Rozdział IV - Ciągi płatności 4.1 Oprocentowanie proste – stopa stała 4.2 Oprocentowanie proste – stopa zmienna 4.3 Oprocentowanie składane – stopa stała 4.4 Oprocentowanie składane – stopa zmienna

Rozdział IV – Ciągi płatności Wstęp W wielu transakcjach finansowych występują ciągi płatności. Na przykład zakupy na raty, ratalna spłata kredytu, wkłady oszczędnościowe lub wypłaty rent i emerytur. W takich przypadkach pojawiają się problemy wyznaczenia wartości ciągu płatności. Rozwiązywanie tych problemów uwzględnia warunki oprocentowania i dyskontowania. 1. Podstawowe określenia. Ciągiem płatności – nazywamy ciąg kapitałów: K0 , ... , K n , ... ,KN aktualnych odpowiednio w chwilach: 0, ..., n , ..., N. Wartością początkową ciągu płatności Q(N) – nazywamy sumę płatności: K0 , ... , K n , ... ,KN zaktualizowanych na moment n = 0. Aktualizację przeprowadza się poprzez dyskontowanie. Wartością końcową ciągu płatności Q(n) - nazywamy sumę płatności: K0 , ... , K n , ... ,KN zaktualizowanych na moment n. Aktualizację przeprowadza się poprzez oprocentowanie dla płatności Km gdy m.< n oraz poprzez dyskontowanie dla płatności Km gdy m.> n. Ciąg płatności: K0 , ... , K n , ... ,KN jest równoważny kapitałowi P w chwili m. jeśli jego wartość aktualna Q(m.) jest równa aktualnej wartości kapitału P w chwili m. t.z.n. Q(m) = P(m) (4.1)

4.1 Oprocentowanie proste – stopa stała Rozważmy ciąg płatności przy założeniu, że oprocentowanie i dyskontowanie jest proste, a stopa procentowa jest stała. Załóżmy, że stopa procentowa r jest stała w okresie od n = 0 do n = N. Ø W przypadku oprocentowania prostego wartość końcową ciągu płatności: K0 , ... , K n , ... ,KN wyznaczymy poprzez oprocentowanie: Q(N)= K0 · (1+ r · N) +,…,K n ·[ 1+ r · (N –n )] +,...,+ KN (4.2) W przykładzie (1.4) pokazano obliczenia wartości końcowej ciągu płatności dla stałej stopy procentowej przy oprocentowaniu prostym. Na arkuszu kalkulacyjnym wprowadzono: o W kolumnie A numery miesięcy o W kolumnie B ciąg kapitałów o W kolumnie C czynnik pomocniczy o W kolumnie D przyszłą wartość kapitału o W komórce B1 liczbę miesięcy o W komórce B2 stałą stopę procentową o W komórce B3 początkową wartość kapitału

Tabela 1.7 Schemat arkusza formuł dla oprocentowania prostego ze stałą stopa procentową - wartość końcowa ciągu płatności.

Tabela 1.8 Wyniki obliczeń dla oprocentowania prostego ze stałą stopą procentową - wartość końcowa ciągu płatności.

Ø Wartość początkową wyznaczymy poprzez dyskontowanie: (4.3) W przykładzie 1.5 pokazano obliczenia wartości początkowej ciągu płatności dla stałej stopy procentowej przy oprocentowaniu prostym. Na arkuszu kalkulacyjnym wprowadzono: o W kolumnie A numery miesięcy o W kolumnie B ciąg kapitałów o W kolumnie C czynnik pomocniczy o W kolumnie D przyszłą wartość kapitału o W komórce B1 liczbę miesięcy o W komórce B2 stałą stopę procentową o W komórce B3 początkową wartość kapitału

Tabela 1.9 Schemat arkusza formuł dla oprocentowania prostego ze stałą stopa procentową - wartość początkowa ciągu płatności.

Tabela 1.10 Wyniki obliczeń dla oprocentowania prostego ze stałą stopą procentową - wartość początkowa ciągu płatności.

(4.5) Q (m.) ·[ 1 + r · ( n -m )]  Q (n) Ø Wartość ciągu płatności aktualną w chwili n wyznaczymy poprzez oprocentowanie ( dla m. < n ) i dyskontowanie odpowiednich kapitałów Km . (4.4) Można zauważyć, że kapitał K n nie podlega oprocentowaniu ani dyskontowaniu chwili aktualizacji n. Ø W przypadku oprocentowania i dyskontowania prostego ze stałą stopą aktualne wartości ciągu płatności Q (m) oraz Q (n) na ogół nie są równoważne tzn.: Q (m.) ·[ 1 + r · ( n -m )]  Q (n) (4.5)

4.2 Oprocentowanie proste - stopa zmienna ciągi płatności Załóżmy, że dane są zmienne stopy procentowe r1, ... ,r n, ... ,rN Wartość końcową ciągu płatności w takim przypadku wyznaczymy poprzez oprocentowanie: Q (N) = K0 · ( 1+ r1+,…,+ rN)+,…,+ Kn · (1+ rn+1 +,...,+ rN)+,...,+KN (4.6) Ø Wartość początkowa ciągu płatności jest wyznaczana poprzez dyskontowanie:

Q (m.) ·( 1+ r m.+1+,...,r n ) Q (n) (4.9) Ø Wartość ciągu płatności aktualną w chwili n wyznaczymy poprzez oprocentowanie ( dla m. < n ) oraz poprzez dyskontowanie ( dla m. > n ) odpowiednich kapitałów Km: (4.8) Ø W przypadku oprocentowania i dyskontowania prostego ze zmienną stopą wartości aktualne ciągu płatności Q (m.) oraz Q (n) na ogół nie są równoważne, t.z.n: Q (m.) ·( 1+ r m.+1+,...,r n ) Q (n) (4.9)

4.3 Oprocentowanie składane – stopa stała ciągi płatności Rozważmy procent i dyskonto składane w przypadku stałej stopy procentowej. Załóżmy, że stopa procentowa r jest stała w okresie od n = 0 do n = N. Ø W przypadku oprocentowania składanego wartość końcową ciągu płatności: K0 , ... , K n , ... ,KN wyznaczymy poprzez oprocentowanie: Q (N)=K0 · ( 1+r)N+,…,+K n·(1+r)N-n+,...,+KN (4.10) Ø Z kolei wartość początkową ciągu płatności wyznaczamy poprzez dyskontowanie: (4.11)

Ø Wartość aktualną ciągu płatności w chwili n wyznaczamy poprzez oprocentowanie ( dla m. < n) i dyskontowanie ( dla m. > n) odpowiednich kapitałów Km: (4.12)

4.4 Oprocentowanie składane – stopa zmienna ciągi płatności Rozważmy procent i dyskonto składane w przypadku zmiennej stopy procentowej. Załóżmy, że dane są zmienne stopy procentowe: r1,...,r n,...rN Ø Wartość końcową ciągu płatności: K0 , ... , K n , ... ,KN wyznaczymy w tym przypadku poprzez oprocentowanie: Q (N) = K0 · (1+r1 ) ·…·(1+ rN)+,…,+Kn·(1+rn+1) ·...·(1+rN)+,.....+KN (4.13) Ø Wartość początkowa ciągu płatności jest wyznaczana poprzez dyskontowanie: (4.14)

Q(n) =K0 ·( 1+ r1) ·…·( 1+ rn)+,…,+ Kn-1 ·( 1+ rn) + Ø Wartość ciągu płatności aktualną w chwili n wyznaczamy poprzez oprocentowanie ( dla m < n)oraz poprzez dyskontowanie ( dla m > n) odpowiednich kapitałów Km : Q(n) =K0 ·( 1+ r1) ·…·( 1+ rn)+,…,+ Kn-1 ·( 1+ rn) + (4.15) W przypadku oprocentowania składanego wartość początkowa ciągu płatności Q(0) jest równoważna wartości końcowej Q(N) w dowolnej chwili od n =0 do n =N, tzn: - dla zmiennej stopy procentowej stopy procentowej: (4.17)