Czy politycy kłamią, czyli początki przekształcenia Fouriera fun.from.hell.pl begier.mpg

Dla przypomnienia: (stary dowcip) Pewnego dnia Luke Skywalker zaczął się tak mocno jąkać, że udusił się i umarł. Trafił do nieba i w poczekalni widzi mnóstwo zegarów, z których każdy pokazuje inną godzinę. A cóż to? Pyta Świętego Piotra. Ano każdy człowiek przy urodzeniu dostaje zegar ustawiony na godzinę 12. Za każdym razem gdy człowiek skłamie wskazówka przesuwa się o minutę. O tu jest zegar Matki Teresy z Kalkuty, cały czas wskazuje 12:00. No dobra, o gdzie są zegary Lorda Vadera, komandora Tarkina i Dartha Maula? pyta Luke. A, tych używamy jako wentylatorów w świetlicy.

1 kłamstwo (wskazówka nieco się obróciła) (narodziny) kąt  drugie, i tak dalej ... Z – położenie końca wskazówki Matka Teresa – sygnał stały. Wskazówka pozostaje w miejscu co jest dość monotonne* Lord Vader – sygnał zmienny W miarę upływu czasu (kolejnych kłamstw Lorda) kąt  ulega zmianie *może dlatego Ciemna Strona Mocy jest intrygująca

 2 (kąt) zmienia się z kolejnymi kłamstwami...  1  3 Zauważmy, że taki eksperyment myślowy od razu narzuca dyskretną dziedzinę sygnału (nie wyróżniamy czegoś takiego jak pół kłamstwa). Zatem kolejne kłamstwa Vadera można ponumerować (indeksować liczbami naturalnymi)

Jest pewien problem: otóż indeksujemy sygnał kolejnymi kłamstwami: czas k=0 Brakuje relacji czasowej między kolejnymi kłamstwami.

Vader kłamie pierwszy raz w życiu: „zegar” przeskakuje o minutę... ...z tym że przez dwadzieścia lat jest superszlachetnym rycerzem Anakinem i nie kłamie. W pewnym momencie przechodzi na Ciemną stronę i zaczyna łgać jak pies. Wskazówka przeskakuje o jedną minutę po dwudziestu latach... Potem jest już z górki i Lord pogrąża się całkowicie w szerzeniu intryg imperium zła. Wskazówka zaczyna tykać z ogromną, nieprzewidywalną częstością (na przykład 5 razy na sekundę) Opisywany w doświadczeniu zegar w rzeczywistości zegarem nie jest ponieważ nie tyka równo...

Wprowadzając dodatkowe założenie synchronizujemy „zegar” Wprowadzając dodatkowe założenie synchronizujemy „zegar”. Tyka on z częstotliwością np. 5 Hz. Innymi słowy częstotliwość generowania sygnału wynosi 5 Hz. „k” służy teraz do indeksowania równych odstępów czasu wynoszących 1/5 s. Kąt zależy od czasu wprost:

Dodatkowo kłamstwo kłamstwu nierówne Dodatkowo kłamstwo kłamstwu nierówne. Kolejne wypowiedzi Lorda mogą mieć różny „ciężar gatunkowy”. Niech długość wskazówki czyli moduł określa tę właśnie wielkość. Z1 Z1 Z3 Z4 Zatem sygnał zespolony określają dwie wielkości zależne od indeksu k (numeru kłamstwa): kąt oraz moduł

stosunek Imperatora do Vadera (część rzeczywista Z) urojenia Vadera zakładamy, że wszystkie kłamstwa są równie wstrętne stosunek Imperatora do Vadera (część rzeczywista Z) ponieważ założyliśmy stałość odcinków czasowych dzielących kolejne próbki sygnału, możemy dokonać projekcji Z na oś rzeczywistą otrzymując biorytm humoru Imperatora

„Adventure, excitement, a Jedi craves not these things”

Wnioski Sygnał może być reprezentowany przez ruch punktu „Z” na płaszczyźnie zespolonej. Odległość punktu od początku układu współrzędnych to moduł liczby zespolonej. Kąt pomiędzy osią x (rzeczywistą) to kąt fazowy (faza). Obie wielkości opisane powyżej są funkcjami czasu (dyskretnego lub ciągłego). Elementarnym sygnałem jest krążenie punktu „Z” po okręgu ze stałą prędkością.

Sygnał o czasie ciągłym w chwili t2 kąt zwiększył się do wielkości 2 jakaś chwila t1 dla której kąt=1 Zakładamy że każdemu przyrostowi czasu t odpowiada stały przyrost kąta  . Wobec tego możemy użyć prostego „krzyżakowego” rozumowania: 2 - T (okres)   - t zatem:

Pamiętamy że 1/T to częstotliwość Pamiętamy że 1/T to częstotliwość. Częstotliwość określa zatem jak szybko zmienia się kąt . Czyli jak szybko punkt krąży po okręgu. f1 f2 f3 częstotliwość sygnał zespolony: 0 określa punkt startowy > szybsze wirowanie >

Krążenie punktu po okręgu określone jest przez liczby zespolone Krążenie punktu po okręgu określone jest przez liczby zespolone. Jednakże sygnały które mierzymy są rzeczywiste. Są one punktu „Z” na oś rzeczywistą (konwencja): Rzutowanie z matematycznego punktu widzenia:

Powrót Jedi (wzór Eulera) Z liczba sprzężona Dodajemy geometrycznie drugi wektor wodzący dla którego kąt jest równy co do wielkości i przeciwny co do znaku

Powstawanie ujemnych prążków widma nie jest efektem cyfrowym Z wirowanie z częstotliwością f w kierunku dodatnim częstotliwość wirowanie z częstotliwością f w kierunku ujemnym

Co ma do tego Fourier?* *Jan Baptysta Józef Fourier (nie mylić z Janem Baptystą Emanuelem Zorgiem) urodził się 21 marca 1768 w Auxerre. Zainteresowania matematyczne łączył z działalnością polityczną. Dwukrotnie uniknął gilotyny w czasie Rewolucji Francuskiej. Współpracował z Napoleonem Bonaparte, który w 1802 mianował go prefektem dzielnicy Francji z siedzibą w Grenoble. Kluczowa praca Fouriera powstała w 1807. Inne ważne nazwiska związane z tematem to Lagrange, Laplace, Bernoulli i Euler. Zagadka: Jaki francuski chemik nie uniknął gilotyny?

f1 f2 f3 częstotliwość Wektory wirują razem. Zatem sygnał jest sumą wektorów elementarnych. (brakuje mi talentu żeby to ładnie narysować)

W realu jest jeszcze gorzej... f1 f2 f3 częstotliwość A2 f2 A3 f3 A1 f1

Przekształcenie Fouriera umożliwia rozdzielenie poszczególnych zsumowanych wektorów elementarnych