TEORIA MECHANIZMÓW I MASZYN Metoda planów prędkości i przyspieszeń. Zadanie 1

Wyznaczyć prędkość i przyspieszenie punktu G członu 5, jeżeli h = 740 mm, b=150 mm, h1=800 mm, b1=900 mm, lAB=500 mm, lBC=1000 mm, lCD=600 mm, lEK=300 mm, lKG=300 mm, f2=45°, zaś stała prędkość kątowa korby jest równa w2=20 s-1. Ruchliwość mechanizmu. n=5, p5=7, p4=0 w=3·5-2·7=1

Podział mechanizmu na grupy strukturalne. 1 2 1 4 II/1 3 II/5 5 p 6 1 Podziałki p

Plan prędkości. C GRUPA 3-4 4 F D K 5 E 6 1 1 3 G B 2 w 2 A 1

(vB) + (vCB) = (vD) + (vCD) Dane: vB, vD. vB=lAB·w=1000 cm ·s-1 (vB)=(lAB) vD=0 (vC) = (vB) + (vCB) (vC) = (vD) + (vCD) (vB) + (vCB) = (vD) + (vCD) ⊥ BC =0 ⊥ CD

(vB) + (vCB) = (vD) + (vCD) ⊥ BC =0 ⊥ CD (vB) + (vCB) = (vD) + (vCD) A 2 w B G K 3 E F 6 1 C D 4 5 . p v d + ⊥ CD . c ⊥ BC . b

(vB) + (vCB) = (vD) + (vCD) A 2 w B G K 3 E F 6 1 C D 4 5 + . b p v d c ⊥ BC ⊥ CD =0 (vB) + (vCB) = (vD) + (vCD) vCD = cv· (pvc) ; (pvc) = 3,6 cm vCD = 200 · 3,6 = 720 cm s-1 vC = vCD = 720 cm s-1 vCB = cv · (bc) ; (bc) = 6,9 cm vCB = 200 · 6,9 = 1380 cm s-1

C p v 4 d + ⊥ CD w3 w4 c ⊥ BC F D K 5 b E 6 1 1 3 G B 2 w 2 A

GRUPA 5-6 C S5 4 w w 3 4 F D K 5 E 6 1 1 3 S3 G B 2 w 2 A 1

(vF6) = (vF3) + (vF5 F3) + (vF6 F5) Dane: vF6, w3 vF6 = 0 (vF6) = (vF5) + (vF6 F5) (vF5) = (vF3) + (vF5 F3) (vF6) = (vF3) + (vF5 F3) + (vF6 F5) =0 ∆bcf3 ~ ∆BCF ‖ BC ‖ FE

(vF6) = (vF3) + (vF5 F3) + (vF6 F5) =0 (vF6) = (vF3) + (vF5 F3) + (vF6 F5) ‖ BC ‖ FE ∆bcf3 ~ ∆BCF A 2 w B G K 3 E F 6 1 S 5 C D 4 + b p v d c ⊥ BC ⊥ CD . f6 , ∆bcf3 ~ ∆BCF f3 .

(vF6) = (vF3) + (vF5 F3) + (vF6 F5) =0 (vF6) = (vF3) + (vF5 F3) + (vF6 F5) ‖ BC ‖ FE ∆bcf3 ~ ∆BCF A 2 w B G K 3 E F 6 1 S 5 C D 4 + b p v d c ⊥ BC ⊥ CD ‖ FE f6 , f5 ‖ BC f3

(vF6) = (vF3) + (vF5 F3) + (vF6 F5) =0 (vF6) = (vF3) + (vF5 F3) + (vF6 F5) ‖ BC ‖ FE ∆bcf3 ~ ∆BCF A 2 w B G K 3 E F 6 1 S 5 C D 4 + b p v d c ⊥ BC ⊥ CD ‖ FE f6 , f5 ‖ BC f3 vF3 = cv · (pv f3) = 200 · 7,0 = 1400 cm s-1 vF5 F3 = cv · (f3 f5) = 200 · 7,2 = 1440 cm s-1 vF5 = cv · (pv f5) = 200 · 2,7 = 540 cm s-1

w5 = w3 = 13,8 s-1 p ‖ FE f6 , d f5 ⊥ CD c ‖ BC ⊥ BC b f3 C 4 + F D K A 2 w B G K 3 E F 6 1 S 5 C D 4 + b p v d c ⊥ BC ⊥ CD ‖ FE f6 , f5 ‖ BC f3 w5 = w3 = 13,8 s-1

(vE5) = (vE3) + (vE5 E3) p ‖ FE f6 , d f5 ⊥ CD c ⊥ BC ‖ BC b f3 C 4 + A 2 w B G K 3 E F 6 1 S 5 C D 4 + b p v d c ⊥ BC ⊥ CD ‖ FE f6 , f5 ‖ BC (vE5) = (vE3) + (vE5 E3) f3

(vE5) = (vE3) + (vE5 E3) p ‖ FE f6 , d f5 ⊥ CD c ⊥ BC ‖ BC e3 b f3 C 4 A 2 w B G K 3 E F 6 1 S 5 C D 4 + b p v d c ⊥ BC ⊥ CD ‖ FE f6 , f5 ‖ BC e3 (vE5) = (vE3) + (vE5 E3) f3

(vE5) = (vE3) + (vE5 E3) vE5 E3 = vF5 F3 (vE5) = (vE3) + (vF5 F3) p A 2 w B G K 3 E F 6 1 S 5 C D 4 + b p v d c ⊥ BC ⊥ CD ‖ FE f6 , f5 ‖ BC e3 (vE5) = (vE3) + (vE5 E3) f3 vE5 E3 = vF5 F3 (vE5) = (vE3) + (vF5 F3)

(vE5) = (vE3) + (vF5 F3) p e5 ‖ FE f6 , d f5 ⊥ CD c ⊥ BC ‖ BC e3 b f3 A 2 w B G K 3 E F 6 1 S 5 C D 4 + b p v d c ⊥ BC ⊥ CD ‖ FE f6 , f5 ‖ BC e3 f3

∆efg ~ ∆EFG p e5 g5 ‖ FE f6 , d f5 ⊥ CD c ⊥ BC ‖ BC e3 b f3 C 4 + F D A 2 w B G K 3 E F 6 1 S 5 C D 4 + b p v d c ⊥ BC ⊥ CD g5 ‖ FE f6 , f5 ‖ BC e3 ∆efg ~ ∆EFG f3

vG5 = cv · (pv g5) = 200 · 5,3 = 1060 cm s-1 p e5 g5 ‖ FE f6 , d f5 A 2 w B G K 3 E F 6 1 S 5 C D 4 g5 p v ‖ FE f6 , d + f5 ⊥ CD c ⊥ BC ‖ BC e3 b f3 vG5 = cv · (pv g5) = 200 · 5,3 = 1060 cm s-1

Plan przyspieszeń. C GRUPA 3-4 4 F D K 5 E 6 1 1 3 G B 2 w 2 A 1

(pC) = (pB) + (pCB) + (pCB) (pC) = (pD) + (pCD) + (pCD) n t Dane: pB, pD. pB=lAB·(w2)2=20000 cm ·s-2 pD=0 (pC) = (pB) + (pCB) + (pCB) (pC) = (pD) + (pCD) + (pCD) n t (pB) + (pCB) + (pCB) = (pD) + (pCD) + (pCD) t n = (lAB) =0

Operacja ta przebiega następująco: Wektory przyspieszeń normalnych można wyznaczyć wykreślnie na schemacie strukturalnym mechanizmu. Operacja ta przebiega następująco:

Długość tego wektora dana jest na planie prędkości. Przyspieszenie normalne (pCB) n C S 4 5 w w 3 4 F D K 5 E 6 1 1 3 S 3 G 1. Wykreślamy wektor prędkości (vCB) (prostopadły do członu 3) . (vCB) B 2 Długość tego wektora dana jest na planie prędkości. w 2 A 1

Przyspieszenie normalne (pCB) n 4 5 w w 3 4 F D K 5 E 6 1 1 3 S 3 G 2. Łączymy punkt C z końcem wykreślonego wektora. . (vCB) B 2 w 2 A 1

