Ćwiczenie I. Podstawowe pojęcia matematyczne; dlaczego przyroda kocha logarytmy Strona internetowa ćwiczeń: http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112 Inne pomoce naukowe: - skrypt i wykłady: http:// www.home.umk.pl/~ulrichw - podręczniki + notatki ze szkoły średniej (przypomnienie podstawowych pojęć, definicji i wzorów); - dobre tablice matematyczne; - Śliwiński M., 2011: Matematyka. Math.edu.pl. Copyright © 2011 Mariusz Śliwiński. http://www.math.edu.pl (25 września 2011). - I. Białynicki-Birula, I. Białynicka Birula, 2002. Modelowanie rzeczywistości. Wyd. Prószyński i S-ka; - J. Weiner, 1999. Życie i ewolucja biosfery.Wyd.Naukowe PWN

Podstawowe pojęcia i symbole matematyczne Matematyka – liczenie: liczby naturalne (całkowite i dodatnie); l. całkowite (mogą być ujemne); liczby wymierne (całkowite, „+” i „-” oraz ułamki – dające się zapisać w formie ułamka zwykłego lub dziesiętnego ze skończoną liczbą miejsc po przecinku); liczby niewymierne (uł. dziesięt. z -ną liczbą miejsc, np.: p, , e), liczby rzeczywiste (wszystkie ww.). Wśród l. naturalnych – obok parzystych i nieparzystych wyróżniamy l. pierwsze (podzielne tylko przez 1 i samą siebie) i l. złożone (wszystkie „nie I-sze”). Matematyka – zawiera zdania w języku formalnym, które są jej najbardziej fundamentalnymi założeniami i są przyjmowane bez dowodu. Są to aksjomaty (przykł.: skrypt, str. 5, od: „1. 0 jest liczbą naturalną”). Aksjomaty muszą być spójne (niesprzeczne), wzajemnie niezależne i muszą definiować najbardziej podstawowe obiekty i zależności między nimi. W matematyce – z aksjomatów można wyprowadzać twierdzenia, które wymagają dowodów. Wyprowadzanie twierdzeń i ich udowad- nianie opiera się o specjalne zasady (np. indukcji; str.5-6 w skrypcie). Matematyka jest nauką o strukturach – obiekty, operatory (zdef. przez aksjomaty), sformułowania („terms”). Wyjaśnienie skompl.zjaw. => modele („drivers”). Zdolność wyjaśniania zjawisk jest zarazem zdolnością do ich modelowania (dodatkowo – prognozowania).

Podstawowe symbole i stałe matematyczne (alfabet grecki i symbole – str. 4 skryptu); tu – uzupełnienia: ,  - wtedy i tylko wtedy, gdy... („exactly if... then”) (równoważność);  - i (koniunkcja);  - lub (alternatywa);  - suma zbiorów;  - iloczyn zbiorów (część wspólna); - dla każdego x (kwantyfikator ogólny); - istnieje takie x, że... (kwantyfikator szczegółowy);  - średnica, ale w rachunku zbiorów – zbiór pusty;  - trójkąt, wyróżnik trójmianu kwadratowego lub laplasjan (operator różniczkowania);  - pochodna cząstkowa; a, ~ - proporcjonalny do.... = x1 + x2 + x3 + ...... + xi - suma serii „x po i do k” (rachunek ciągów i statystyka);

= x1 . x2 . x3 . ....... . xn iloczyn serii „x po i do n” (ciągi geometr.); przykład iloczynu serii: n! – silnia, np.: 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120 n! = p  3,14159.... - stała matem. „pi” (stosunek długości okręgu do dł. jego średnicy); e  2,71828.... liczba Nepera, stała matem., która jest granicą ciągu liczbowego: (1 + 1/n)n, czyli: asymptota Stała e jest podstawą logarytmów naturalnych (ln)

Logarytmy Logarytm jest to wykładnik potęgi (c) do jakiej należy podnieść podstawę (a), aby otrzymać liczbę logarytmowaną (b): logab=c i ac = b. log10100=2, bo 102=100; colog = kologarytm, antylogarytm (wynik działania odwrotnego w stosunku do logarytmowania): colog102=100, bo 102=100.Uproszczony zapis logarytmów: log10 = log; log natur. (loge) = ln; w innych przypadkach zawsze podajemy podstawę log. Ogólnie: x = aloga(x). Działania z wykładnikami: ax+y = ax  ay; (ab)x = axbx; a0 = 1; a–x = 1/ax; a(xy) = (ax)y; xa = a1/x, ale: a(x^y)  (ax)y. Działania na logarytmach: x * y = aloga(x) * aloga(y) = aloga(x) + loga(y). Dlatego: log (x * y) = log (x) + log (y) oraz log (x / y) = log (x) – log (y) i log(xy) = ylog(x). Zamiana podstawy logarytmów: x = aloga(x) = blogb(a)*loga(x) = blogb(x), stąd: logb(x) = logb(a) * loga(x)

