Modelowanie matematyczne Definicja modelu matematycznego: Modelem matematycznym nazywamy reprezentację istniejącego lub hipotetycznego fragmentu rzeczywistości, tworzoną w określonym celu, z wykorzystaniem skończonego zbioru symboli i operatorów matematycznych, z którymi związane są ścisłe zasady posługiwania się nimi, pozbawioną szczegółów i cech nieistotnych dla osiągnięcia postawionego celu. Zawarte w modelu symbole i operatory matematyczne mają interpretację odnoszącą je do konkretnych elementów modelowanego fragmentu rzeczywistości

Zwięzła definicja systemu: Element/obiekt lub zbiór elementów/obiektów których właściwości chcielibyśmy badać Idee wokół których budowane jest pojecie systemu:  wyodrębnienie systemu z otoczenia  funkcja spełniana przez system  budowa systemu z zależnych elementów  ……

Wybrane krótkie definicje systemu: SYSTEM (definicja przyrodnicza) jest to zbiór współdziałających ze sobą elementów, połączonych w całość wspólną funkcją niesprowadzalną do funkcji poszczególnych elementów SYSTEM (definicja cybernetyczna) jest to składająca się z elementów funkcjonalna całość wyodrębniona z otoczenia, na którą otoczenie oddziałuje za pośrednictwem wielkości wejściowych (bodźców), i która zwrotnie oddziałuje na otoczenie za pośrednictwem wielkości wyjściowych (reakcji)

Rozbudowana definicja systemu: (1) SYSTEM jest pewnym zorganizowanym zespołem elementów. „Zorganizowanym” znaczy, że istnieją określone powiązania pomiędzy elementami (2) SYSTEM robi coś, co pozwala go wyróżnić, to znaczy okazuje rodzaj zachowania unikatowy dla systemu (3) Każdy element wnosi swój wkład do zachowania SYSTEMU i ulega wpływom bycia w SYSTEMIE. Żaden element nie ma niezależnego wpływu na zachowanie systemu. Zachowanie systemu zmienia się, jeżeli jakikolwiek element zostanie usunięty lub opuści system (4) Grupa elementów w obrębie systemu może posiadać, sama w sobie, właściwości (1), (2) i (3), to znaczy mogą one tworzyć PODSYSTEM (5) SYSTEM posiada pewne zewnętrze – otoczenie, które dostarcza wejść do systemu i przyjmuje wyjścia z systemu. (6) SYSTEM został postrzeżony przez kogoś jako coś wartego specjalnego zainteresowania, poznania, .....

Spojrzenie na system typu: wejście – wyjście Modele: wejście - wyjście Istotny krok definiowania systemu: wyodrębnienie systemu z otoczenia Wyodrębnienie systemu z otoczenia: określenie wielkości wejściowych i wyjściowych wiążących system z otoczeniem Spojrzenie na system typu: wejście – wyjście Modele: wejście - wyjście

Przykłady: Oferty kupna Cena akcji IBM Rynek papierów wartościowych Oferty sprzedaży Rynek papierów wartościowych Cena akcji IBM Cena akcji Intel’a Wysiłek, starania prowadzących MiI1: Modelowanie i identyfikacja Stopnie studentów Oceny prowadzących Wysiłek, starania studentów

Jak rozpoznać system statyczny? Systemy statyczne - wartości wielkości wejściowych w chwilach innych niż bieżąca chwila t nie mają wpływu na wartości wielkości wyjściowych w tej chwili Jak rozpoznać system statyczny? System przejawia właściwości statyczne, jeżeli zawiera jedynie elementy posiadające zdolność rozpraszania i/lub przekształcania energii

- + Uf Rf if ig eg - K Uwy Uwe1 R1 i1 Uwe1 Uwe2 Uwe2 R2 i2 Przykłady: iwe(t) uwy (t) uwe(t) Rp Rw iwy (t) Inne przykłady: dźwignia dwuramienna prasa hydrauliczna przekładnia zębata

Fakt: prawie każdy system rzeczywisty jest systemem dynamicznym System dynamiczny Fakt: prawie każdy system rzeczywisty jest systemem dynamicznym Jak przejawia się dynamika systemu? Na wartości wielkości wyjściowych systemu w chwili t, mają wpływ nie tylko wartości wielkości wejściowych w tej właśnie chwili, ale również ich wartości w chwilach wcześniejszych od t Jak rozpoznać systemy dynamiczne? System przejawia właściwości dynamiczne, jeżeli zawiera elementy posiadające zdolność magazynowania i oddawania energii