Przyspieszenie normalne (pCB) n 4 5 w w 3 4 F D K 5 E 6 1 1 3 S 3 G 3. Z końca wektora prędkości prowadzimy prostą prostopadłą do poprzednio wykreślonej. . (vCB) B 2 . w 2 A 1

Przyspieszenie normalne (pCB) n Wiedząc, że kierunek przyspieszenia normalnego pokrywa się z prostą przechodzącą przez punkty C i B: S 4 5 w w 3 4 F D K 5 E 6 1 1 3 S 3 G 4. Przedłużamy odcinek CB do przecięcia się z ostatnio wykreśloną linią. . (vCB) B 2 . w 2 A 1

Przyspieszenie normalne (pCB) n 4 5 w w 3 4 F D K 5 E 6 1 1 3 S 3 G 4. Łącząc punkt B z punktem przecięcia się tych linii otrzymujemy szukany wektor przyspieszenia normalnego. . (vCB) B 2 . (pCB) n w 2 A 1

W podobny sposób wyznacza się przyspieszenie normalne (pCD).

Przyspieszenie normalne (pCD) n (vCD) C . S 4 5 w w 3 4 F D K 5 E 6 1 1 3 S 3 G 1. Wykreślamy wektor prędkości (vCD) prostopadle do członu 4. B 2 w 2 A 1

Przyspieszenie normalne (pCD) n . (vCD) C S 4 5 w w 3 4 F D K 5 E 6 1 1 3 S 3 2. Łączymy punkt D z końcem wektora prędkości. G B 2 w 2 A 1

Przyspieszenie normalne (pCD) n . (vCD) C S 4 5 w w 3 4 F D K 5 E 6 1 1 3 S 3 3. Z końca wektora (vCD) prowadzimy prostą prostopadłą do poprzednio wykreślonej. G B 2 w 2 A 1

Przyspieszenie normalne (pCD) n . (pCD) n (vCD) C S 4 5 w w 3 4 F D K 5 E 6 1 1 3 S 3 4. Przedłużając odcinek CD do przecięcia się z ostatnio wykreśloną linią otrzymamy szukany wektor. G B 2 w 2 A 1

(pB) + (pCB) + (pCB) = (pD) + (pCD) + (pCD) t n W ten sposób zostały wyznaczone wykreślnie wektory przyspieszeń normalnych. (pB) + (pCB) + (pCB) = (pD) + (pCD) + (pCD) t n =0 = (lAB) ⊥ CB ⊥ CD Wektory przyspieszeń stycznych są oczywiście prostopadłe do odpowiednich przyspieszeń normalnych.

(pB) + (pCB) + (pCB) = (pD) + (pCD) + (pCD) t n S 4 5 w w 3 4 F K 5 D pp E 6 1 + d 1 3 S 3 G nCD B 2 b w (pCB) n ⊥ CD A 2 1 ⊥ CB c nCB (pB) + (pCB) + (pCB) = (pD) + (pCD) + (pCD) t n =0 = (lAB) ⊥ CB ⊥ CD

(pCD) n (pCB) n pC = cp· (ppc) ; (ppc) = 10,75 cm S 4 5 w w 3 4 F K 5 D pp E 6 1 + d 1 3 S 3 G nCD B 2 b w (pCB) n ⊥ CD A 2 1 ⊥ CB c nCB pC = cp· (ppc) ; (ppc) = 10,75 cm pC = 4000 · 10,75 = 43000 cm s-2

C e3 e4 S 4 5 w w 3 4 F K 5 D E 6 1 1 3 S 3 G B 2 w A 2 1

C GRUPA 5-6 4 F D K 5 E 6 1 1 3 G B 2 w 2 A 1

(pF6) = (pF5) + (pF6F5) + (pF6F5) (pF5) = (pF3) + (pF5F3) + (pF5F3) c Dane: pF6, e3. pF6= 0 (pF6) = (pF5) + (pF6F5) + (pF6F5) (pF5) = (pF3) + (pF5F3) + (pF5F3) c (pF6) = (pF3) + (pF5F3) + (pF5F3) + (pF6F5) + (pF6F5) c =0

C Punkty F3, F5, F6 pokrywają się w danej chwili, ale należą do różnych członów S 5 e3 4 e4 w w 3 4 S 3 F D K 5 6 E 6 1 1 3 3 , 5 i 6 ) (odpowiednio G B 2 w 2 A (pF6) = (pF3) + (pF5F3) + (pF5F3) + (pF6F5) + (pF6F5) c 1 =0 ‖ BC

(pF6) = (pF3) + (pF5F3) + (pF5F3) + (pF6F5) + (pF6F5) c S 5 e3 4 e4 w w 3 4 F D K 5 E 6 1 1 3 G B 2 w 2 A (pF6) = (pF3) + (pF5F3) + (pF5F3) + (pF6F5) + (pF6F5) c =0 ‖ BC ‖ FE 1

Przyspieszenia Coriolisa można wyznaczyć w następujący sposób. (pF5F3) c k1 (vCB) k2 (pF6F5) c 2·(vF6F5) (lCB) 2·(vF5F3)

Kierunek przyspieszenia Coriolisa jest prostopadły do prowadnicy a jego zwrot jest taki jak zwrot prędkości względnej obróconej o kąt 90° zgodnie ze zwrotem prędkości kątowej prowadnicy. + b p v d c ⊥ BC ⊥ CD f6 , f3 f5 ‖ BC ‖ FE e5 e3 g5 w5 (vF6F5) . (pF6F5) c

(pF6) = (pF3) + (pF5F3) + (pF5F3) + (pF6F5) + (pF6F5) c (vF5F3) + b p v d c ⊥ BC ⊥ CD f6 , f3 f5 ‖ BC ‖ FE e5 e3 g5 w3 (pF5F3) c . Określone zostały więc kolejne dwa wektory: (pF6) = (pF3) + (pF5F3) + (pF5F3) + (pF6F5) + (pF6F5) c =0 ‖ BC ‖ FE

Ostatni wektor wyznaczony zostanie z podobieństwa trójkątów bcf3 i BCF.

(pF6) = (pF3) + (pF5F3) + (pF5F3) + (pF6F5) + (pF6F5) c c (pCD) n C S 4 5 w w 3 4 F K 5 D pp E 6 1 + d 1 3 S 3 G nCD B 2 b w (pCB) n A 2 1 ⊥ CB f3 c nCB (pF6) = (pF3) + (pF5F3) + (pF5F3) + (pF6F5) + (pF6F5) c c ‖ BC ∆bcf3 ~ ∆BCF ‖ FE =0

(pF6) = (pF3) + (pF5F3) + (pF5F3) + (pF6F5) + (pF6F5) c c (pCD) n C k2 S 4 5 f5 w w 3 4 F K 5 D pp E 6 1 + d ,f6 1 ‖ BC 3 S 3 G nCD B 2 b w (pCB) n A 2 k1 1 ⊥ CB f3 c nCB (pF6) = (pF3) + (pF5F3) + (pF5F3) + (pF6F5) + (pF6F5) c c ‖ BC ∆bcf3 ~ ∆BCF ‖ FE =0

(pE5) = (pE3) + (pE5E3) + (pE5E3) c pE5 E3 = pF5 F3 c pE5 E3 = pF5 F3 (pE5) = (pE3) + (pE5E3) + (pE5E3) c

(pE5) = (pE3) + (pE5E3) + (pE5E3) c (pCD) n e5 C k2 S 4 5 f5 w w 3 4 F K 5 D pp E 6 1 d ,f6 + 1 ‖ CB 3 S 3 G nCD B k’1 2 b w (pCB) n A 2 k1 e3 1 ⊥ CB f3 c nCB (pE5) = (pE3) + (pE5E3) + (pE5E3) c

(pCD) n (pCB) n ∆efg ~ ∆EFG k2 S 4 5 f5 w w 3 4 F K 5 D pp E 6 1 ,f6 + d 1 ‖ CB 3 S 3 G nCD B k’1 2 b w (pCB) n A 2 k1 e3 1 ∆efg ~ ∆EFG ⊥ CB f3 c nCB pG5 = cp · (pp g5) = 4000 · 12,1 = 48400 cm s-2