Ruch drgający Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym).

Siła harmoniczna F = – kx Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą sprężystości. Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem F = – kx gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez rozciągniętą sprężynę, o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości - prawo Hooke'a.

Ruch harmoniczny

Po zawieszeniu kulki sprężyna się odkształca. Działa na nią siła ciężkości kulki powodując wydłużenie sprężyny. Równocześnie pojawia się siła sprężystości, która po pewnym czasie zrównoważy siłę ciężkości kulki. Kulka przyjmie wtedy tzw. położenie równowagi

Po przeanalizowaniu ruchu drgającego kulki zawieszonej na sprężynie można wyciągnąć następujące wnioski: • torem ruchu drgającego jest odcinek, • odcinek ten przebywa ciało w jednakowych odstępach czasu, równych połowie okresu, • wartość prędkości ulega zmianie osiągając w położeniu równowagi wartość maksymalną a w skrajnych położeniach prędkość ciała jest równa zeru, • wartość siły działającej na ciało nie jest stała, co oznacza, że w ruchu drgającym zmianie ulega przyśpieszenie, • podczas ruchu następuje przemiana jednej formy energii mechanicznej w drugą.

W czasie ruchu drgającego kulki jej położenie względem stanu równowagi zmienia się: maksymalne wychylenie ciała z położenia równowagi A nazywa się amplitudą położenia pośrednie x nazywa się wychyleniem

Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak, aby masa m (zaczepiona do sprężyny) znalazła się w położeniu x = A, a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu będzie dane równaniem x = Acost Sprawdzenie zgodności z założeniami: dla t = 0, x = A, tzn. opis zgadza się z założeniami.

– kx = ma – kx = m(dv/dt) Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że Rozwiązanie: X(t) = Acost

x = Acost jest rozwiązaniem, gdy funkcja x = Asint może być również rozwiązaniem równania, ale nie spełnia warunku początkowego, bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A).

Najogólniejszym rozwiązaniem jest gdzie  jest dowolną stałą fazową. Stałe A i  są określone przez warunki początkowe Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą: dla wychylenia A dla prędkości A (występuje gdy x = 0) dla przyspieszenia (występuje gdy x = A)

poruszającego się ruchem harmonicznym jest rzutem prędkości ciała Ruch harmoniczny można potraktować jako ruch rzutu punktu poruszającego się po okręgu na prostą. Jeżeli punkt będzie poruszał się po okręgu o promieniu r, to jego rzut będzie się poruszał ruchem drgającym wzdłuż odcinka o długości 2 • r. Prędkość ciała poruszającego się ruchem harmonicznym jest rzutem prędkości ciała poruszającego się po okręgu. Prędkość ciała w ruchu harmonicznym jest rzutem prędkości ciała poruszającego się po okręgu.

Prędkość w ruchu drgającym harmonicznym zależy od czasu.

Siła działająca na ciało poruszające się ruchem harmonicznym, podobnie jak prędkość, jest rzutem siły działającej na ciało poruszające się po okręgu. Siła działająca na ciało w ruchu harmonicznym jest rzutem siły działającej na ciało poruszające się po okręgu.

Okres drgań Funkcja cost lub sint powtarza się po czasie T, dla którego T = 2. Ta szczególna wartość czasu jest zdefiniowana jako okres T Liczba drgań w czasie t jest równa n = t/T Gdy podzielimy obie strony przez t, otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu

Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań f Dla ruchu harmonicznego więc

Na masę m działają: siła przyciągania grawitacyjnego mg i naprężenia nici N. Siłę mg rozkładamy na składową radialną i styczną. Składowa styczna jest siłą przywracającą równowagę układu i sprowadza masę m do położenia równowagi. Siła ta wynosi Siła jest proporcjonalna do sin, a nie do , więc nie jest to ruch prosty harmoniczny. Jeżeli jednak kąt  jest mały (mniejszy niż 10) to sin jest bardzo bliski  (różnica mniejsza niż 0.5%). Przemieszczenie wzdłuż łuku (z miary łukowej kąta) wynosi x = l.

Przyjmując, że sin   otrzymujemy F jest, więc, proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem "–"). Jest to kryterium ruchu harmonicznego. Stała mg/l określa stałą k w równaniu F = – kx. Przy małej amplitudzie okres wahadła prostego wynosi okres wahadła nie zależy od amplitudy i od masy wahadła

Wahadło fizyczne Dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi przechodzącej przez to ciało nazywamy wahadłem fizycznym. P jest punktem zawieszenia ciała, a punkt S, znajdujący się w odległości l od punkt P, jest środkiem masy

M = – mglsin Moment siły M działający na ciało wynosi Korzystając ze związku otrzymujemy

Dla małych wychyleń, dla których sin   dostajemy równanie To równanie ma taką samą postać jak równanie dla ruchu harmonicznego, więc: lub

Jako przypadek szczególny rozpatrzmy masę punktową zawieszoną na nici o długości l. Wówczas I = ml2 i otrzymujemy znany wzór dla wahadła prostego

Wartości średnie (czasowe) energii potencjalnej i kinetycznej. (Wartości średnie oznaczamy kreską umieszczoną ponad symbolem.)

Wartość średnia jest taka sama jak i wynosi 1/2. Poza tym sin2t + cos2t = 1 i średnia każdego składnika jest taka sama. Widać, że

Przykład Obliczmy, jaką część energii całkowitej stanowi energia potencjalna, a jaką energia kinetyczna ciała, kiedy znajduje się ono w połowie drogi między położeniem początkowym, a położeniem równowagi?

Oscylator harmoniczny tłumiony W przypadku drgań mechanicznych siłą hamującą (tłumiącą) ruch cząstki jest siła oporu Fop ośrodka. Siła oporu ma zwrot przeciwny do prędkości i w najprostszej postaci jest wprost proporcjonalna do prędkości Fop  v, czyli Gdy działa tylko siła tłumienia to

Jeżeli wprowadzimy zmienną (o wymiarze czasu) to otrzymamy równanie co można przepisać w postaci

Całkujemy to równanie obustronnie Skąd otrzymujemy po przekształceniu

Prędkość maleje wykładniczo z czasem, czyli prędkość jest tłumiona ze stałą czasową 

Jeżeli włączymy siłę hamującą do oscylatora, wówczas równanie ruchu przyjmie postać Wprowadzając  = M/ oraz oznaczając częstość drgań nietłumionych otrzymujemy

Szukamy rozwiązania w postaci drgań okresowo zmiennych tłumionych, np. Rozwiązanie zawiera czynnik oscylacyjny i tłumiący Współczynnik określający wielkość tłumienia nazywamy współczynnikiem tłumienia

W wyniku rozwiązania dostajemy warunek na częstość drgań tłumionych Opór zmniejsza amplitudę i częstość

Powyższe rozważania dotyczą sytuacji "słabego tłumienia" tj.  < 0. Gdy tłumienie wzrośnie powyżej pewnej krytycznej wartości ( = 0) ruch nie jest ruchem drgającym ale obserwujemy, że ciało wychylone z położenia równowagi powraca do niego asymptotycznie. Taki ruch nazywamy ruchem pełzającym (aperiodycznym). Zależności wychylenia od czasu dla ruchu tłumionego krytycznie ( = 0) i ruchu pełzającego ( > 0) są pokazane na wykresie.