Przykłady: k/2 f M Mn Mo 

Natężenie wypływu wody Qwy Natężenie dopływu wody Qwe L Powierzchnia A Ts Ti T Przewodzenie, K Konwekcja, h Przykłady: Natężenie wypływu wody Qwy Natężenie dopływu wody Qwe Objętość wody w zbiorniku V Powierzchnia lustra wody A h Zawór

uf - + Cf R iwe ig if eg uwe uwy uwe -K Rwe, Rwy Przykłady: uwe(t) uwy(t) uR(t) uL(t) uC(t) iRL(t) iobc(t) iC(t) R L C

Przykłady: . u y vt L

Stan systemu dynamicznego Przez stan systemu rozumie się najmniejszą liczbę wielkości, znajomość wartości których w danej chwili t0, przy znajomości wartości wielkości wejściowych, począwszy od tej chwili t0, pozwala określić jednoznacznie stan i wielkości wyjściowe systemu w przyszłości. u(t); t  t0 x(t); t  t0 x(t0) y(t); t  t0 Spojrzenie na system typu: wejście – stan – wyjście Modele: przestrzeni stanów

Modele matematyczne i sterowanie Interesuje nas budowanie modeli, które mogą być zastosowane przy rozwiązywaniu problemów sterowania Sterowanie to proces celowego oddziaływania człowieka lub skonstruowanych przez niego urządzeń na środowisko lub inne skonstruowane przez niego urządzenie Na pojęcie sterowania składają się pojęcia szczegółowe: proces sterowany, ograniczenia sterowania, cele sterowania, wskaźnik jakości sterowania

Proces sterowany - to część otaczającego nas środowiska lub urządzenie, na które oddziałujemy. Użycie słowa proces podkreśla, że nie traktujemy oddziaływania i jego skutków chwilowo, statycznie, a interesują nas one jako przebieg dynamiczny w pewnym przedziale czasu Ograniczenia sterowania - to te uwarunkowania związane z procesem sterowanym, które sprawiają, że nie możemy oddziaływać na ten proces w sposób dowolny Cel sterowania - to postulowany, pożądany rezultat naszego oddziaływania. Jeżeli cel sterowania jest osiągalny, to zazwyczaj można go osiągnąć w różnoraki sposób. Staramy się ocenić, który ze sposobów jest lepszy Wskaźnik jakości sterowania – jest miarą jakości przebiegu procesu sterowanego, która umożliwia wybranie sposobu osiągnięcia celu sterowania

ograniczeniach sterowania i wskaźnikach jakości sterowania Definicja modelu matematycznego problemu sterowania: Modelem matematycznym problemu sterowania, będziemy nazywać reprezentację wiedzy o: procesie sterowanym, celu sterowania, ograniczeniach sterowania i wskaźnikach jakości sterowania wyrażoną językiem matematyki (z użyciem symboli i operatorów matematycznych), pomocną przy rozwiązywaniu określonego problemu sterowania lub monitorowania

Modelowanie a symulacja  sztuczne odtwarzanie (np. w warunkach laboratoryjnych; często za pomocą komputerów) właściwości danego obiektu, zjawiska lub przestrzeni występujących w naturze, lecz trudnych do obserwowania, zbadania, powtórzenia itp.

Modelowanie matematyczne – to tworzenie w języku matematyki reprezentacji systemów hipotetycznych lub istniejących w rzeczywistości Symulacja - to eksperymentowanie na modelu badanego systemu, przy wykorzystaniu oddziaływań i obserwacji mających swoje odpowiedniki w badanym systemie, przy czym eksperymentowanie to zapewnia eksperymentatorowi, w pewnym stopniu, złudzenie kontaktu z systemem rzeczywistym Symulacyjny model matematyczny (krótko – model symulacyjny) to taki model matematyczny, który został zbudowany dla potrzeb symulacji

Model symulacyjny:  daje możliwość oddziaływania na model systemu wielkościami mającymi swoje odpowiedniki w badanym systemie, których efekt oddziaływania chcielibyśmy obserwować  daje możliwość obserwacji na modelu systemu wielkości, które mają swoje odpowiedniki w badanym systemie i które chcielibyśmy obserwować

Etapy modelowania matematycznego W procesie modelowania matematycznego można wyróżnić kilka podstawowych etapów: Sformułowanie celów i założeń modelowania Budowa bazy wiedzy i bazy danych o modelowanym systemie Wybór kategorii modelu Określenie struktury modelu; budowa modelu Identyfikacja modelu Algorytmizacja obliczeń z modelem Weryfikacja modelu Pomiędzy poszczególnymi etapami modelowania występują interakcje – proces modelowania nie jest procesem o szeregowej strukturze