Funkcja logarytmiczna limx0 ln(x) = -  limx ln(x) = ; 1 nie może być podstawą ln (log, log a) (1) = 0; x > 0 Dlaczego przyroda kocha logarytmy? y = axb [funkcja potęgowa: zależność masy ciała (y) od długości ciała (x), 2 < b < 3] Logarytmowanie obu stron równania log (y) = b * log(x) + a „....bo wszystko prostują!!!!!”

Obok wielu zastosowań biologicznych, w ekologii przydaje się do opisu zależności pomiędzy liczbą gatunków a zajmowaną przez nie powierzchnią. Jeżeli za N0 przyjmiemy tzw. liczebność całkowitą, czyli sumaryczną liczbę osobników wszystkich gatunków występujących na danej powierzchni, a za Ni liczebność i-tego gatunku, to iloraz Ni/N0 staje się względną liczebnością gatunku i. Przyjmując „i” za kolejny numer gatunku w szeregu ich liczebności (malejącej), a „a” – za współczynnik proporcjonalności, to: ln(Ni/N0) = – a(i) . Zależność ta nazywana jest „szeregiem logarytmicznym” („log-series”). Jeżeli przyjmiemy Ai za 1, to liczbę osobników gatunku przypadającą na jednostkę powierzchni opisuje równanie: S0 = ln(A0)/a. Dlatego zależność pomiędzy liczbą gatunków (S), a zasiedlaną przez nie powierzchnią (A) opisuje równanie funkcji logarytmicznej: S=ln(A)/a+ S0 (na wykresie – „zlinearyzowane”). O ile względne częstości występowania gatunków w zbiorowiskach, zgodne są z „szeregami logarytmicznymi” (zw. też „sz. geometrycznymi”), tak zależność pomiędzy liczbą gatunków, a zajmowaną przez nie powierzchnią modeluje funkcja logarytmiczna.

Dlaczego przyroda kocha logarytmy Dlaczego przyroda kocha logarytmy? …bo wszystko „prostują” I nie tylko… Obustronne logarytmowanie tak równania funkcji wykładniczej, jak I potęgowej daje funkcję liniową. Uzasadnienie / podsumowanie twierdzącej odpowiedzi na pytanie: czy przyroda kocha logarytmy? a) ważne dla przyrodników funkcje: wykładniczą i potęgową można przekształcić w drodze logarytmowania w łatwe do interpretacji funkcje liniowe; b) sama funkcja logarytmiczna może modelować ważne zjawiska biologiczne (np. zależność liczby gatunków od zajmowanej przez nie powierzchni); c) transformacja danych surowych zgodnie z funkcją logarytmiczną może “poprawiać” przydatność i użyteczność tych danych do parametrycznych analiz statystycznych; log log

Błądzenie przypadkowe („random walk”) d) skala wielu ważnych dla przyrodników zmiennych (np. wykładnik stężenia jonów wodorowych  pH; skala intensywności trzęsień Ziemi Richtera) to skala logarytmiczna; e) w fizjologii: percepcja bodźca jest wprost proporcjonalna do logarytmu jego intensywności (prawo Webera-Flechnera). Błądzenie przypadkowe („random walk”) Błądzenie przypadkowe jest to proces, którego wyniku końcowego nie można przewidzieć w oparciu o zjawiska poprzedzające (skr.12?) Błądzeniem przypadkowym nazywamy ruch punktu na prostej, na płaszczyźnie, czy nawet w przestrzeni o dowolnej liczbie wymiarów, będący złożeniem kroków o tej samej długości wykonywanych w przypadkowo wybranych kierunkach (Białynicki-Birula & c., 2002). Błądzenie przypadkowe w przestrzeni stanowi matematyczny model zjawisk dyfuzji i ruchów Browna – rozprzestrzeniania się cząsteczek substancji w jakimś środowisku. Odległość przebyta w błądzeniu przypadkowym jest wprost proporcjonalna nie do czasu (t), ale do t.

Przykład: względna częstość występowania gatunków rzadko wystę- pujących w ekosystemach (wymieranie gatunków w toku ewolucji). p – prawdopodobieństwo wystąpienia danego gatunku Kolejne pokolenia p p*p p*p*p Częstość wystąpienia i-tego rzadkiego gatunku – Si: Si = S0pi S0 – początkowa liczba gatunków. Definiując stałą: k = –ln(p), Si = S0e–ki (funkcja wykładnicza) Obustronne logarytmowanie - linearyzacja: ln(Si)=ln(S0) – k*i Si= S0/2 – połowiczne wymarcie gatunku: Si/ S0 = e–ki = ½; i = ln(2)/k W analogiczny sposób modelowany jest proces radioaktywnego rozpadu, gdzie w równaniu zamiast „i” występuje czas (t).

Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. 1. Ponadto, „zgodnie z modelem” błądzenia przypadkowego, wystę- pują w przyrodzie zjawiska: - pojawianie się mutacji w populacji komórek (np. hodowli bakterii); - stężenie hormonów w organizmie. Są to procesy multiplikatywne (p  p*p  p*p*p), modelowane za pomocą funkcji wykładniczej: y = a*ebx, o przebiegu: lub Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. 1. Zadania 1, 2 – do wykonania samodzielnego. Wskazówki do zadania 3: a) zaznacz w arkuszu roboczym Excela kolumny A i B, jako kolumny danych, odpowiednio dla zmiennej x i y; b) wprowadź jako pierwsze dane liczbowe zmiennej x: 1 i 2

c) zaznacz wprowadzone liczby (klik lewym przyciskiem na początku bloku i przeciągnięcie do końca); d) skopiuj zaznaczone liczby, ustawiając kursor w prawym dolnym rogu ( czarny krzyżyk) i przeciągając go w dół)

e) przenieś kursor do komórki B2 (1), a następnie do pola wpisywania formuł (2) i wpisz formułę: =log(a2) (2) (1) f) wróć kursorem do komórki B2, ustaw go w prawym dolnym rogu komórki ( czarny krzyżyk) i przeciągnij w dół (kopiowanie formuły)

g) zaznacz wszystkie wartości zmiennych x i y (weź je do bloku); h) kliknij w ikonę kreatora rysunków: , a następnie wybierz najprostszy typ wykresu XY (same punkty) i kliknij w przycisk „Dalej >” (zrzut ekranu – na następnym przeźroczu);

kliknij w przycisk „Dalej >” po raz kolejny 2x, a następnie wpisz tytuł rysunku oraz opisy osi X i Y; j) kliknij w przycisk „Zakończ”. Powinien ukazać się rysunek, którego rozmiary można dostosować do potrzeb, przeciągając kursor ustawiony albo na czarnym kwadraciku „na rogu” (zmiana wielkości „z zachowaniem proporcji” albo na środku odpowiedniego boku (zmiana długości boku);

k) uzyskany wykres powinien wyglądać następująco: l) dane wraz z wykresem można zapisać na własnym nośniku USB, klikając w menu „Plik” i wybierając następnie komendę „Zapisz jako”. W oknie „Zapisz jako”, przekieruj w polu „Zapisz w:” zapis z folderu „Moje dokumenty” na dysk USB (kliknąć w strzałkę z prawej strony i z rozwiniętego menu wybrać napęd USB i kliknąć w przycisk „Zapisz”); nie wolno zapisywać własnych plików w folderze „Moje dokumenty” lub gdziekolwiek indziej na dysku twardym bez zgody prowadzącego.

y2x2y=1 | : x2 y2y=1/ x2 log (y2y) = log (1/ x2) Wskazówki do zadania 4 y2x2y=1 y2x2y=1 | : x2 y2y=1/ x2 log (y2y) = log (1/ x2) log (y2y0,5) = log (x-2) 2,5 log (y) = -2 log (x) | : 2,5  log (y) = -0,8 log (x)  y = x-0,8 Wykres wykonujemy w taki sam sposób, jak w zadaniu poprzednim. Operatorem potęgowania jest „^” (6 + Shift); formuła dla funkcji y = x-0,8 w Excelu wygląda następująco: =(A2)^-0,8.

Wskazówki do zadania 5 Przeliczenie logarytmów dziesiętnych na naturalne: log 70 = 1,845 (czyli log10 70 = 1,845) Wzór na zamianę podstawy logarytmów: logb(x) = logb(a) * loga(x) Stąd: ln70 = ln10 * log70, czyli: ln70  2,3026 * 1,845  4,2483

Dziękuję za uwagę ;-)