Wycinanki - składanki czyli o mierze inaczej

Jak mierzymy?

Metoda wyczerpywania

Dwie figury - równe pola?

Rozkład na przystające wielokąty 6 3 5 1 2 4 7 1 1 1 2 3 6 4 5 7

Cechy funkcji pola (miary): 1. Dla każdej figury można określić jej pole. 2. Figury przystające mają równe pola. 3. Jeśli figura A rozkłada się na figury A1, A2, ...., Ak, to pole figury A jest sumą pól figur A1, A2, ...., Ak.

Figury równoważne przez pocięcie - równe pola. Figury o równych polach – równoważne przez pocięcie?

Każdy wielokąt można pociąć na trójkąty

Trójkąt jest równoważny przez pocięcie z prostokątem •

• Prostokąt o stosunku boków a:b niewiększym niż 4 jest równoważny przez pocięcie z kwadratem a b •

• b c a Kiedy c ≤ b? Z tw. Talesa , zatem Stąd c ≤ b równoważne Niech c - odcinek między wierzchołkiem kwadratu a przeciwprostokątną. Powinno być c < b. Z tw. Talesa, c/ab = (a -- ab) / a c = ab - b , więc c < b wiw gdy ab - b < b Stąd ab < 2b a < 4b a / b < 4. , zatem Stąd c ≤ b równoważne , czyli

do krótszego jest niewiększy niż 4 Każdy prostokąt jest równoważny przez pocięcie z prostokątem, w którym stosunek boku dłuższego do krótszego jest niewiększy niż 4 a b

Dwa kwadraty są równoważne przez pocięcie z jednym kwadratem • • • •

Wniosek: Każdy wielokąt jest równoważny przez pocięcie z kwadratem o tym samym polu.

Dwa wielokąty są równoważne przez pocięcie Twierdzenie (F. Bolyai (1832), P. Gerwien (1833)) Dwa wielokąty są równoważne przez pocięcie wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe pola. Dowód:  Własności miary (pola)  1. Wielokąt dzielimy na trójkąty 2. Trójkąty przekształcamy w prostokąty 3. Prostokąty przekształcamy w „dobre” prostokąty 4. „Dobre” prostokąty przekształcamy w kwadraty 5. Z kwadratów składamy jeden kwadrat o tym samym polu, co wielokąt.

Kwadratura wielokąta – kwadratura koła? . . . . . .

Czy można koło przekształcić w kwadrat o tym samym polu przez pocięcie na „wielokąty krzywoliniowe”?

Łuk wewnętrzny Łuk zewnętrzny Wklęsłe=Wypukłe Wklęsłe < Wypukłe Sumy wewnętrznych łuków wypukłych i łuków wklęsłych musi być równa, więc róznica = 0. W kwadracie nie ma łuków zewnętrznych, więc suma łuków wypukłych i wklęsłych = 0 W kole są łuki zewnętrzne o łącznej długości 2pi.

Dwa wielościany równoważne przez pocięcie mają równe objętości. Obliczanie objętości bez użycia metod wymagających przejścia do granicy? Metoda wyczerpywania, całkowanie Na płaszczyźnie: pole trójkąta wg Euklidesa – połowa pola prostokąta

Cechy funkcji objętości (miary): 1. Dla każdej bryły można określić jej objętość. 2. Bryły przystające mają równe objętości. 3. Jeśli bryła B rozkłada się na bryły B1, B2, ...., Bk, to objętość B jest sumą objętości brył B1, B2,..., Bk.

„Mając dwa czworościeny równej objętości zresztą najogólniejsze, pociąć, jeżeli da się to wykonać, płaszczyznami jeden z nich na najmniejszą możliwą liczbę kawałków takich, aby przez stosowne tych kawałków zestawienie, można było zbudować czworościen drugi. W razie gdyby to dokonać się nie dało, lub było możliwym pod pewnymi zastrzeżeniami, dowieść niemożności, lub też zastrzeżenia te dokładnie określić” Władysław Kretkowski, 1882 Wcześniej Gauss 1844. III problem Hilberta (1900, II Międzynarodowy Kongres Matematyków). Suss (1900): wielościany o równych objętościach mogą być rozłożone na czworościany o odpowiednio równych objętościach (niekoniecznie przystających).

Wielościany o równych objętościach nie muszą być równoważne przez pocięcie α Dehn (1900, 1902) Istnieją dwa nierównoważne czworościany o równych objętościach. Sześcian i czworościan foremny o tej samej objętości nie są równoważne. Zatem: jeśli równoważne przez pocięcie, to mają równe objętości. Ale równość objętości nie gwarantuje możliwości rozłożenia obu wielościanów na takie same małe wielościany. . Czworościan równoważny z sześcianem Czworościan nierównoważny z sześcianem

Jedna definicja Funkcja f jest addytywna w zbiorze A, gdy dla dowolnych a1, a2, …, ak ze zbioru A i dowolnych liczb całkowitych c1, c2, …, ck z równości c1a1 + c2a2 + … + ckak = 0 wynika równość c1f(a1) + c2f(a2) + … + ckf(ak) = 0.

Jedno twierdzenie (H. Hadwiger, 1954) Niech a1, a2, …, ak – kąty dwuścienne wielościanu W, b1, b2, …, bm - kąty dwuścienne wielościanu V. Jeśli istnieje funkcja addytywna f na zbiorze, w którym są kąty a1, a2, …, ak, b1, b2, …, bm oraz π, taka że f(W) ≠ f(V) to W i V nie są równoważne przez pocięcie. Porównanie z kołem i kwadratem. Zamiast łuków – kąty dwuścienne. Jeśli a1, a2, …, ak są kątami dwuściennymi wielościanu P, a d1, d2, …, dk długościami odpowiadających im krawędzi, to f(P) = d1f(a1) + d2f(a2) + … + dkf(ak).

Dlaczego nie są równoważne? cos a = 1/√3. Można wykazać, że jeśli c1π/2 + c2π +c3a = 0, to c3 = 0. Niech f(π/2) = f(π) = 0, f(a) = 1. Wtedy jeśli c1π/2 + c2π +c3a = 0, to c1f(π/2) + c2f(π) + 0f(a) = 0. f(C) = 3f(π/2) + 3√2f(a) = 3√2 f(S) = 12df(π/2) = 0

Definicja: Dwa zbiory A, B  Rn są równoważne przez rozkład skończony, jeśli można je przedstawić w postaci sumy parami rozłącznych zbiorów A=A1A2... Ak oraz AiAj= dla ij B=B1B2... Bk oraz BiBj = dla ij tak by zbiory Ai i Bi były przystające dla i=1,2,..., k. Miklos Laczkovich 1990: Tak. Liczba części podziału rzędu 10^50. (O artykule w „Delcie”? „Tę nową wersję kwadratury koła pozostawiamy Czytelnikowi jako zadanie na długie zimowe wieczory (najbliższych, oby tylko kilku, zim)”. Czy można udowodnić, że dwa zbiory równoważne przez rozkład skończony mają tę samą objętość? Gdybyśmy powtórzyli rozumowanie dla wielokątów czy wielościanów, musielibyśmy przyjąć trzy założenia: każdy zbiór ma pole (objętość) zbiory przystające mają równe pola (objętości) pole (objętość) zbioru jest sumą pól (objętości) jego składowych. Czy to są uzasadnione założenia?

Czy koło i kwadrat o tym samym polu są równoważne przez rozkład skończony? Alfred Tarski, 1925 Miklos Laczkovich 1990: Tak! Wystarczy odpowiednio rozbić koło na 1050 podzbiorów. Czy równoważność przez rozkład skończony oznacza równość miary (pola, objętosci,…)?

Jakie cechy miary są potrzebne? 1. Dla każdego zbioru można określić jego pole (objętość). 2. Zbiory przystające mają równe pola (objętości). 3. Jeśli zbiór A rozkłada się na zbiory A1, A2, ...., Ak, to pole (objętość) zbioru A jest sumą pól (objętości) zbiorów A1, A2, ...., Ak.

Twierdzenie (S.Banach, A. Tarski, 1924) Każde dwa ograniczone podzbiory przestrzeni R3 o niepustych wnętrzach są równoważne przez rozkład skończony. W szczególności dowolna kula jest równoważna dwóm kulom do niej przystającym. Oczywiście obie kule mają dwa razy większą objętość niż jedna - mimo to są równoważne przez podział. To znaczy, że nie istnieje w przestrzeni R3 „objętość” (czyli miara) którą można byłoby przypisać każdemu podzbiorowi R3 i która spełniałaby warunki, umożliwiające dowód równości „objętości”, a więc taka że - zbiory przystające (izometryczne) mają równe miary - jeśli A jest sumą rozłacznych zbiorów A1, A2,..., An, to miara A jest sumą miar zbiorów A1,..., An. Zbiory, na które rozkładamy kulę, muszą być więc niemierzalne - i to względem każdej miary, spełniającej te warunki, dla której kula jest mierzalna. Czy można taki paradoks powtórzyć na płaszczyźnie? Czy istnieją takie dwa zbiory które są równoważne przez rozkład skończony, ale mają różne pola? W 1923 r. S. Banach wykazał, że istnieje taka miara na prostej i na płaszczyźnie, rozszerzająca miarę Jordana, „zwykłą” miarę, którą stosujemy na co dzień. Stąd taki paradoks jak rozkład kuli nie jest możliwy na płaszczyźnie. Co różni przestrzeń od płaszczyzny? Struktura grupy izometrii

W R3 nie istnieje „uniwersalna” objętość. K O N I E C