Aukcja o dolara $$$ P. Jaworska W. Filipowicz

Gra Sprzedawca otwiera aukcję, której przedmiotem jest jednodolarowy banknot.

Zasada aukcji: Dolar zostanie sprzedany temu, kto zaoferuje najwięcej Drugi w kolejności też musi zapłacić swoją stawkę, nie dostając nic w zamian. W aukcji może wziąć udział dowolnie wielu graczy

Załóżmy teraz, że gra rozpoczyna się od stawki 1 centa Załóżmy teraz, że gra rozpoczyna się od stawki 1 centa. Dowolny gracz może przebić tę ofertę, oferując 2 centy i licząc na zysk 98 centów. Kolejny gracz może zaoferować 3 centy itd…

Problem zaczyna się pojawiać, gdy stawka osiąga 99 centów…

Załóżmy że któryś z graczy postawił wcześniej 98 centów Załóżmy że któryś z graczy postawił wcześniej 98 centów. Ma teraz wybór stracić 98 centów, lub podbić stawkę do dolara i stracić 0. Jeśli podbije, gracz który obstawiał 99 centów ma wybór albo stracić te 99 centów, bądź podbić stawkę do 101 centów i stracić 1 cent.

Okazuje się że ten schemat działa dalej, dla dowolnie wysokich stawek Okazuje się że ten schemat działa dalej, dla dowolnie wysokich stawek. W każdym momencie drugiemu graczowi bardziej opłaca się podbić stawkę, niż się wycofać.

Jeśli gra rozpoczyna się od 1 centa, to nie może osiągnąć żadnej równowagi Nasha. Dwaj gracze racjonalni będą podbijać swoje stawki, aż do momentu, kiedy skończą im się pieniądze.

Obaj stracą…

Zwycięzca straci o 99 centów mniej…

Analiza Aukcja o dolara jest często używana jako prosty przykład gry zobowiązującej, w której występuje irracjonalna eskalacja kosztów. Gracz, który na początku się podda, nic nie traci, jeśli jednak zacznie grać, analiza kolejnego kroku każe mu zawsze podbijać stawkę, mimo gdy koszty wielokrotnie już przewyższają wygraną.

Gra może służyć do pokazania błędów, jakie można popełnić przy naiwnym wyliczaniu wartości oczekiwanej gry. Przykładowo, w momencie gdy stawki graczy wynoszą 98 i 99 centów, gracz z niższą stawką może policzyć wartość oczekiwaną gry w dwóch przypadkach: Wycofanie się i strata 98 centów. Podbicie stawki do 1 dolara.

W drugim przypadku, oczekiwana wartość gry nie wynosi jednak 0 W drugim przypadku, oczekiwana wartość gry nie wynosi jednak 0. Jej wartość zależy od decyzji drugiego gracza – wynosi 0 pomnożone przez prawdopodobieństwo, że drugi gracz się wycofa plus wartość oczekiwana gry w przypadku gdy drugi gracz podbije stawkę razy prawdopodobieństwo, że podbije.

Jeśli nie wiemy jaką strategią posługuje się przeciwnik, strata w drugim przypadku może być dowolnie wysoka. Jeśli podejrzewamy że przeciwnik posługuje się strategią podobną do naszej, większą wartość oczekiwaną będzie miało wcześniejsze wycofanie się.

Wiąże się z tym pojęcie nadracjonalności.

Nadracjonalność Nadracjonalność jest pojęciem wprowadzonym do teorii gier przez Douglasa Hofstadtera. Polega na zakładaniu, że przeciwnik przeprowadza identyczne rozumowanie jak my i szukaniu strategii, która daje najlepsze wyniki przy tym założeniu.

Rozważmy grę: W grze bierze udział 20 graczy. Każdy z nich może wysłać dowolną liczbę losów na loterię. Losy nic nie kosztują, ale wygrana w loterii będzie wynosiła 1 000 000 $, podzielone przez liczbę przysłanych losów. Ta wygrana zostanie następnie rozlosowana wśród przysłanych losów.

Ta gra nie ma żadnej równowagi Nasha – każdy gracz racjonalny będzie się starał wysłać jak największą liczbę losów po to, aby zwiększyć swój oczekiwany zysk. W efekcie wygrana może osiągnąć dowolnie małą wartość.

Strategia nadracjonalna będzie się starała zminimalizować oczekiwaną liczbę przysłanych losów. Można obliczyć, że każdy gracz nadracjonalny przyśle jeden los z prawdopodobieństwem p=1/20, a z prawdopodobieństwem q=19/20 nie wyśle ani jednego. Oczekiwany zysk takiego gracza (jeśli wszyscy gracze są nadracjonalni) będzie wynosił 50 000 $.