Sprzężenia pomiędzy etapami budowy modelu matematycznego Problem rozwiązywany z pomocą modelowania matematycznego Cele i założenia modelowania Baza wiedzy Baza danych  Kategoria modelu  Struktura modelu  Identyfikacja modelu  Algorytmizacja modelu  Dane eksperymentalne  Teorie  Prawa  Wiedza empiryczna  Hipotezy  Weryfikacja modelu Model zweryfikowany Zastosowanie

Określenie celów modelowania Dlaczego jasne określenie celu modelowania jest ważne? ma to bezpośredni wpływ na przebieg i treści procesu modelowania – różne cele implikują różne problemy jakie trzeba rozwiązać przy modelowaniu; modelowanie jest najczęściej działalnością interdyscyplinarną – określenie celu musi być jasne dla wszystkich biorących udział w modelowaniu; po zbudowaniu modelu musimy ocenić, na ile zadowalająco postawiony cel został osiągnięty

Wybrane zastosowania modeli: Model (matematyczny) to matematyczny opis rzeczywistego lub hipotetycznego systemu (procesu) tworzony z myślą o konkretnym zastosowaniu Wybrane zastosowania interesujące dla automatyka: (a) Estymacja, w oparciu o pomiary pośrednie, wielkości, których pomiary są niedostępne; (b) Predykcja zachowań systemu sterowanego (krótkookresowych, długookresowych) – sterowanie predykcyjne, sterowanie adaptacyjne; (c) Sterowanie procesami (regulacja w otoczeniu pewnego nominalnego punktu pracy, śledzenie trajektorii z znacznymi procesami przejściowymi, sterowanie optymalne...); (d) Przetwarzanie sygnałów (likwidacja szumów, filtrowanie (np. zastosowanie filtru Kalmana wymaga modelu procesu generującego dane), interpolacja ...);

Powszechnie stosowana klasyfikacja modeli systemów: Kategorie modeli Powszechnie stosowana klasyfikacja modeli systemów: Alternatywy dla klasyfikowania modeli systemów  NIEPARAMETRYCZNE lub PARAMETRYCZNE Modele nieparametryczne systemu to modele dane w postaci wykresu, funkcji itp., które niekonieczne opisane być mogą za pomocą skończonej liczby parametrów (danych) Modele parametryczne systemu to modele w których dla pełnego opisu elementu potrzebna jest znajomość na pewno skończonej liczby parametrów (współczynników)

Przykładami modeli nieparametrycznych są: charakterystyki czasowe elementu – modelem jest sygnał wyjściowy wywołany odpowiednim sygnałem wejściowym; charakterystyka częstotliwościowe elementu liniowego – modelem jest zależność amplitudy i fazy sygnału wyjściowego od częstotliwości sinusoidalnego sygnału wejściowego; Przykładami modeli parametrycznych są: równania różniczkowe wejście – wyjście elementu; równania stanu i równania wyjścia elementu; równania algebraiczne

 FENOMENOLOGICZNE (white – box) lub BEHAWIORALNE (black-box) Modele fenomenologiczne (lub oparte o wiedzę): Modele budowane w oparciu o zasady zachowania lub równania równowagi (dla masy, momentów, energii, ...) Modele bliskie tym, którzy są po wykładach z fizyki, chemii, elektrotechniki, mechaniki, hydrauliki, hydrologii bądź z innych dziedzin Cecha: Struktura modelu pozostaje w zasadniczym związku ze strukturą procesów a parametry modelu posiadają fizykalną interpretację

Modele behawioralne – modele budowane w oparciu o zebrane dane pomiarowe, modele które jedynie aproksymują obserwowane zachowanie się systemu, nie wymagając w tym celu żadnej wiedzy a priori o procesach generujących te dane Cecha: Struktura modelu nie musi pozostawać w żadnym zasadniczym związku ze strukturą procesów a parametry nie posiadają żadnej fizykalnej interpretacji

STATYCZNE lub DYNAMICZNE Systemy statyczne składają się z elementów zdolnych co najwyżej przekazywać energię, masę, informację bez strat lub ze stratami – dają się opisywać m.in. za pomocą układów równań algebraicznych – ciągłych lub dyskretnych Systemy dynamiczne zawierają elementy zdolne gromadzić i oddawać energię, masę, informację – mogą być opisywane m.in. za pomocą układów równań różniczkowych lub różnicowych Jeżeli interesują nas jedynie stany równowagi systemu dynamicznego, w których dany system może się znajdować, to możemy ograniczyć się dla takiego systemu dynamicznego do modelu statycznego

