KROK PO KROKU DO MATURY Z MATEMATYKI

Jesteśmy uczniami klasy 3d z Zespołu Szkół Nr 1 im Jesteśmy uczniami klasy 3d z Zespołu Szkół Nr 1 im. Noblistów Polskich w Pyrzycach. W ramach projektu unijnego „Kompetencje Kluczowe Drogą do Kariery” przygotowujemy się do egzaminu maturalnego z matematyki. Ponieważ jesteśmy uczniami klasy humanistycznej, to przygoda z matematyką nabiera nowego wymiaru. Od początku roku szkolnego krok po kroku „przechodzimy” przez kolejne działy matematyki, aby jak najlepiej zdać egzamin. Wybraliśmy kilka przykładowych zadań, które rozwiązaliśmy. STANOWIMY ZESPÓŁ Z1M2

ZESPÓŁ Z1M2

ROZDZIAŁ I LICZBY I DZIAŁANIA

1. Uzasadnij, że liczba jest wymierna. [2p] 2. Pan Lewandowski zarabia miesięcznie 3500 zł netto. W grudniu na jego konto razem z pensją wpłynął dodatek świąteczny, a kwota, którą otrzymał, wyniosła 3745 zł. Jaki procent comiesięcznej pensji stanowi dodatek świąteczny? 3. Dane są zbiory: A-Zbiór liczb rzeczywistych spełniających warunek: │x - 3│< 6, B- zbiór liczb rzeczywistych spełniających warunek: 1≤ 3x – 2 ≤12. Ile parzystych liczb naturalnych należy do zbioru A\ B  [4p]

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ I LICZBY I DZIAŁANIA Zadanie 1. Postęp: Zastosowanie własności pierwiastków: * = = 1p Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie wartości wyrażenia 1, zatem jest to liczba wymierna. 2p

Zadanie 2. Postęp: Zapisanie równania: 3500p=245, gdzie p oznacza szukany procent. 1p Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie p: p=7% 2p

Zadanie 3. 1p 2p 3p 4p Postęp: Wyznaczenie zbioru A: A=(-3; 9)i 3 Pokonanie zasadniczych trudności Zapisanie nierówności: 3x-21 i 3x-2≤12 2p Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie zbioru B B =<1; 4 > 3p Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie zbioru A\B oraz parzystych liczb naturalnych należących do zbioru A\B=(-3; 1)(4 ;9); są trzy takie liczby 4p

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE ROZDZIAŁ II WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

1. Dany jest wielomian y= -2x2 + bx + c 1. Dany jest wielomian y= -2x2 + bx + c. Wiadomo, że do wykresu należą punkty A=(1,6), B(-2,-9). Wyznacz parametry b,c. [2p]  2. Wyznacz dziedzinę wyrażenia W= 3. Dany jest wielomian W(x)=2 x2 – mx + 5m. Wyznacz wszystkie wartości parametru m tak, aby wielomian miał dokładnie dwa miejsca zerowe. [4p]

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ II WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Zadanie 1. Postęp: Zapisanie układu: 1p Rozwiązanie bezbłędne: Rozwiązanie układu równań 2p

Zadanie 2. Postęp: Zapisanie warunku x3 – 16x = 0 i doprowadzenie go do postaci x(x2 -16) = 0 1p Rozwiązanie bezbłędne: Rozwiązanie warunku i zapisanie odpowiedzi: D=R\ {-4, 0, 4} 2p

Zadanie 3. Postęp: Zapisanie nierówności wynikającej z treści zadania: Δ>0 1p Pokonanie zasadniczych trudności. Zapisanie nierówności: m2 -40m>0 2p Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego: m1=0, m2=40 3p Rozwiązanie bezbłędne: Rozwiązanie nierówności: mє(-∞,0)(40,+∞) 4p

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ROZDZIAŁ III RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

1. Rozwiąż równanie 3x3 – 6x2 + 5x -10 = 0 [2p]   2. Rozwiąż nierówność (2x – 1)2 –( 5x +2)2 >8(x+1) + 8x2 – 13 – 36x2.Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność. [4p] Wykaż, że dla każdej wartości parametru m nierówność x2 + (m+1)x + m2 + 1<0 jest fałszywa dla każdej liczby rzeczywistej x.

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ III RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI 1p Zadanie 1. 2p Postęp: Zapisanie równania w postaci : (x-2)(3x2+5)=0 1p Rozwiązanie bez błędne: Zapisanie odpowiedzi: x=2 2p

Zadanie 2. Postęp: Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia do przekształcenia lewej strony nierówności 8x5 -12x2 + 6x-1 – (25x2 + 20x + 4x)>8(x + 1) + 8x5 -13 – 36x2 1p Istotny postęp: Zapisanie lewej strony nierówności: -x2 -22x>0 2p Pokonanie zasadniczych trudności Rozwiązanie nierówności : mє(-22,0) 3p Rozwiązanie bezbłędne: Zapisanie odpowiedzi: x=-1 4p

Zadanie 3. Postęp: Wyznaczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego: Δ= - 3m2 +2m -3 1p Pokonanie zasadniczych trudności Wykazanie, że wyróżnik jest ujemny dla każdej liczby rzeczywistej m : Δm = -32 i ramiona są skierowane w dół 3p Rozwiązanie bezbłędne: Zapisanie wniosku: wyróżnik Δ= -3m2 +2m -3 stale ujemny i ramiona paraboli skierowane do góry, zatem wszystkie wartości trójmianu są dodatnie, czyli podana nierówność jest zawsze fałszywa. 4p

ROZDZIAŁ IV FUNKCJE

1. Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji f(x)= [2p] 2. Miejscem zerowym funkcji f(x)=ax + 2 jest liczba . Wyznacz wzór funkcji f i podaj argumenty, dla których wartości funkcji f są mniejsze od wartości funkcji g(x)= -3x + 4. [4p] 3. Wykres funkcji f danej wzorem f(x)= - x2 +bx +c. Wyznacz współczynniki b i c, a następnie naszkicuj wykres funkcji f Dla jakich wartości x wykres funkcji f leży powyżej wykresu funkcji g(x) = x + 2? [5p]

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ IV FUNKCJE Zadanie 1. Postęp: Wyznaczenie dziedziny funkcji: D=R\{-5} 1p Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie miejsc zerowych: x=0, x=5 2p

Zadanie 2. Postęp: Zapisanie równania: a +2 =0 1p Istotny postęp: Wyznaczenie a: a=-4 i zapisanie wzoru funkcji: y= -4x+2 2p Pokonanie zasadniczych trudności Zapisanie nierówności : -4x+2< -3x+4 3p Rozwiązanie bezbłędne: Rozwiązanie nierówności: xє(-2;∞) 4p

Zadanie 3. Postęp: Zapisanie funkcji w postaci iloczynowej y= - (x+2)(x-4) 1p Pokonanie zasadniczych trudności Przekształcenie wzoru funkcji do postaci ogólnej y= - x2 + x + 4 i podanie odpowiedzi b=1, c=4. Naszkicowanie wykresu funkcji 2p Rozwiązanie prawie całkowite: Zapisanie nierówności - x2 + x + 4> x+2 3p Rozwiązanie bezbłędne: Podanie odpowiedzi: xє(-2,2) 4p

ROZDZIAŁ V CIĄGI

1. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=n5 – 5n2 + n -5 1. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=n5 – 5n2 + n -5. Wykaż, że ten ciąg ma tylko jeden wyraz równy 0. [2p] 2. Tomek, Marcin, Jurek zbierają znaczki. Liczby znaczków chłopców w podanej kolejności tworzą malejący ciąg geometryczny. Marcin ma 450 znaczków. Oblicz, ile znaczków mają pozostali chłopcy, jeśli w sumie wszyscy trzej mają ich 1425. [5p] 3. Dany jest ciąg (x, 2x+y, y,18). Wyznacz liczby x i y tak, aby trzy pierwsze wyrazy tego ciągu tworzyły ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie – geometryczny.

