Inteligencja Obliczeniowa Zbiory rozmyte, modelowanie wiedzy. Wykład 17 Włodzisław Duch, Google: Duch Uniwersytet Mikołaja Kopernika (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Co było Samoorganizacja Sieci Kohonena Wizualizacja - MDS (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Co będzie Zbiory rozmyte, operacje na zbiorach Liczby i operatory rozmyte Wnioskowanie rozmyte Uczenie się reguł rozmytych Rozmywanie danych wejściowych Rozmyta klasteryzacja Zastosowania (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Podstawowe pojęcia Problemy złożone trudno jest analizować precyzyjnie Wiedza eksperta w złożonych przypadkach daje się opisać w rozmyty sposób, np. Jeśli wiatr jest bardzo silny i stół jest bardzo lekki i stół jest przymocowany słabo to stół odfrunie w siną dal. Logika/systemy rozmyte obejmują: Matematykę zbiorów i logiki rozmytej Rozmytą reprezentację i przetwarzanie wiedzy do klasyfikacji, regresji i klasteryzacji. Uczenie funkcji przynależności i reguł logicznych z danych. Metody sterownia rozmytego. (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Rodzaje niepewności Niepewność stochastyczna: Np. rzut kostką, wypadek, ryzyko ubezpieczenia - rachunek prawdop. Niepewność pomiarowa Około 3 cm; 20 punktów - statystyka. Niepewność informacyjna: Wiarygodny kredytobiorca, spełniający warunki - data mining. Niepewność lingwistyczna Np. mały, szybki, niska cena - logika rozmyta (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Zbiory klasyczne młody = { x  M | wiek(x)  20 } mmłody(x) ={ Funkcja charakterystyczna 1 : wiek(x)  20 0 : wiek(x) > 20 mmłody(x) A=“młody” x [lata] 1 (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Zbiory rozmyte X - uniwersum, zbiór uniwersalny, przestrzeń; x X A - zmienna lingwistyczna, koncepcja, zbiór rozmyty. Funkcja przynależności określa stopień, w jakim x należy do A. Zmienne lingwistyczne: sumy zbiorów rozmytych, koncepcje, predykaty logiczne o ciągłych wartościach. Stopień przynależności to nie prawdopodobieństwo - łysy w 80% to nie łysy 1 na 5 razy. Prawdopodobieństwo jest unormowane do jedynki, funkcja przynależności nie. Rozmyte pojęcia są subiektywne i zależne od kontekstu. (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Przykłady x [lata] x [lata] Klasyczne i rozmyte pojęcie „młody człowiek” A=“młody” x [lata] 1 A=“młody” 1 =0.8 x [lata] x=20 x=23 „Temperatura wrzenia” ma wartość około 100 stopni (ciśnienie, skład chemiczny). (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Definicje a=0.6 Support (baza) zbioru rozmytego A: supp(A) = { x  X :  A(x) > 0 } Core (jądro) zbioru rozmytego A: core(A) = { x  X :  A(x) =1 } a-cut (a-cięcie) zbioru rozmytego A: Aa = { x  X :  A(x) > a } a=0.6 Wysokość = max x  A(x)  1 Zbiór rozmyty normalny: sup x  X  A(x) = 1 (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Terminologia MF 1 .5 a Core Crossover points a - cut Support X Core X Crossover points a - cut Support (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Typy Funkcji Przynależności Trapezoid: <a,b,c,d> Gaus/Bell: N(m,s) (x) (x) 1 1 s a b c d x c x (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Funkcje Przynależności Singleton: (a,1) i (b,0.5) x 1 a b x 1 a b c Trójkątna: <a,b,c> (x) (x) (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Zmienne lingwistyczne W=20 => Wiek=młody. Zmienna lingwistyczna = wartość lingwistyczna. Zmienna lingwistyczna: : temperatura termy (zbiory rozmyte) : { zimno, ciepło, gorąco} x [C] (x) 1 zimno ciepło gorąco 40 20 (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Liczby rozmyte Zwykle wypukłe, unimodalne (jedno maksimum). FP często się nakrywają. Liczby: jądro = punkt, x (x)=1 Monotonicznie maleją po obu stronach jądra. Typowy wybór: trójkątne funkcje (a,b,c) lub singletony. (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Suma i iloczyn zbiorów A, B - zbiory rozmyte. Suma AB to zbiór o funkcji przynależności: max można zastąpić dowolną S-normą S(a,b) która dla obu argumentów jest niemalejąca, przemienna, łączna i S(a,0)=a, S(a,1)=1. Iloczyn AB to zbiór o funkcji przynależności: min można zastąpić dowolną T-normą T(a,b) która dla obu argumentów jest nierosnąca, przemienna, łączna i T(a,0)=0, T(a,1)=a. (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Przykłady Suma Iloczyn AB(x)=max{A(x),B(x)} AB(x)=min{A(x),B(x)} A(x) B(x) A(x) B(x) 1 1 x x AB(x)=min{1,A(x)+B(x)} AB(x)=A(x)  B(x) A(x) B(x) A(x) B(x) 1 1 x x (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

T-normy i S-normy Typowe normy (konormy - T względem S): T(a,b): AND(a,b), MIN(a,b), a•b, MAX(0,a+b-1) .... S(a,b): OR(a,b), MAX(a,b), a+b-a•b, MIN(1, a+b) .... S(a,b) = 1–T(1-a,1-b) Prawa De Morgana T(a,b) = 1–S(1-a,1-b) max(a,b) = 1–min(1-a, 1-b) a•b = 1-(1-a)-(1-b) + (1-a)•(1-b) max(0, a+b-1) = 1-min(1, 1-a+1-b) (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Przykłady MIN(a,b), a•b MAX(a,b), a+b (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Normy (S1) Drastic sum: (S2) Hamacher sum: (S3) Dubois-Prade class: (S4) Yagera: (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Dopełnienie i podzbiór Dopełnienie A’ zbioru A to zbiór o funkcji przynależności: Zbiór rozmytych zbiorów, 2-elementowy: zbiory klasyczne są w rogach; w środku jest zbiór najbardziej rozmyty: (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Operacje na liczbach rozmytych Dodawanie: A+B(x) = max{A(y), B(z) | x = y+z} (x) A(y) B(z) A+B(x) 1 x Iloczyn: AB(x) = min{A(y), B(z) | x = yz} (x) A(y) B(z) AB(x) 1 x (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Operacje na zm. lingwistycznych Koncentracja: Con(A) = A2 Spłaszczenie: Dil(A) = A0.5 Intensyfikacja kontrastu: (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Rozmyte funkcje f(A)(y) f(A)(y) A(x) A(x) Mamy zbiór rozmyty A i funkcję f : Jak wygląda f(A)? Dla dowolnej funkcji f: f(A)(y) = max{A(x) | y=f(x)} f x A(x) y f(A)(y) f x A(x) y f(A)(y) max (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Funkcja b y = f(x) a Jeśli y=f(x), i x=a to y=b. Dla punktów - krzywa dla interwałów - pasmo. a b y x y = f(x) (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Iloczyn Kartezjański Jeśli zbiór A z uniwersum X1 i FP mA i zbiór B względem uniwersum X2 i FP mB to A x B jest iloczynem kartezjańskim A i B w uniwersum X1x X2 iff  (x1,x2)  X1x X2 : mAxB (x1,x2) = T(mA (x1), mB (x2)) (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

{ Rozmyte relacje Relacje klasyczne R  X Y def: mR(x,y) = 1 iff (x,y)  R 0 iff (x,y)  R { Relacje rozmyte R  X Y def: mR(x,y)  [0,1] mR(x,y) opisuje stopień powiązania x i y Inna interpretacja: stopień prawdziwości zdania x R y (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Rozszerzenie/projekcje Dodanie nowego wymiaru (cylindryczne rozszerzenie). (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Przykłady rozmytych relacji Bliskie: X Y; X zależy od Y; X podobne do Y ... X = { deszczowo, pochmurnie, słonecznie } Y = { opalanie, wrotki, kamping, lektura } X/Y opalanie wrotki kamping lektura deszczowo pochmurnie słonecznie 0.0 0.2 0.0 1.0 0.0 0.8 0.3 0.3 1.0 0.2 0.7 0.0 Stopień? Tu bardziej prawdopodobieństwo lub korelacje. (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Reguły rozmyte Wiedzę potoczną można często zapisać w naturalny sposób za pomocą reguł rozmytych. Jeśli zm. lingw-1 = term-1 i zm. lingw-2 = term-2 to zm. lingw-3 = term-3 Jeśli Temperatura = zimno i cena ogrzewania = niska to grzanie = mocno Co oznacza reguła rozmyta: Jeśli x jest A to y jest B ? (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Interpretacja Jeśli x jest A to y jest B: korelacja lub implikacja. A B y x A B x y A=>B  not A or B (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Rozmyta implikacja Jeśli korelacja to wystarczy T-norma T(A,B). A=>B ma wiele realizacji (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved

Koniec wykładu 17 Dobranoc ! (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved