Małgorzata Paśnicka Opiekun pracy: prof. dr hab.inż. Marcin Barlik Analiza porównawcza metod interpolacji topo-izostatycznych odchyleń pionu na obszarze Tatr i Podhala Małgorzata Paśnicka Opiekun pracy: prof. dr hab.inż. Marcin Barlik Seminarium Zakładu Geodezji Planetarnej, 14 marzec 2008

Wstęp: Eksperyment został wykonany na podstawie danych grawimetrycznych z obszaru Tatr i Podhala, Dane grawimetryczne pochodzą z różnych lat: od 1972 roku z pomiarów grawimetrycznych oraz od 2006 roku z pomiarów GPS.

Wstęp: Wykorzystano metody interpolacji: Kriging, minimalnej krzywizny, odwrotnych odległości; Wykonano obliczenia: redukcji Bouguera, wolnopowietrznych, kompensacyjnych, topograficznych.

Rozmieszczenie punktów pomiarowych Nowy Targ Zakopane Kościelisko

Cel pracy: Analiza porównawcza metod interpolacji topo- izostatycznych odchyleń pionu; Wybór optymalnej metody do interpolacji elementów pola siły ciężkości: odchylenia pionu, anomalie grawimetryczne, przyspieszenia siły ciężkości;

Zjawisko izostazji Izostazja: równowaga mas skorupy ziemskiej i płaszcza ziemskiego w warstwie kompensacyjnej. Rozróżnia się dwa modele izostazji : - Pratta-Hayforda; - Airy’ego-Heiskanena.

Model Airy’ego-Heiskanena: Różna głębokość zalegania słupów litosferycznych o jednakowej gęstości; Wyróżnia się korzeń t poniżej granicy kompensacji. H Geoida ocean Hw D Skorupa ziemska Powierzchnia kompensacji Strefa Moho t Płaszcz ziemski

Model Pratta – Hayforda: Bloki litosferyczne zanurzone na tej samej głębokości; Różna gęstość słupów. h ρi D ρ0 ρA

Redukcja Bouguera: Polega na usunięciu tzw. płyty Bouguera; Punkt pomiarowy ma przyspieszenie takie, jakby znajdował się na wysokości H nad „obnażoną geoidą”; Redukcję Bouguera wyraża się jako: W terenach górskich jest to zawsze wartość ujemna, dla obszaru oceanów wartość dodatnia.

Interpretacja redukcji Bouguera: fizyczna powierzchnia Ziemi g(P)‏ g(P0)‏ H płyta Bouguera elipsoida odniesienia geoida γ(P0)‏

Anomalie Bouguera: Anomalie Bougera nie są silnie zależne od wysokości. Stąd używamy ich pomocniczo do interpolacji anomalii wolnopowietrznych.

Wartości Anomalii Bouguera [mGal] na obszarze Tatr i Podhala:

Topografia Tatr i Podhala

Redukcja topograficzna: Redukcja o niezmiennie dodatniej wartości; Uwzględnia wpływ mas poniżej lub powyżej stanowiska pomiarowego; Oblicza się numerycznie zakładając średnią gęstość słupów, wysokość terenu pozyskuje się z numerycznego modelu terenu.

Wartości poprawki topograficznej na obszarze Tatr i Podhala:

Topografia Tatr i Podhala

Poprawka kompensacyjna: Redukcja korzenia topograficznego t; Po redukcji kompensacyjnej korzenie nie wystają ponad powierzchnię kompensacyjną; Wpływ przyciągania dodatkowych mas, tj. korzenia, dodaje się do wartości przyspieszenia.

Poprawka kompensacyjna: Składowa pionowa przyciągania mas kompensujących: ri, ri+1 - promienie pierścieni, które wyznacza się wokół stanowiska pomiarowego; D - głębokość kompensacji; t - głębokość zalegania korzenia topograficznego; Δρ- różnica gęstości pomiędzy skorupą a płaszczem.

Wartości poprawki kompensacyjnej na obszarze Tatr i Podhala:

Topografia Tatr i Podhala

Redukcja wolnopowietrzna: Jest silnie zależna od wysokości; Za jej pomocą sprowadza się wartość pomierzonego przyspieszenia na geoidę; Redukcja wyrażona jest za pomocą gradientu pionowego: P H geoida P

Redukcja wolnopowietrzna: Geoida zostaje zregularyzowana; Żadne masy nie wystają ponad jej powierzchnię (pod warunkiem wprowadzenia poprawki topograficznej); Redukcje wolnopowietrzne zależą silnie od wysokości (nie nadają się do wykonywania za ich pomocą interpolacji liniowych przyspieszenia w terenach górskich).

Wartości anomalii wolnopowietrznej [mGal] na obszarze Tatr i Podhala:

Topografia Tatr i Podhala

Redukcja izostatyczna: Na redukcję składają się: redukcja topograficzna korzenia o grubości t, redukcja Bouguera oraz redukcja wolnopowietrzna; Sens redukcji izostatycznej polega na takim przemieszczeniu mas topograficznych wystających ponad geoidą, aby znalazły się one między warstwą kompensacyjną, a geoidą.

Bloki litosferyczne przed redukcją izostatyczną: Bloki litosferyczne po redukcji izostatycznej: Bloki litosferyczne przed redukcją izostatyczną: H geoida geoida D ρS D Powierzchnia kompensacji Powierzchnia kompensacji t ρP Płaszcz Płaszcz

Anomalie topo-izostatyczne siły ciężkości: Otrzymujemy wykonując następujące obliczenia: g(P) – wartość pomierzonego przyspieszenia siły ciężkości; RB - wartość redukcji Bouguera; RT - wartość redukcji topograficznej; RKOM - wartość redukcji kompensacyjnej; RWP – wartość redukcji wolnopowietrznej; γ0(P’) – wartość przyspieszenia normalnego.

Wartości anomalii topo-izostatycznej na obszarze Tatr i Podhala.

Topografia Tatr i Podhala

Odchylenie pionu: Odchyleniem pionu θ nazywamy kąt między normalną do geoidy, a normalną do elipsoidy odniesienia.

Topo-izostatyczne odchylenia pionu: Wyznaczone na podstawie całki Vening-Meinesza o postaci: W miejsce anomalii wstawia się anomalie topo- izostatyczne. Q(Ψ) – funkcja Vening-Meinesza; pochodna funkcji Stokesa pomnożona przez sin Ψ;

Realizacja całki Vening-Meinesza: Zastępujemy znak całki iloczynem anomalii i odległości: - promień, wokół którego odbywa się całkowanie anomalii; - gradient horyzontalny anomalii wzdłuż południka; - gradient horyzontalny anomalii wzdłuż pierwszego wertykału.

Wartości składowej ξ topo-izostatycznych odchyleń pionu na obszarze Tatr i Podhala wyznaczone przy użyciu metody Kriging [arcsec]‏

Topografia Tatr i Podhala

Wartości składowej η topo-izostatycznych odchyleń pionu na obszarze Tatr i Podhala wyznaczone przy użyciu metody Kriging [arcsec]‏

Topografia Tatr i Podhala

Wartości składowej ξ topo-izostatycznych odchyleń pionu na obszarze Tatr i Podhala wyznaczone przy użyciu metody odwrotnych odległości [arcsec]

Topografia Tatr i Podhala

Wartości składowej η topo-izostatycznych odchyleń pionu na obszarze Tatr i Podhala wyznaczone przy użyciu metody odwrotnych odległości [arcsec]

Topografia Tatr i Podhala

Wartości składowej ξ topo-izostatycznych odchyleń pionu na obszarze Tatr i Podhala wyznaczone przy użyciu metody minimalnej krzywizny [arcsec]‏

Topografia Tatr i Podhala

Wartości składowej η topo-izostatycznych odchyleń pionu na obszarze Tatr i Podhala wyznaczone przy użyciu metody minimalnej krzywizny [arcsec]

Topografia Tatr i Podhala

Wnioski: Wartości minimalne i maksymalnej dla każdej metody interpolacji występują w punktach bliskich siebie. W metodzie minimalnej krzywizny otrzymano największą rozbieżność wartości liczbowych odchyleń pionu. W metodzie Kriging otrzymano najmniejsze błędy interpolacji (0,05’’).

Wnioski cd: W metodzie odwrotnych odległości otrzymano sztuczne nagromadzenie izolinii wokół ekstremalnych wartości. Ujemne wartości odchyleń pionu występują przy wzniesieniach. Dodatnie wartości odchyleń pionu występują na wzniesieniach. Metoda kriging jest optymalna, ponieważ otrzymano najmniejsze błędy interpolacji i najbardziej prawdopodobne wyniki.

Dziękuję za uwagę!

Metoda interpolacji Kriging. Wartość w punkcie, w którym dokonuje się interpolacji jest obliczona jako średnia ważona z grupy otaczających punktów pomiarowych. Analizowana zmienna ma rozkłąd normalny. Można eliminować zakłócenia, które wywołują wartości ekstremalne.

Metoda interpolacji odwrotnych odległości (Inverse Distance). Oblicza zmienną na podstawie danych pomiarowych przy zachowaniu ich wartości. Metoda posługuje się średnią wagową. Współczynniki średniej ważonej dobiera się odwrotnie proporcjonalnie do odległości. Wartość wyinterpolowana przyjmuje postać:

Metoda interpolacji minimalnej krzywizny (Minimum Curvature). Metoda wykorzystuje funkcje sklejane. Najczęściej stosowaną funkcją jest: Funkcje sklejane są szacowane w małych podzbiorach punktów pomiarowych.