Zmienne losowe i ich rozkłady Zmienna losowa: liczba przyporządkowana zdarzeniu Dystrybuanta: F(x)=P(y£x) Gęstość prawdopodobieństwa: f(x)=dP(x)/dx Funkcja zmiennej losowej jest też zmienną losową.

Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa liczby oczek w pojedynczym rzucie kostką symetryczną

Momenty rozkładu Dla zmiennych ciągłych: Jeżeli H(x)=(x-xc)n to E{H(X)} nazywa się n-tym momentem x względem c; jeżeli c= to E jest n-tym momentem centralnym, mn({x}).

Użyteczne momenty centralne Wariancja Skrzywienie Kurtoza

Obliczanie momentów centralnych z próby

Przykłady momentów centralnych paru rozkładów

Mediana i kwantyle f(x) 1.0 0.5 0.2 x0.2 x0.5 x mediana

Rozkład dwóch zmiennych i kowariancja

Rozkład normalny u : zmienna stadardyzowana

Centralne twierdzenie graniczne Jeżeli x jest zmienną losową o wartości średniej a i wariancji b2, to zmienna Ma rozkład normalny o wartości średniej a i wariancji b2/n.

Pobieranie próby Populacja generalna: zbiór wyników wszystkich możliwych doświadczeń określonego typu. Próba n-wymiarowa: zbiór n wyników doświadczeń. Wyniki j-tej próby przedstawiamy w postaci n-wymiarowej zmiennej losowej x(j)=(x1(j),x2(j),...,xn(j)). Wektor ten ma rozkład prawdopodobieństwa g(x)=g(x1,x2,...,xn).

Pobieranie losowe 1. g(x)=g1(x1)g2(x2)...gn(xn) (prawdopodobieństwa pobrania poszczególnych elementów próby są niezależne od siebie), 2. g1(x)=g2(x)=...=gn(x)=f(x) (poszczególne rozkłady muszą być identyczne z rozkładem gęstości dla populacji).

Dystrybuanta empiryczna (rozkład w próbie) Wn(x)=nx/n nx – liczba elementów próby takich że xj<x. Wn(x) dąży do prawdziwej dystrybuanty F(x) dla n®¥.

Przedstawianie rozkładów z próby Wykresy liniowe (jednowymiarowe) Histogramy Wykresy schodkowe Wykresy słupkowe Wykresy impulsowe Konstrukcja histogramu h(x)=n(x<y£x+Dx) h(x1,x2,...,xn)=n(x1<y1£x1+Dx1,x2<y2£x2+Dx2,..., xn<yn£xn+Dxn)

Przedstawienie wyników pomiarów oporu 100 pojedynczych oporników Wykres liniowy Histogram – wykres słupkowy Histogram – wykres schodkowy Histogram – wykres z zaznaczonymi przedziałami błędów Zależność postaci histogramów z próby dla czterech różnych szerokości przedziałów

Statystyki i estymatory Statystyka: funkcja określona na elementach próby, np. średnia. Estymator: przybliżona wartość parametru rozkładu prawdopodobieństwa wyznaczona z próby. S=S(x1,x2,...,xn) Estymator jest nieobciążony jeżeli jego wartość oczekiwana nie zależy od liczby elementów próby. Estymator jest zgodny jeżeli jego wariancja dąży do zera wraz ze wzrostem liczby elementów próby.

Estymator wartości średniej rozkładu Estymator wartości średniej jest zatem estymatorem nieobciążonym i zgodnym.

Estymator wariancji rozkładu (nieobciążony i zgodny)

Estymator wariancji wartości średniej: Estymator odchylenia standardowego wartości średniej: Estymator błędu ochylenia standardowego:

Estymatory nieobciążone i zgodne skośności i kurtozy

Obliczanie mediany z serii pomiarów wielkości prostej Sortujemy wyniki pomiarów od najmniejszego do największego, Jeżeli liczba pomiarów (n) jest nieparzysta to mediana (xm) jest środkowym wynikiem pomiaru o numerze (n+1)/2 Jeżeli liczba pomiarów jest parzysta to mediana jest średnią arytmetyczną największego wyniku z “lewej” i najmniejszego z “prawej” połowy.

Wielowymiarowy rozkład normalny

Przenoszenie błędów (rachunek błędów) Niech x=(x1,x2,...,xn) będzie n-wymiarową zmienną losową złożoną z niezależnych składników o rozkładach normalnych z wariancjami s12, s22,..., sn2. Wtedy funkcja skalarna y=f(x) tej zmiennej losowej jest zmienną losową opisywaną w przybliżeniu rozkładem normalnym o następującej wariancji:

Jeżeli elementy x są skorelowane to we wzorze występuje pełna macierz wariancji-kowariancji

Szacowanie błędu “z góry” gdzie ry jest oszacowanym maksymalnym błędem wielkości y a rxi jest oszacowanym maksymalnym błędem wielkości xi.

Rozkład wariancji z próby (rozkład c2) Pobieramy próbę x1,x2,...,xn z rozkładu normalnego o a=0 i s=1. Dystrybuanta rozkładu zmiennej x2=x12+x22+...+xn2 jest dana następującą funkcją: gdzie G(y) jest funkcją gamma Eulera (silnią uogólnioną na liczby rzeczywiste).

Zatem sam rozkład wariancji jest dany następującą funkcją