Kaskady wieloskalowe w układach złożonych Paweł Oświęcimka Instytut Fizyki Jądrowej PAN Oddział Fizyki Teoretycznej Zakład Teorii Systemów Złożonych

Zakład Teorii Układów Złożonych

Jak zdefiniować niezdefiniowane? Cechy układów złożonych: Duża liczba elementów oddziałujących ze sobą nieliniowo (korelacje długozasięgowe) Samoorganizacja, emergencja … „More is different”, P.W. Anderson, 1972 Żródło: http://en.wikipedia.org/ Przykłady emergencji: kopiec termitów

Cechy układów złożonych cd. Struktura hierarchiczna i bezskalowość PRAWA POTĘGOWE (Fraktale) Source: http://en.wikipedia.org/ Struktura władzy USA jako przykład struktury hierarchicznej.

Prawa potęgowe w przyrodzie Prawo Gutenberga-Richtera Prawo Pareto Prawo Zipfa Charles Francis Richter Vilfredo Pareto George Kingsley Zipf Beno Gutenberg Żródło rysunków: http://en.wikipedia.org/

Prawa potęgowe cd. Żródło rysunku: internet

Historia pewnego prawa potęgowego… Cena bawełny na różnych skalach czasowych Benoit Mandelbrot Żródło rysunku: internet

Żródło rysunku: internet

Wymiar fraktalny D f(α) Zbiór Cantora D=0.63... (więcej niż punkt, mniej niż odcinek) Trójkąt Sierpińskiego D=ln3/ln2=1.585

Noc Naukowców 2012

W jaki sposób zidentyfikować kaskadę? Transformata falkowa jako matematyczny mikroskop skala falka sygnał Diabelskie schody

Fraktale i Multifraktale Prawo potęgowe - samopodobieństwo Agregacja ograniczona dyfuzją Monofractals Multifractal patterns scale with multiple scaling rules rather than one global scaling rule Multifractals h(q)- uogólniony wykładnik Hursta Żródło: http://en.wikipedia.org/wiki/Multifractal_system

Multifraktalna kaskada Żródło rysunków: internet

Multifraktale - inżynieria skala Maksima Modułu Multifraktalna Analiza Transformaty Falkowej (WTMM) Multifraktalna Analiza Fluktuacji Detrendowanych (MFDFA) skala MIN MAX

Dla Ruchów Browna a = H (1/2) Wykładnik Höldera a a a gładsza funkcja większa nieregularność Dla Ruchów Browna a = H (1/2) monofraktal

Spektrum osobliwości f(a) Monofraktal- ruch Browna Multifraktal- rzeczywiste dane finansowe f(a) a

(Multi)fraktalność jako fakt stylizowany

Czasy międzytransakcyjne Dts(i)=ts(i+1)-ts(i) cena czas Dane oryginalne Dane wymieszane P. Oświęcimka, J. Kwapień, S. Drożdż. Physica A 347, 626 (2005)

Multifraktalne charakterystyki serca α Se Serce chore Serce zdrowe P. Ch. Ivanov, L. A. N. Amaral, A. L. Goldberger, S. Havlin, M. G. Rosenblum, Z. Struzik, and H. E. Stanley, "Multifractality in Human Heartbeat Dynamics," Nature 399, 461-465 (1999)

Fraktalna muzyka „1/f noise in music and speech” Power spectrum analysis 1/f 0 - white noise (no correlations) 1/f pink noise Meteorological data series,electronic devices, heart beat rhythms…and music? 1/f 2 Brownian noise (strong correlations) R.F. Voss, and J. Clark, Nature 258, 1975, pp 317-318

Fraktalna muzyka cd.

Symulowanie układów złożonych – modele agentów Model agentów (agent-based model) - modele obliczeniowe symulujące oddziaływanie wielu autonomicznych elementów „agentów”. Wielu heterogenicznych „agentów” (w ramach przyjętej strategii gry) Określone zasady oddziaływanie pomiędzy „agentami” Możliwość uczenia i adaptacji „agentów” K.I.S.S. „Keep it simple and short” Żródło rysunku: internet

Model pieniądza (Yasutomi) Cechy agenta: i w(i) – jakiego produktu potrzebuję Pj(i) – ile posiadam produktów Vj(i) – chęć posiadania innego produktu Dj(i) – ile produktów będę wymieniał Reguły gry: Dynamika składa się z tur Każda tura składa się z N transakcji Parametr modelu T (Tresh) - na ile agenci podlegają efektowi stadnemu

Model pieniądza cd. Pieniądz w modelu : Najbardziej poszukiwany produkt Często wymieniany Długi „czas życia” Czas istnienia konkretnego pieniądza T=1 T=2.5 T=4

Model pieniądza cd. Multifraktale - Granice chaosu x → kx(1-x) (Brak pieniądza) (Pieniądz stabilny) Odwzorowanie logistyczne: x → kx(1-x) 0<k<4

Podsumowanie Wiele układów złożonych posiada wspólny „mianownik” – fraktalność i może być analizowanych przy użyciu formalizmu multifraktalnego Teoria fraktali potwierdza swoją uniwersalność interdyscyplinarny charakter Odpowiednim modelem układu złożonego jest model agentów, który za pomocą prostych oddziaływań odtwarza główne cechy takich układów

The end