Modelowanie pojedynczej populacji . W pierwszej części wykładu przedstawimy podstawowe modele opisujące ekosystem, w którym występuje tylko jedna populacja i opiszemy dynamikę takiej populacji w zależności od przyjętego modelu heurystycznego i formalizmu matematycznego.

Model Malthusa 1789 Założenia: w środowisku występuje jeden gatunek zasoby są nieograniczone populacja jest jednorodna osobniki nie umierają każdy osobnik wydaje na świat potomstwo co Ƭ jednostek czasu, Ƭ jest ustalone i jednakowe dla wszystkich osobników •zawsze jeden rodziciel rodzi λ dojrzałych potomków momenty rozmnażania są w dowolnym przedziale czasu rozłożone jednostajnie Thomas Robert Malthus (1766- 1834) – ekonomista i duchowny anglikański, który prowadził badania z pogranicza ekonomii i socjologii. Zajmował się teorią ludności oraz problemami płac i pieniądza. W 1805 roku został pierwszym w Anglii profesorem ekonomii politycznej.

Δ t0 Δt dt N(t) = Ƭ N(t) Ƭ = r Równanie. Równanie opisujące średnią liczebność populacji N(t) w chwili t . Załóżmy że znamy liczebność w pewnej ustalonej chwili t i chcemy obliczyć N(t + Δt) po upływie czasu Δt. Zauważmy, ze w przedziale czasu (t, t + Δt) jest Δt Ƭ = p momentów rozmnażania. Każdy rodzic ma w tym przedziale czasu średnio pλ potomków. Liczba osobników zdolnych do rozmnażania w chwili t wynosi N(t), zatem przyrost liczebności w przedziale czasu (t, t + Δt) możemy przybliżyć równaniem N (t +Δt ) = N (t) + pλN (t). Dzieląc stronami przez Δt i przechodząc do granicy otrzymujemy lim N(t+Δt)-N(t) = d λ λ Δ t0 Δt dt N(t) = Ƭ N(t) Ƭ = r gdzie r nazwiemy współczynnikiem rozrodczości populacji P. Równanie wzrostu wykładniczego; N' (t) = rN (t)

Model ciągły i dyskretny. Równanie postaci N' (t) = rN (t) jest modelem ciągłym tzn. zmienna czasowa t zmienia się w sposób ciągły. Jeśli założymy, ze Δt = 1, gdzie 1 oznacza ustalona jednostkę czasu i zastosujemy oznaczenie N(t) = Nt0, to równanie Δt N (t +Δt ) = N (t) + Ƭ * λN (t) możemy zapisać jako Nt+1 = (1 + r)Nt , otrzymujemy model dyskretny (zmienna czasowa zmienia się w sposób dyskretny, najczęściej t Є N, a liczebność populacji opisana jest za pomocą równania rekurencyjnego).

Rozwiązanie równania rozrostu wykładniczego; N'(t) = rN(t) Warunek początkowy: N(0) =N0 dN / dt = rN ʃdN / N = ʃrdt Ln|N| = rt+c1 N(t) = cert N(0) = ce0 = c Rozwiązanie równania Malthusa ; N(t)= N0ert

Konsekwencje modelu Malthusa. N(t)=N0ert r>0 "przeludnienie" r<0 "wyginięcie„ r=0 "stabilizacja"

Procesy rozrodczości i śmiertelności. Założenia: w środowisku występuje jeden gatunek P zasoby są nieograniczone populacja jest jednorodna osobniki umierają każdy osobnik wydaje na świat potomstwo co Ƭ jednostek czasu, każdy osobnik umiera co Ƭ* jednostek czasu, zawsze jeden rodziciel rodzi λ dojrzałych potomków każdorazowo umiera λ* ogólnej liczby osobników N(t) momenty rozmnażania i umierania są w dowolnym przedziale czasu rozłożone jednostajnie

Zapis równania. Kierując się równaniem z modelu Malthusa N (t +Δt) = N (t) + pλN (t) otrzymujemy N (t +Δt) = N (t) + pλN (t)- p* λ* N (t) Δt Δt gdzie p = Ƭ zaś p* = Ƭ*

Uproszczenie równania N (t +Δt) = N (t) + pλN (t)- p* λ* N (t) r - współczynnik rozrodczości populacji P, s- współczynnik śmiertelności populacji P, rn = r - s współczynnik rozrodczości ,,netto”, czyli różnicę między współczynnikiem rozrodczości a śmiertelności. N (t +Δt) – N(t) = rΔtN (t) – sΔtN (t) N (t +Δt) – N(t) = (r-s)ΔtN (t) N (t +Δt) – N(t) = rn Δt N (t)

Model ciągły Skorzystamy z uproszczonej postaci równania N (t +Δt) – N(t) = r n Δt N (t) Dzieląc stronami przez Δt i przechodząc do granicy otrzymujemy lim N(t+Δt)-N(t) d Δ t0 Δt = dt N(t) = r n N(t) Ostatecznie otrzymujemy interesujący nas model który ma postać: N'(t) = r n N(t)

Rozwiązanie równania. Otrzymujemy N' (t) = r n N(t), rozwiązanie takiego równania znamy z poprzedniego modelu. Wystarczy zastosować metodę rozdzielania zmiennych i otrzymamy ; N(t)= C e rn t

Model dyskretny. Jeśli założymy, ze Δt = 1, gdzie 1 oznacza ustalona Korzystamy z równania wyjściowego N (t +Δt) = N (t) + pλN (t)- p* λ* N (t) N (t +Δt) = (1+ pλ - p* λ* ) N (t) Jeśli założymy, ze Δt = 1, gdzie 1 oznacza ustalona jednostkę czasu i zastosujemy oznaczenie N(t) = Nt0, to otrzymamy model dyskretny postaci: N t+1 = a* N t gdzie t = 0,1, 2,….,n a*= 1 + λp - λ* p* = 1+r n a*>0 lub a* Є (0,1) a*- nie może być ujemne bo np. N t = a*N0<0, co oznaczałoby ze umiera więcej osobników niż ich jest.

Analiza modelu rozrodczości i śmiertelności. N(t)= C ern t rn = r-s r-s>0 rozrodczość przewyższa śmiertelność r-s=0 rozrodczość jest równa śmiertelności r-s<0 śmiertelność przewyższa rozrodczość

Wykonawca prezentacji: Anna Ositek. Dziękuję za uwagę. Literatura: -Urszula Foryś „Modelowanie matematyczne w biologii i medycynie” Uniwersytet Warszawski 2011r. Wykonawca prezentacji: Anna Ositek.