Wykład inauguracyjny Klub Gimnazjalisty Złota liczba Wykład inauguracyjny Klub Gimnazjalisty Wykład inauguracyjny dla KLUBU GIMNAZJALISTY

Złoty podział Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do większej części nazywa się złotym podziałem (złotym cięciem). Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych. Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.

W starożytności Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje. złoty podział uważali za proporcję doskonałą. stosowali go w architekturze i sztuce.

Parthenon na Akropolu fronton świątyni mieści się w złotym prostokącie plan świątyni jest złotym prostokątem

Apollo Belwederski Twórcą rzeźby był Leochares (IV wiek pne.) Linia I dzieli na dwie części całą postać w złotej proporcji, linia E wskazuje złotą proporcję między głową a górną częścią tułowia, linia O zaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia.

Renesans okres wielkiej fascynacji antykiem, złota proporcja nazywana jest boską proporcją (divina proportio), powstaje traktat matematyczny „O boskiej proporcji” Luca Pacioli (1509r.), ilustracje do traktatu wykonuje Leonarda da Vinci – mistrz proporcji i  perspektywy.

Rysunek Leonarda da Vinci Kanon proporcji

Złote cięcie w przyrodzie Na wspólnej gałązce między każdymi dwiema parami listków trzecia para leży w miejscu złotego cięcia.

Złoty podział odcinka Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części. liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ (fi)). Przedstawiamy obliczenia liczby złotej liczby φ i różne inne zależności a b a + b a + b a b

Wzory i zależności złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania: dokładna wartość: przybliżona wartość: kwadrat złotej liczby: odwrotność złotej liczby: dokładna wartość: przybliżona wartość:

Własności złotej liczby Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jedynkę. Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej jedynkę. Potęgi złotej liczby są liniowo zależne od tej liczby. (Współczynniki przy φ, jak i wyrazy wolne, są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego). Liczymy kilka potęg liczby złotej

Leonardo Fibonacci Podróżnik i kupiec z Pizzy Autor „Liber abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej (1202 r.), Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego, Autor słynnego zadania o królikach.

Zadanie Fibonacciego: Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, para staje się płodna po miesiącu, króliki nie zdychają?

W jaki ciąg układają się liczby par królików w kolejnych miesiącach? Rysunek ilustruje, w jaki ciąg układają się liczby par królików w kolejnych miesiącach.

Ciąg Fibonacciego 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … Liczby z ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego, pierwszy i drugi wyraz to 1, każdy następny to suma dwóch poprzednich, postać rekurencyjna ciągu (fn – n-ty wyraz ciągu):

Ciąg Fibonacciego a złota liczba Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby: 3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625 … 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… Wzór ogólny ciągu (φ-złota liczba) – wzór Bineta:

Liczby Fibonacciego w przyrodzie Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź.

Ananas 8 i 13

Słonecznik

Złoty prostokąt W złotym prostokącie stosunek długości do szerokości jest złotą liczbą

Złoty prostokąt Prostokąt otrzymany po odcięciu możliwie największego kwadratu jest złotym prostokątem b a a - b

Dwudziestościan foremny Wierzchołki trzech wzajemnie do siebie prostopadłych złotych prostokątów wpisanych w dwudziestościan foremny znajdują się w 12 wierzchołkach tego wielościanu.

Dwunastościan foremny Wierzchołki trzech wzajemnie do siebie prostopadłych złotych prostokątów wpisanych w dwunastościan foremny znajdują się w środkach ścian tego wielościanu.

Spirala kolejne punkty wyznaczające złoty podział leżą na spirali równokątnej

Liczby Fibonacciego a złoty prostokąt 3 2 8 1 1 5

Złoty trójkąt 36º A C B D trójkąt równoramienny, w którym stosunek ramienia do podstawy jest równy złotej liczbie to złoty trójkąt. w złotym trójkącie kąt między ramionami ma 36°. Przedstawić dowód

Pięciokąt foremny wszystkie boki równe wszystkie kąty równe, wszystkie przekątne równe, każda przekątna jest równoległa do jednego  boku.

A B C D E F G H L K Które trójkąty są podobne w narysowanym pięciokącie foremnym (przystające)? Jaką miarę ma kąt ADB? Jaką długość ma przekątna 5-kąta foremnego o boku długości 1? W jakim stosunku jedna przekątna dzieli drugą w pięciokącie foremnym?

Pięciokąt foremny a złota liczba punkt przecięcia przekątnych pięciokąta foremnego wyznacza ich złoty podział. przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem. złoty stosunek w pięciokącie foremnym odkrył i udowodnił Hippasus (V wiek pne).

Dziesięciokąt foremny W dziesięciokącie foremnym bok ma długość równą długości dłuższego z odcinków wyznaczonych przez złoty podział promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie. Dziesięciokąt foremny można podzielić na 10 złotych trójkątów mających wspólny wierzchołek w środku okręgu opisanego na tym wielokącie.

Pentagram pięciokąt foremny gwiaździsty gwiazda pitagorejska godło Bractwa Pitagorejczyków symbol doskonałości według Pitagorejczyków.

Jak narysować pentagram? przedłużyć w obie strony boki pięciokąta foremnego, narysować łamaną złożoną ze wszystkich przekątnych pięciokąta foremnego.

Własności pentagramu miara kąta w wierzchołku pentagramu jest równa 36º. suma kątów przy wierzchołkach pentagramu wynosi 180°. we wszystkich punktach skrzyżowania promieni gwiazdy pitagorejskiej jest złote cięcie. złotemu podziałowi podlega cały promień gwiazdy oraz jego dłuższa część powstała w wyniku podziału.

Literatura Śladami Pitagorasa – Szczepan Jeleński Ścieżki matematyki – Nigel Langdon i Charles Snape Przez rozrywkę do wiedzy – Stanisław Kowol Księga liczb – John Conway i Richard Guy Liczby i algorytmy – Krystyna Dałek