Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów Some further problems with regression models Regression analysis has two fundamental tasks : 1. Estimation: computing from sample data reliable estimates of the numerical values of the regression coefficients β j (j = 0, 1, …, k), and hence of the population regression function. 2. Inference: using sample estimates of the regression coefficients β j (j = 0, 1, …,k) to test hypotheses about the population values of the unknown regression coefficients -- i.e., to infer from sample estimates the true population values of the regression coefficients within specified margins of statistical error.

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów CONFIDENCE INTERVALS FOR PARAMETERS Let the population regression model be Let b 0, b 1,.., b K be the least squares estimates of the population parameters and s b0, s b1,..., s bK be the estimated standard deviations of the least squares estimators (square roots from the diagonal items of variance-covariance matrix).

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów If the regression errors i, are normally distributed and the standard regression assumptions hold, the 100(1 - )% confidence intervals for the partial regression coefficients j, are given by CONFIDENCE INTERVALS FOR PARAMETERS and the random variable t (n – k - 1) follows a Students t distribution with (n – k - 1) degrees of freedom.

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów STANDARD ERROR FOR REGRESSION PARAMETERS Y-weekly salary ($)X1 –length of employment (months) X2-age (years) Se2Se2

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów STANDARD ERROR FOR REGRESSION PARAMETERS variance-covariance matrix Estimating β 0 based on similar samples we can make a mistake about 57 units.

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów CONFIDENCE INTERVALS FOR PARAMETERS t-Student statistic for the level of significance 0,05 and df=13 is 2,160 Confidence interval for β 0 Interval with the lower limit 338,3508 $ and the upper limit 585,3495$ covers the unknown value of parameter β 0 (for population) with 95% probability.

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów CONFIDENCE INTERVALS FOR PARAMETERS t-Student statistic for the level of significance 0,05 and df=13 is 2,160 Confidence interval for β 1 Interval with the lower limit 0,3526 $ and the upper limit 0,9898$ covers the unknown value of parameter β 1 (for population) with 95% probability.

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów t-Student statistic for the level of significance 0,05 and df=13 is 2,160 CONFIDENCE INTERVALS FOR PARAMETERS Confidence interval for β 2 Interval with the lower limit –5,2124$ and the upper limit 2,4456$ covers the unknown value of parameter β2 1 (for population) with 95% probability.

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów TESTING ALL THE PARAMETERS OF A MODEL Consider the multiple regression model To test the null hypothesis against the alternative hypothesis at a significance level we can use the decision rule where F, k, n–k–1 is the critical value of F the computed F k,n–k–1 follows an F distribution with numerator degrees of freedom k and denominator degrees of freedom (n–k–1)

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów TESTING ALL THE PARAMETERS OF A MODEL F-value computed from the sample F-value from F tables F, k, n–k–1 = F 0,05, 2, 13 = 3,81 F comp > F α,k,n-k-1 28,448 >3,81 We reject the null hypothesis. At least one parameter is statistically significant.

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów TESTING PARAMETERS OF A MODEL INDIVIDUALLY If the regression errors are normally distributed and the standard least squares assumptions hold, the following tests have significance level. To test either null hypothesis against the two-sided alternative the decision rule is

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów Dont reject the null hypothesis Reject H 0 0 t α, n – k – 1 compare t comp. and t-Student and make a decision

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów TESTING PARAMETERS OF A MODEL INDIVIDUALLY Y-weekly salary ($)X1 –length of employment (months) X2-age (years) The null hypothesis can better be stated as: independent variable Xj does not contribute to the prediction of Y, given that other independent variables already have been included in the model The alternative hypothesis can better be stated as: independent variable Xj does contribute to the prediction of Y, given that other independent variables already have been included in the model

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów TESTING PARAMETERS OF A MODEL INDIVIDUALLY Y-weekly salary ($)X1 –length of employment (months) X2-age (years) The length of employment (X1) does not contribute to the prediction of weekly salary (Y), given that the age (X2) already has been included in the model. The length of employment (X1) does contribute to the prediction of weekly salary (Y), given that the age (X2) already has been included in the model. t-value computed from the sample t-value from t-Student tables is 2,16 We reject the null hypothesis.The length of employment (X1) does contribute to the prediction of weekly salary (Y), given that the age (X2) already have been included in the model.

Projekt Do kariery na skrzydłach – studiuj Aviation Management Projekt współfinansowany ze ś rodków Europejskiego Funduszu Społecznego. Biuro projektu: Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie ul. Sucharskiego 2, Rzeszów TESTING PARAMETERS OF A MODEL INDIVIDUALLY Y-weekly salary ($)X1 –length of employment (months) X2-age (years) The age (X2) does not contribute to the prediction of weekly salary (Y), given that the length of employment (X1) already has been included in the model. The age (X2) does contribute to the prediction of weekly salary (Y), given that the length of employment (X1) already has been included in the model. t-value computed from the sample t-value from t-Student tables is 2,16 We dont reject the null hypothesis. The age (X2) does not contribute to the prediction of weekly salary (Y), given that the length of employment (X1) already has been included in the model.