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ V CIĄGI Zadanie 1. Postęp: Zapisanie wyrazu ogólnego ciągu w postaci : an =(n2 + 1)(n - 5) 1p Rozwiązanie bezbłędne: Uzasadnienie tezy zadania: jedynym rozwiązaniem równania w zbiorze liczb naturalnych dodatnich jest liczba 5, zatem tylko piąty wyraz ciągu jest równy 0. 2p

Zadanie 2. Postęp: Zapisanie układu równań: 1p Pokonanie zasadniczych trudności: Zapisanie równania z jedną niewiadomą np. : x2 -975x + 202 500=0 2p Rozwiązanie prawie całkowite: Rozwiązanie równania: x=300 lub x=675 3p Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie drugiej zmiennej i zapisanie odpowiedzi uwzględniającej treść zadania: Tomek ma 675, a Jurek 300 znaczków. 5p

Zadanie 3. Istotny postęp: Zapisanie układu równań: 2p Pokonanie zasadniczych trudności Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. : 9x2 =18(2x-3x) 3p Rozwiązanie prawie całkowite: Rozwiązanie równania: x=0 lub x=-2 4p Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie drugiej zmiennej i zapisanie odpowiedzi: lub 5p

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE ROZDZIAŁ VI FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

1. Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwa jest równość tg α + = [2p] 2. Jedna z przyprostokątnych trójkąta jest o 6 dłuższa od drugiej. Tangens kąta ostrego jest równy . Wyznacz pole i obwód tego trójkąta. [6p]   3. Dany jest kąt α taki, że 00 < α < 900 i tg α = 2. Oblicz wartość wyrażenia W= . Wynik przedstaw w postaci ułamka o wymiernym mianowniku. [4p]

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ VI FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Zadanie 1. Postęp: Przekształcenie lewej strony tożsamości do postaci: L= + 1p Sprowadzenie do wspólnego mianownika i wykazanie tożsamości: L= + = =P 2p

Zadanie 2. Postęp: Zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta w postaci: a, a+6 1p Istotny postęp: Zapisanie równania: = 2p Pokonanie zasadniczych trudności Rozwiązanie równania: a=9 3p Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie długości wszystkich boków trójkąta: 9, 15, 354 4p Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie pola i obwodu trójkąta: P= , L=3(8+54) 6p

Zadanie 3. Postęp: 1p Zapisanie układu równań: Istotny postęp: 2p Rozwiązanie układu równań: 2p Pokonanie zasadniczych trudności: Zapisanie wyrażenia w postaci: W= 3p Rozwiązanie bezbłędne: Usunięcie niewymierności z mianownika i zapisanie wartości wyrażenia w żądanej postaci: W= 4p

ROZDZIAŁ VII PLANIMETRIA

1. Dany jest prostokąt ABCD o przekątnych długości 12 i kącie między przekątnymi 1200. Oblicz pole tego prostokąta. [2p] 2. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą rosnący ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie 2. Wyznacz pole i obwód trójkąta. [5p]   3. Dany jest równoległobok ABCD o kącie 1200, dłuższej przekątnej 18 i krótszym boku 8. Oblicz długość drugiego boku tego równoległoboku.

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ VII PLANIMETRIA Zadanie 1. Postęp: Obliczenie jednego z boków prostokąta: 6, 63 1p Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie drugiego z boków prostokąta i jego pola: P=363 2p

Zadanie 2. Postęp: Zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta w postaci: a, a+6 1p Istotny postęp: Zapisanie równania: = 2p Pokonanie zasadniczych trudności Rozwiązanie równania: a=9 3p Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie długości wszystkich boków trójkąta: 9, 15, 354 4p Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie pola i obwodu trójkąta: P = , L=3(8+54) 6p

Zadanie 3. Postęp: Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:BC=8; CE – odcinek prostopadły do AB i E należy do prostej AB; jeżeli kąt ABC=1200, to kąt CBE=600 1p Istotny postęp: Wyznaczenie długości odcinka BE: BE=4 2p Pokonanie zasadniczych trudności: Wyznaczenie długości wysokości CE: CE=43 3p Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie długości odcinka AE: AE=269 4p Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie długości drugiego boku równoległoboku AB: AB=269- 4 5p

GEOMETRIA ANALITYCZNA ROZDZIAŁ VIII GEOMETRIA ANALITYCZNA

1. Wyznacz równanie prostej k prostopadłej do prostej l o równaniu 2x + 5y – 1 = 0 przechodzącej przez punkt A=(0,-4). [2p] 2. Prosta l o równaniu 2x - y + 4 = 0 przecina okrąg o równaniu x2 – 2x + y2 + 4y = 32 w punktach A i B. Wyznacz współrzędne punktów A, B i długość cięciwy AB. [4p]   3. Dany jest kwadrat ABCD. Kolejne wierzchołki tego kwadratu mają współrzędne A=(-2,-2), B=(3,3). Wyznacz współrzędne wierzchołka C kwadratu Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie B i promieniu r =AB. [7p]

