Opracowała: Joanna Wasiak Statystyka Opracowała: Joanna Wasiak

Średnia arytmetyczna Średnią arytmetyczną liczb nazywamy liczbę:

Mediana Mediana me (wartość środkowa) – wartość, która dzieli zbiór wartości danych {x1, x2,...,xn} na dwie części tak, że liczba danych, których wartości zmiennej są mniejsze od mediany, jest równa liczbie danych, których wartości zmiennej są większe od mediany.

Dominanta Dominanta (moda) mo – najbardziej prawdopodobna wartość, czyli wartość pojawiająca się najczęściej.

Wariancja i odchylenie standardowe Wariancją liczb nazywamy liczbę gdzie jest średnią arytmetyczną liczb . Odchyleniem standardowym liczb nazywamy liczbę  określoną wzorem: Zatem wariancja jest równa

Średnia ważona Średnią ważoną liczb z odpowiadającymi im wagami , gdzie są liczbami dodatnimi, określamy wzorem:

Przykładowe zadania Średnia arytmetyczna Mediana i dominanta Wariancja i odchylenie standardowe Średnia ważona

Zadanie 1 Na diagramie przedstawiono dane dotyczące miesięcznego wynagrodzenia pracowników banku (10000 zł zarabia dyrektor) a) Ile wynosi średnie miesięczne wynagrodzenie w tym banku? b) Ile wynosi średnie miesięczna wynagrodzenie 10 najlepiej, a ile 10 najgorzej zarabiających pracowników? c) Jaką podwyżkę otrzymał dyrektor, jeśli wszyscy pozostali pracownicy dostali po 200 zł podwyżki, a średnie miesięczne wynagrodzenie wzrosło o 10% Rozwiązanie

Rozwiązanie zad.1. a) Średnie miesięczne wynagrodzenie w tym banku obliczymy korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną Odp.: Średnie miesięczne wynagrodzenie w tej firmie wynosi 2840 zł. b) Średnie wynagrodzenie 10 najlepiej zarabiających pracowników obliczymy ze wzoru na średnią arytmetyczną biorąc pod uwagę ich zarobki Odp.: Średnie miesięczne wynagrodzenie 10 najlepiej zarabiających pracowników wynosi 4160 zł. c.d.

Rozwiązanie zad.1 – c. d. b) Średnie wynagrodzenie 10 najgorzej zarabiających pracowników obliczymy ze wzoru na średnią arytmetyczną biorąc pod uwagę ich zarobki Odp.: Średnie wynagrodzenie 10 najgorzej zarabiających pracowników wynosi 1740 zł. c) x - wynagrodzenie dyrektora po podwyżce, 61000 zł – łączne zarobki wszystkich pracowników oprócz dyrektora 24·200 zł = 4800 zł – łączna kwota podwyżki wszystkich pracowników, 61000zł + 4800zł = 65800 zł – łączne zarobki pozostałych pracowników po podwyżce 2840 zł + 10% z 2840 zł =2840 zł + 0,1·2840 zł = 2840 zł + 284 zł = 3124 zł - średnie wynagrodzenie pracownika banku po podwyżce Nowe wynagrodzenie dyrektora obliczymy w następujący sposób: 12300 zł – 10000 zł = 2300 zł. Odp.: Dyrektor otrzymał 2300 zł podwyżki.

Zadanie 2 Wyznacz medianę i dominantę danych: Rozwiązanie Porządkujemy dane od wartości najmniejszej do największej. -6, -1, -1, 2, 2, 8, 100 Ponieważ mamy nieparzystą liczbę danych to medianą jest wartość środkowa, czyli me=2. Mamy dwie dominanty, czyli wartości występujące najczęściej: mo=-1 lub mo=2.

Zadanie 3 Sprzedawca zanotował rozmiary butów męskich, które sprzedał pewnego dnia: 42, 44, 41, 42, 43, 42, 44, 42, 45, 43, 45, 46. Podaj dominantę i medianę tych danych. Jaki rozmiar butów sprzedawał się najlepiej. Rozwiązanie Porządkujemy rozmiary butów od najmniejszego do największego: 41, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 44, 44, 45, 45, 46. Mamy parzystą liczbę danych, zatem ich mediana jest średnią arytmetyczna dwóch sąsiednich wartości środkowych: Dominantą, czyli najczęściej występująca wartością jest rozmiar 42, czyli mo = 42. Najlepiej sprzedawał się zatem rozmiar 42

Zadanie 4 Oblicz wariancję i odchylenie standardowe następujących danych: 4, 5, 6, 7, 8. Rozwiązanie Najpierw obliczamy średnią arytmetyczną tych liczb: Następnie obliczamy wariancję: Odchylenie standardowe wynosi zatem:

Liczba przeczytanych książek Zadanie 5 W tabeli przedstawiono wyniki ankiety przeprowadzonej wśród uczniów: „Ile książek przeczytałeś w ostatnim półroczu?” Oblicz: a) Średnią liczbę książek przypadającą na jednego czytelnika. b) Wariancję. c) Odchylenie standardowe. Rozwiązanie Liczba przeczytanych książek 2 4 11 Liczba czytelników 3 5 1

Rozwiązanie zadania 5 a) Średnia liczba książek przypadającą na ucznia wynosi: b) Wariancja wynosi: c) Odchylenie standardowe wynosi:

Zadanie 6 Rozwiązanie x1 x2 x3 x4 Asia 4 5 3 3,8 Basia 6 2 Kasia Uczestnikom kursu języka angielskiego wystawiono oceny za cztery umiejętności: x1 – za rozumienie ze słuchu, x2 – za rozumienie tekstu pisanego, x3 – za wypowiedzi pisemne, x4 – za wypowiedzi ustne. Aby wystawić ocenę końcową, postanowiono obliczyć średnią ważoną z następującymi wagami: n1 = 1, n2 = 2, n3 = 4, n4 = 3. a) Oblicz końcową ocenę Basi i Kasi. b) Czy gdyby przyjęto n1 = 4 (pozostałe wagi bez zmian), to Basia miałaby wyższą średnią od swoich koleżanek? Rozwiązanie x1 x2 x3 x4 Ocena końcowa Asia 4 5 3 3,8 Basia 6 2 Kasia

Rozwiązanie zad. 6 a) Końcową ocenę Basi i Kasi obliczymy ze wzoru na średnią ważoną: Ocena Basi: Ocena Kasi: c. d.

Rozwiązanie zad.6 – c. d. b) Obliczam jeszcze raz oceny uczestniczek kursu języka angielskiego przyjmując n1 = 4. Korzystam ze wzoru na średnią ważoną: Ocena Asi: Ocena Basi: Ocena Kasi: Odp.: Tak, dla n1 = 4 Basia miałaby wyższą ocenę od swoich koleżanek.