 LINIOWE lub NIELINIOWE Będziemy rozróżniali dwa rodzaje liniowości: (i) liniowość względem wejść (LI - linear in its inputs), (ii) liniowość względem parametrów (LP – linear in its parameters)

 Z CZASEM CIĄGŁYM lub Z CZASEM DYSKRETNYM Modele z czasem ciągłym Przyjmuje się na ogół, że badane procesy ewoluują w czasie ciągłym – stąd naturalna tendencja do stosowania modeli opisywanych równaniami różniczkowymi, w szczególności różniczkowymi modelami w przestrzeni stanu

Modele z czasem dyskretnym Wprowadzenie techniki komputerowej (cyfrowej) zainicjowało stosowanie modeli z czasem dyskretnym Model w przestrzeni stanu z czasem dyskretnym ma postać gdzie t jest całkowitoliczbowym indeksem czasu, który odpowiada czasowi rzeczywistemu t·T, jeżeli rozważany system z czasem ciągłym jest próbkowany z okresem T

 DETERMINISTYCZNE lub NIEDETERMINISTYCZNE W modelach systemów deterministycznych wielkościom i współczynnikom przypisywane są określone wartości, w modelach systemów niedeterministycznych co najmniej jedna wielkość lub współczynnik ma niepewne wartości

ZMIENNE W CZASIE lub NIEZMIENNE W CZASIE (NIESTACJONARNE LUB STACJONARNE) W modelach systemów niestacjonarnych co najmniej niektóre współczynniki (parametry modelu) są funkcjami czasu, w modelach systemów stacjonarnych są stałe

Budowa modelu matematycznego Praktyczne wymagania jakie musimy starać się spełnić przy budowie modelu:  zgodność z modelowanym systemem w zakresie interesujących nas właściwości, zależności  łatwość użytkowania modelu zgodnie z przeznaczeniem

Identyfikacja modelu matematycznego Identyfikację modelu przeprowadzamy, gdy: wiedza teoretyczna o systemie nie wystarcza do nadania modelowi postaci umożliwiającej wykonanie w oparciu o ten model obliczeń; nie wystarcza do określenia niektórych lub wszystkich współczynników tego modelu Identyfikacja modelu (parametrów modelu) to: wyznaczenie ocen statystycznych (lub innych) – estymatorów wartości nieznanych parametrów drogą odpowiedniego przetworzenia danych eksperymentalnych (pomiarowych, doświadczalnych)

Weryfikacja modelu matematycznego to porównanie wyników modelowania z: zachowaniem się systemu rzeczywistego, lub wynikami z modelu wzorcowego z punktu widzenia ich zgodności z wiedzą teoretyczną i/lub z wynikami badań doświadczalnych

Weryfikacja modelu matematycznego – c.d.  zgodność pragmatyczna – dotyczy bezpośredniej zgodności wyników z modelu systemu z danymi z systemu rzeczywistego; stwierdzenie tej zgodności wymaga przede wszystkim porównania wielkości wyjściowych z modelu i z systemu rzeczywistego

Weryfikacja modelu matematycznego – c.d. Schemat weryfikowania zgodności pragmatycznej Zakłócenia Uwaga:  Weryfikacja zgodności pragmatycznej modeli systemów nie istniejących, np. znajdujących się w stadium projektowania nie jest w zasadzie możliwa Model zakłóceń Wielkości wejściowe SYSTEM Wielkości wyjściowe Kryteria zgodności MODEL Wynik weryfikacji

Weryfikacja modelu matematycznego – c.d. Procedura weryfikacji pragmatycznej poza testami zgodności (w sensie odległości wyjść modelu i systemu) powinna przewidywać analizę wrażliwości Analiza wrażliwości polega na badaniu zmian wielkości (zmiennych) modelu przy zmianach samego modelu (głównie jego parametrów). Od dobrego modelu wymaga się, aby małe zmiany parametrów modelu wywoływały jedynie małe zmiany jego wielkości (zmiennych).

Miejsce komputera w procesie modelowania matematycznego Eksperymentator Określenie celu modelowania, wybór kategorii modelu, określenie struktury modelu, wybór algorytmów System Model matematyczny Źródło danych Zmiana/modyfikacja modelu Dane i wiedza o systemie Dane do identyfikacji, weryfikacji, obliczeń z modelem Algorytmy identyfikacji, weryfikacji, obliczeń z modelem Zmiana/modyfikacja algorytmów Komputer Wyniki Narzędzie przetwarzania danych w oparciu o określone algorytmy Przesłanki do akceptacji lub zmiany

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu