Każdy może być jak Pitagoras Projekt edukacyjny klasy II Gimnazjum Specjalnego Ośrodka Szkolno Wychowawczego dla Młodzieży Niewidomej i Słabowidzącej w Chorzowie

Może na początek kim był Pitagoras? Pitagoras (ok. 572 - ok. 487 p.n.e.) Grecki matematyk i filozof, założyciel tzw. szkoły pitagorejskiej w Krotonie (południe Włoch). W szkole tej rozważano między innymi takie problemy matematyczne, jak podwojenie sześcianu, trysekcja kąta, kwadratura koła itp. Do klasycznej wiedzy matematycznej przeszło słynne twierdzenie, powszechne zwane twierdzeniem Pitagorasa. O samym Pitagorasie wiemy niewiele. Prąd filozoficzno-religijny związany z jego imieniem trwał przez dwa wieki i nie sposób ustalić, co on zawdzięcza Pitagorasowi, a co jego uczniom. Dlatego mówić należy raczej o pitagoreizmie.

Twierdzenie Pitagorasa Założenie: trójkąt jest prostokątny Teza: suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej

Cud odkrycia Pitagoras odkrył wielką prawdę o trójkącie prostokątnym. Jak niesie podanie Pitagoras przez wdzięczność za odkrycie miał złożyć muzom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów. Związek między liczbami naturalnymi występujący dzisiaj w znanym ogólnie twierdzeniu Pitagorasa odkryli na długo przed Pitagorasem Egipcjanie i Babilończycy, którzy wykorzystywali go do wyznaczania kątów prostych. Pitagoras natomiast jako pierwszy to twierdzenie udowodnił.

Dzisiaj my uczniowie klasy II Gimnazjum postanowiliśmy uogólnić twierdzenia pitagorasa na wszystkie wielokąty foremne. Oto nasze twierdzenia wraz z dowodami

Zapraszamy

Twierdzenie Bartka Założenie: Jeżeli trójkąt jest prostokątny Teza: Suma pól trójkątów równobocznych zbudowanych, na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, jest równa polu trójkąta równobocznego zbudowanego, na przeciwprostokątnej.

Pole trójkąta równobocznego: 𝑃= 𝑎 2 3 4 Pole trójkąta równobocznego o boku a= 3 𝑃 1 = 3 2 3 4 𝑃 1 = 9 3 4 Pole trójkąta równobocznego o boku a= 4 𝑷 𝟐 = 𝟒 𝟐 𝟑 𝟒 𝑃 2 = 16 3 4

Pole trójkąta równobocznego o boku a=5 𝑃 3 = 5 2 3 4 𝑃 3 = 25 3 4

Dowód Sprawdzamy czy suma pól trójkątów równobocznych o boku 3 i 4 jest równa polu trójkąta o boku 5. 𝑃 1 + 𝑃 2 =𝑃 3 9 3 4 + 16 3 4 = 25 3 4 25 3 4 = 25 3 4 Prawa strona równa się lewej zatem udowodnione jest twierdzenie o trójkącie równobocznym.

Twierdzenie Szymona Założenie: Jeżeli trójkąt jest prostokątny Teza: Suma pól sześciokątów foremnych zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu sześciokąta foremnego zbudowanego na przeciwprostokątnej

Pole sześciokąta foremnego 𝑷=𝟔∙ 𝒂 𝟐 𝟑 𝟒 Pole sześciokąta foremnego o boku a=3 𝑃=6∙ 3 2 4 3 =13,5 3 Pole sześciokąta foremnego o boku a=4 𝑃=6∙ 4 2 4 3 =24 3 Pole sześciokąta foremnego o boku a=5 P=6∙ 5 2 4 3 =37,5 3

Dowód Sprawdzamy czy suma pół sześciokątów foremnych o bokach 3 i 4 jest równa polu sześciokąta o boku 5: 13,5 3 + 24 3 = 37,5 3 37,5 3 =37,5 3 Prawa strona równa się lewej zatem udowodnione twierdzenie o sześciokącie.

Twierdzenie Adriana Założenie: Jeżeli trójkąt jest prostokątny Teza: Suma pól półokręgów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta jest równa polu półokręgu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Pole półokręgu 𝑷= 𝟏 𝟐 π 𝒓 𝟐 Pole półokręgu o promieniu 𝑟 1 =1,5 𝑃 1 = 1 2 π (1,5) 2 = 1 2 π∙ ( 3 2 ) 2 = 1 2 ∙π∙ 9 4 = 9 8 ∙π 𝑃 2 = 1 2 π ∙ 2 2 = 1 2 π ∙4=2π 𝑃 3 = 1 2 π ∙ ( 2 2 1 ) 2 = 1 2 π ∙ 25 4 = 25 8 π=3 1 8 π

Dowód Sprawdzamy czy suma pół półokręgów o średnicach 3 i 4 jest równa polu półokręgu o średnicy 5: 9 8 π+2π=3 1 8 π 9 8 π+ 16 8 π=3 1 8 π 25 8 π=3 1 8 π 3 1 8 π=3 1 8 π Prawa strona równa się lewej zatem udowodnione twierdzenie o półokręgu.

Zadanie konkursowe dla uczniów SOSW Przez nasze podwórko szkolne przebiega chodnik prowadzący od furtki do drzwi głównych. Sprawdź czy płot ograniczający podwórko jest pod kątem prostym do budynku szkoły. Będą potrzebne Ci : taśma miernicza, kartka, przybory, oraz wiedza z zakresu twierdzenia Pitagorasa. POWODZENIA

Zastosowania twierdzenia Pitagorasa

Zadanie Szymona Okno Julii znajduje się na wysokości 4 m nad ziemią. Jak daleko od ściany powinien Romeo przystawić dolny koniec drabiny o długości 5 m, aby górny jej koniec dokładnie dosięgnął okna Julii?

Rozwiązanie zadania 𝑥 2 + 4 2 = 5 2 X 𝑿 𝟐 =𝟐𝟓−𝟏𝟔 𝑿 𝟐 =𝟗 X=3 Odp: Drabinę należy postawić w odległości 3m od ściany

Zadanie Bartka Dom Ani znajduje się 80m, a dom Basi w odległości 60m od odpowiedniego brzegu rzeki, mosty mają po 4m długości i znajdują się w odległości 140m od siebie(rysunek). Oblicz najkrótszą drogę(oczywiście prowadzącą przez most, możesz iść wzdłuż brzegów rzeki lub też przez łąkę(na przełaj)od domu Ani do domu Basi.

Rozwiązanie zadania Idąc wzdłuż brzegu trasa wynosi: 80m+140m+4m+60m=284m Idąc na przełaj trasa będzie wynosiła: 𝑥𝑚 +4𝑚+60𝑚 x 4m 60m

Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy 80 2 + 140 2 = 𝑥 2 6400+19600= 𝑥 2 𝑥 2 = 26000 𝑥= 26000 𝑥=20 65 x 80m 140m

Odległość ta wynosi 20 65 Jest to liczba z przedziału 160m<20 65 <180m Więc trasa przez łąkę jest krótsza.

Zadanie Adriana Sekwoja ma wysokość 100 m. Huragan przełamał ją na pewnej wysokości tak, że wierzchołek drzewa sięgnął ziemi w odległości 40 m od podstawy drzewa. Na jakiej wysokości (licząc od ziemi) wiatr przełamał drzewo?

Sekwoja ma Wysokość 100m.Po złamaniu powstał trójkąt prostokątny x+y=100m x=100-y x 40m 𝑥 2 + 40 2 = 𝑦 2 (100−𝑦) 2 + 40 2 = 𝑦 2 10000-200y+ 𝑦 2 +1600= 𝑦 2 -200y=-11600 y=58 Wiatr przełamał drzewo na wysokości x czyli x=100-58 X=42

Zadanie Marcina Na dwóch drzewach czereśniowych które rosną w odległości 5m od siebie siedzą Adam i Marek. Adam znajduję się na wysokości 1m a Marek na wysokości 2m. Jedzą czereśnie i plują pestkami w linii prostej starając się trafić do koszyka. W jakiej odległości od koszyka znajdują się chłopcy jeżeli ich odległość jest równa.

Odlegośc między drzewami wynosi 5m Stosując twierdzenie pitagorasa dla obydwu trójkątów powstaje układ równań

Wiemy , że x+y=5, czyli x=5-y 𝑥 2 + 2 2 = 𝑎 2 𝑦 2 + 1 2 = 𝑎 2 Robimy podstawienie (5−𝑦) 2 +4= 𝑎 2 𝑦 2 +1= 𝑎 2 Rozwiązujemy ten układ metodą podstawiania: (5−𝑦) 2 +4= 𝑦 2 +1 Korzystany ze wzoru skróconego mnożenia 25−10𝑦+ 𝑦 2 +4= 𝑦 2 +1

Stąd otrzymujemy -10𝑦=−28 y=2,8 2,8 2 + 1 2 = 𝑎 2 8,24= 𝑎 2 884 100 = 𝑎 2 2 5 221 =𝑎

Autorzy projektu Szymon Augustyniak Marcin Gaura Adrian Tempich Bartłomiej Tomkiewicz

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