej (trzeba trafić wszystkie 6 liczb) zależy od ilości osób, które ją zdobyły.

Zad 1. Ile jest kombinacji szczęśliwych szóstek? Odp. Jest dokładnie 13983816 kombinacji Zad 2. Jakie jest prawdopodobieństwo 5 trafień? Odp. Prawdopodobieństwo 5 trafień wynosi 0,000018450

Zad 3. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia „3”? Odp. Prawdopodobieństwo trafienia „3” wynosi 0,0176504

Zad 4. Ile złotych powinna wynosić główna wygrana, żeby duży lotek był grą sprawiedliwą, zakładając że jeden kupon kosztuje 1zł? - prawdopodobieństwo wylosowania „6” - prawdopodobieństwo nie wylosowania „6” Odp. Aby duży lotek był grą sprawiedliwą, główna wygrana powinna wynosić ok. 13888887zł

Kości Kości - popularna gra dla 2-4 osób, w której gracze turlają 5 typowymi sześciennymi kostkami, by uzyskać określone układy oczek, za które otrzymuje się punkty. Celem gry jest uzyskanie największej ilości punktów. Zasady gry Używa się 5 klasycznych kości do gry o kształcie sześcianu z ilością punktów 1, 2, 3, 4, 5 i 6 na poszczególnych ściankach. W każdej kolejce gracz ma do dyspozycji 3 rzuty kostkami. Pierwszy rzut odbywa się zawsze wszystkimi 5 kostkami. Przy następnych nieobowiązkowych rzutach gracz może wybrać ze wszystkich kostki zatrzymane, a niezatrzymanymi wykonuje rzut. Celem rzutów w kolejce jest uzyskanie odpowiedniej kombinacji.

Warunki zdobycia punktów Kategorie Nazwa kategorii Warunki zdobycia punktów Ilość punktów Jedynki Suma punktów wyrzuconych jedynek Max. 5 pkt. Dwójki Suma punktów wyrzuconych dwójek Max. 10 pkt. Trójki Suma punktów wyrzuconych trójek Max. 15 pkt. Czwórki Suma punktów wyrzuconych czwórek Max. 20 pkt. Piątki Suma punktów wyrzuconych piątek Max. 25 pkt. Szóstki Suma punktów wyrzuconych szóstek Max. 30 pkt. 3 jednakowe 3 kostki z taką samą liczbą oczek Suma wszystkich oczek 4 jednakowe 4 kostki z taką samą liczbą oczek Full 3 jednakowe i 2 inne jednakowe liczby oczek 25 punktów Mały strit 4 kolejne liczby oczek 30 punktów Duży strit 5 kolejnych liczb oczek 40 punktów Generał 5 jednakowych oczek 50 punktów Szansa -

Odp. Prawdopodobieństwo wylosowania dużego strita wynosi Zad 1. Ile jest sposobów wyrzucenia kości? Odp. Jest 7776 sposobów wyrzucenia kości. Zad 2. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dużego strita, jeśli w pierwszym rzucie otrzymano liczby 2,3 i wstrzymano te kości ? Możliwości: 12345, 23456 Odp. Prawdopodobieństwo wylosowania dużego strita wynosi

Zad 3. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dużego strita w pierwszym rzucie, zaczynając od liczby 1 ? Odp. Prawdopodobieństwo wynosi Zad 4. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia generała za pierwszym razem? (5 takich samych oczek) Odp. Prawdopodobieństwo wynosi

Jednoręki bandyta W zależności od maszyny różne są zasady wygranej w jednorękiego bandytę. Czasem aby wygrać trzeba mieć ułożone takie same symbole po skosie, innym razem mogą one być tylko w poziomie. W tych zadaniach ( od 1 do 3) rozpatrujemy następujące ułożenie: aby wygrać symbole z poziomie muszą być takie same. Mamy trzy kolumny symboli, po 6 symboli w każdej.

Zad 1. Ile jest możliwych ustawień symboli w jednorękim bandycie? Odp. W jednorękim bandycie jest 216 możliwych ustawień symboli. Zad 2. Na ile sposobów mogą ustawić się symbole w poziomie jeśli w poziomie mają być dwa takie same symbole ? Odp. Jest 6 możliwych ustawień.

Odp. Prawdopodobieństwo wynosi Zad 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ustawią się w poziomie trzy takie same symbole? WYGRANA !!! Odp. Prawdopodobieństwo wynosi

a)Na ile sposobów mogą ustawić się symbole aby nastąpiła wygrana? Zad 4. W innym kasynie wygrana jest wtedy gdy symbole ułożą się po skosie. ( Cały czas mamy 6 symboli w trzech kolumnach) a)Na ile sposobów mogą ustawić się symbole aby nastąpiła wygrana? 6*5*5 + 5*6*5 + 5*5*6= 450 Odp. Jest możliwych 450 sposobów ustawień. b) Oblicz prawdopodobieństwo takiego zdarzenia WYGRANA !!! Odp. Prawdopodobieństwo wynosi

Ruletka Ruletka to jedna z najsłynniejszych gier na świecie. W ruletce nasze działania ograniczają się do możliwości obstawienia konkretnych wyników. To od tego jakie wartości obstawimy, o raz od wyniku rzutu krupiera. Wynikiem takiego rzutu może być jedno z 36 pól ruletki. Są to czarne lub czerwone pola ponumerowane od 1 do 36.

Główne możliwości obstawiania: 1)Na jedną liczbę 2)Na dwie liczby 3)Na trzy liczby 4)pojedyncza kombinacja(czarne, czerwone, parzyste, nieparzyste, passe, manque) 5)tuzin kolejnych liczb 6) kolumna dwunastu liczb

Zad 1. Koło ruletki składa się z 36 nie po kolei ułożonych liczb. Jakie jest prawdopodo-bieństwo, że zostanie wylosowana 8? Odp. Prawdopodobieństwo wynosi Zad 2. Jedną z możliwości obstawiania liczb w ruletce jest obstawianie tuzinów( 12 kolejnych liczb). Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostanie wylosowana liczba będąca w 2 tuzinie (13-24)? Odp. Prawdopodobieństwo wynosi

Zad 3. Na stole ruletki są umieszczone liczby. Połowa z nich (18 liczb) jest na czarnym polu, a druga połowa na czerwonym. Pola ułożone są wymiennie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana będzie liczba w kolorze czarnym? Odp. Prawdopodobieństwo wynosi Zad 4. Osoba grająca w ruletkę chce obstawić 2 liczby z pierwszego tuzina, czyli z liczb od 1 do 12. Ile ma możliwości? Odp. Jest 66 możliwości.

Ile jest możliwości obstawienia 3 liczb w ruletce tak aby: Zad 5. Ile jest możliwości obstawienia 3 liczb w ruletce tak aby: a) Wszystkie były parzyste Odp. Jest 816 możliwości. b) 2 były parzyste, a 1 nie parzysta Odp. Jest 2754 możliwości. c) była co najmniej 1 nieparzysta Odp. Jest 6324 możliwości.

Ile jest możliwości obstawienia 3 liczb wybierając spośród 36 pól? Zad 6. Ile jest możliwości obstawienia 3 liczb wybierając spośród 36 pól? Odp. Jest 7140 możliwości.

Loteria fantowa Loteria fantowa jest to gra losowa, której uczestnicy nabywają numerowane bilety, czyli "losy". O wygranej decyduje "ciągnienie" losów, czyli losowanie. Loteria fantowa, polega na tym, że wygrywa się nagrody rzeczowe, czyli "fanty". W loterii chodzi o to, aby za obietnicę dużej wygranej przy niewielkim wkładzie pieniężnym zebrać fundusze, które przeznaczane są zwykle na jakieś cele społeczne. Jest to prosta i rozpowszechniona gra, która często pomaga w zbiórce pieniężnej.

A- wylosowanie co najmniej 5 oczek B- wylosowano mniej niż 5 oczek Zad 1. Rzucamy kostką, jeśli wypadnie co najmniej 5 oczek, to wygrywamy 50 zł, w przeciwnym wypadku przegrywamy 40 zł. a) Uzasadnij, że wartość oczekiwana gry jest równa -10 zł( czyli gra jest niekorzystna dla gracza). A- wylosowanie co najmniej 5 oczek B- wylosowano mniej niż 5 oczek Odp. Wartość oczekiwana gry jest równa -10 zł.

b) Ile musiałaby być równa wygrana, aby gra była sprawiedliwa, jeśli przegrana wynosi 50zł. Odp.: Wygrana musiałaby wynosić 100zł.

Zad 2. Wśród n losów loterii jest sześć wygrywających. Dla jakich wartości n prawdopodobieństwo zakupienia dwóch losów wygrywających jest większe od ? 6w,(n-6)p W 5w,(n-7)p W P n n є (-9,10) n є N+ i n≥6 Odp.: Dla nє {6,7,8,9}

A- przynajmniej raz wygramy A’- trzy razy przegramy Zad 3. Pewna gra polega na jednoczesnym rzucie kostką do gry i monetą. Wygrana, to otrzymanie szóstki na kostce i orła na monecie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że grając trzy razy przynajmniej raz wygramy? A- przynajmniej raz wygramy A’- trzy razy przegramy W P Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi .

a) losu wygrywającego b)losu przegrywającego a) Zad 4. W pudełku I są cztery losy wygrywające i sześć przegrywających, a w II pudełku cztery wygrywające i pięć przegrywających. Rzucamy kostką do gry. Jeżeli wypadnie mniej niż 3 oczka, to wyciągamy los z pudełka I, w przeciwnym przypadku z pudełka II. Oblicz prawdopodobieństwo wybrania: . a) losu wygrywającego b)losu przegrywającego a) b) I pudełko II pudełko W P Odp.: Dla losu wygrywającego prawdopodobieństwo wynosi a dla losu przegrywającego

A- wyciągnięcie wygrywającego losu Zad 5. Na loterii jest 20 losów, w tym cztery wygrywające (oznaczone literą W) i dwa uprawniające do dalszego losowania (oznaczone literą D). Pozostałe losy są przegrywające (oznaczone literą P). Oblicz prawdopodobieństwo wygranej, jeśli kupimy jeden los. . W P D A- wyciągnięcie wygrywającego losu Odp.: Prawdopodobieństwo wygranej wynosi

Brydż Brydż przeznaczony jest dla dwóch par. Każda para gra wspólnie przeciwko drugiej parze. Pary grają wspólnie w ciągu całego robra (zamknięty fragment gry składający się z dwóch dogranych partii). Trzy robry stanowią pełny cykl gry, nazwany turą. Do gry potrzebna będzie pełna talia kart (52 sztuki). Starszeństwo kart: od asa do dwójki. Asy, króle, damy, walety i dziesiątki to honory, pozostałe to blotki. Starszeństwo kolorów w licytacjach: piki, kiery, kara, trefle. Istnieje zmienny kolor atutowy.

Każdy z graczy otrzymuje 13 kart Każdy z graczy otrzymuje 13 kart. Gra w brydża składa się z dwu części: licytacji i rozgrywki. Licytacja - ustala się kontrakt (zobowiązanie) do wzięcia określonej ilości lew z określonym kolorem atutowym lub bez koloru atutowego przez parę która zadeklarowała najwyższy kontrakt. Lewa składa się z 4 kart (dokładanych kolejno przez każdego z graczy). Zaczyna lewę (wychodzi) gracz, który ostatnio wziął poprzednią lewę. Pozostali gracze dokładają kolejno (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) po jednej karcie. Jest obowiązek dołożenia karty w kolorze wyjścia, jeśli gracz nie ma takiego koloru to dokłada dowolną kartę (nie ma obowiązku przebijania kolorem atutowym).

Zad 1. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania przez brydżystę: a)asa kier b)dokładnie dwóch asów c)dokładnie trzech asów d)czterech asów a) c) b) d)

e)trzynastu kart jednego koloru f)nie otrzymania asa g)czterech asów, czterech króli, czterech dam e) g) f)

Zad 2. Ile jest rozdań brydżowych, w których wybrany gracz otrzyma: a)5 pików, 4 kiery , 3 kara , 1 trefla b)układ 5-3-3-2 c)układ 4-4-4-1 a) b) c)

Zad 3. Rozdanie brydżowe to podział uporządkowany zbioru 52 kart na cztery po 13 kart w każdym. Ile jest takich rozdań?

Poker W rozgrywce może wziąć udział od 2 do 10 graczy przy 52 kartach w talii. Każdy z graczy otrzymuje dwie karty, do wglądu osobistego oraz trzy karty wspólne, leżące po środku stołu.

Gra polega na licytacji i uzyskaniu jak najlepszego układu spośród 10 dostępnych (wg Starszeństwa): Poker królewski - Dziesiątka, Walet, Dama, Król i As w jednym kolorze. Poker - Strit w kolorze. Kareta - Cztery karty o tej samej wartości, np. AAAA2. Ful – trzy jednakowe oraz para np. KKK22 Kolor - Pięć kart w tym samym kolorze. Strit - Pięć kart ułożonych po kolei np. 4,5,6,7,8. As występuje tu jako karta najwyższa i najniższa np. AKQJ10 lub 5432A Trzy jednakowe - Trzy karty tej samej wartości. Dwie pary Jedna para Najwyższa karta - Każdy układ kart, który nie kwalifikuje się do powyższych układów.

Zad 1. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania królewskiej pary pik (Król pik, Dama pik) do ręki w pierwszym rozdaniu? Odp. Prawdopodobieństwo wynosi Zad 2. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania „pary” do ręki w pierwszym rozdaniu? Odp. Prawdopodobieństwo wynosi

Ile jest kombinacji układu „poker” w pokerze? Zad 3. Ile jest kombinacji układu „poker” w pokerze? Odp. Jest 40 takich kombinacji. Zad 4. Ile jest kombinacji układu „kolor” w pokerze? Odp. Jest 5108 takich kombinacji.

Zad 5. Na początku gry w pokera gracz otrzymuje 5 kart z talii 52 kart. a) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania z pierwszego rozdania pokera królewskiego ( As, Król , Dama, Walet, 10, w jednym kolorze) b) Ile jest możliwości otrzymania jednej pary? a) b) Odp. Prawdopodobieństwo wynosi Odp. Można wylosować 1098240 par.

Gry losowe Zad 1 – „Kamień, papier, nożyce” Gra „kamień, papier, nożyce” rozpoczyna się od tego, że każdy z dwóch grających pokazuje albo pięść (kamień), albo otwartą dłoń (papier), albo dwa palce (nożyce). Na ile sposobów może rozpocząć się ta gra ? 3  3 = 9 Odp. Można rozpocząć tą grę na 8 sposobów.

Zad 2 – Domino Z zestawu kostek do gry w domino (28 różnych kostek) losujemy jedną kostkę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że: a) na obu częściach wylosowanej kostki jest taka sama liczba oczek, . A={ (0;0); (1;1); (2;2); (3;3); (4;4); (5;5); (6;6)} Odp. Prawdopodobieństwo wynosi b)co najmniej na jednej z dwóch części wylosowanej kostki znajdują się 4 oczka A = (0;4); (1;4); (2;4); (3;4); (4;4); (5;4); (6;4) Odp. Prawdopodobieństwo wynosi

c) suma oczek na wylosowanej kostce jest równa 8 Odp. Prawdopodobieństwo wynosi

Lo im. Henryka sienkiewicza IV lo im. Tadeusza kotarbińskiego Nasze grupy : Lo im. Henryka sienkiewicza We wrześni Opiekun grupy: p. Justyna Rewers Natalia Dewo Kamila Kubasiak Jarosław Długosz Marta Mielcarek Weronika Majchrzak Katarzyna Harendarz Robert Kamiński Marta Student Patrycja Wojciechowska Patryk Szymkowiak IV lo im. Tadeusza kotarbińskiego w gorzowie wlkp. Opiekun grupy: p. Monika Zedel Maciej Antkowiak Kryspin Bober Grzegorz Czukin Julia Depczyńska Robert Forster Wojtek Jankowski Paulina Kwapis Kacper Lisiecki Maja Michałek Agata Napiórkowska Agnieszka Olszewska Adrian Rytwiński Bartek Wocal

Bibliografia Matematyka z plusem, klasa 3. M.Dobrowolska,M.Karpiński,J Lech Nowa Era ,Babiański Zbiór zadań z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa J.Ligman, E. Stachowski, A. Zalewska www.math.edu.pl www.supermatma.pl www.matematyka.pl www.matematyka.pisz.pl www.edukator.pl www.aries.com.pl www.th.interia.pl www.wikipedia.pl