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ VIII GEOMETRIA ANALITYCZNA Zadanie 1. Postęp: Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do: a=-5 1p Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do: y=-5x-12 2p

Zadanie 2. Postęp: Zapisanie układu równań: 1p Pokonanie zasadniczych trudności: Rozwiązanie układu i zapisanie współrzędnych punktów A, B: A=(0,4); B= 3p Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie długości cięciwy AB: AB= 4p

Zadanie 3. Postęp: Wyznaczenie długości boków kwadratu: AB= 1p Istotny postęp: Wyznaczanie równania prostej AB: y=x 2p Pokonanie zasadniczych trudności Wyznaczanie równania prostej BC: y=-x+6 3p Zapisanie układu równań: 5p Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka C: C(-2,8) lub C(2,-8) 6p Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie równania okręgu: (x-3)2+(y-3)2=50 7p

ROZDZIAŁ IX STEREOMETRIA

1. Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o wysokości 12 1. Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o wysokości 12. Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 600 . Oblicz objętość graniastosłupa. [2p] 2. Dany jest prostopadłościan, którego przekątna jest równa 89, a krawędzie podstawy 3 i 4. Oblicz długość wysokości tego prostopadłościanu.   3.Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem 600, pole powierzchni bocznej stożka jest równe 162. Oblicz objętość tego stożka. [6p]

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ IX STEREOMETRIA Zadanie 1. Postęp: Wyznaczenie krawędzi podstawy graniastosłupa a=45 1p Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie objętości graniastosłupa: V=1443 2p

Zadanie 2. Postęp: Wyznaczenie przekątnej podstawy: d=5 1p Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie wysokości ostrosłupa: h=8 2p

Zadanie 3. Postęp: Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń: h,l – odpowiednio wysokość i tworząca stożka r – promień podstawy stożka 1p Pokonanie zasadniczych trudności Zapisanie układu równań: 5p Rozwiązanie prawie całkowite: Rozwiązanie układu równań: r=9 i l=18 4p Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie wysokości i objętości walca: h=93, V=2433 6p

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ROZDZIAŁ X RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

1. Rzucamy kostką do gry i monetą 1. Rzucamy kostką do gry i monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucimy orła i liczbę oczek będącą liczbą pierwszą. [2p] 2. A i B są zdarzeniami losowymi takimi, że P(A)=0,1 i P(B)=0,3, P(AB)=0,75. Oblicz P(AB). 3. Rzucamy dwa razy sześcienną symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że na każdej kostce wypada liczba oczek podzielna przez 3 lub na każdej kostce wypadło mniej niż 4 oczka. [6p]

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ X RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. Postęp: Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych: 1p Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń A – wyrzucenie orła i liczby oczek będącej liczbą pierwszą: A=3 i obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P(A)= = 2p

Zadanie 2. Postęp: Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A i B: P(A)=0,9, P(B)=0,85 1p Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń A i B: P(AB)=0,85 2p

Zadanie 3. Postęp: Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych: 1p Istotny postęp: Wyznaczenie liczebności zdarzenia A – na każdej kostce wypadła liczba oczek podzielna przez 3: A=4i wyznaczenie liczebności zdarzenia B – na każdej kostce wypadło mniej niż 4oczka: B=9 3p Pokonanie zasadniczych trudności: Wyznaczenie liczebności zdarzenia AB: AB=1 4p Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń A, B, AB: P(A)= , P(B)= , P( AB )= 5p Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń A i B: P(AB)= 6p

Tu możesz znaleźć wiele ciekawych zadań Strony internetowe z zadaniami matematycznymi 1. http://www.math.edu.pl/ 2. http://www.e-zadania.pl/ 3. http://www.zadania.info/ 4. http://www.kangur-mat.pl/zadania.php 5. http://zadaniamatematyczne.pl/sitemap Tu możesz znaleźć wiele ciekawych zadań

Prezentacja przygotowana w ramach projektu „Kompetencje kluczowe drogą do kariery” współfinansowanego ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego wraz z logotypami Projektu WSP TWP, Unii Europejskiej i Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki”