D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Wykład 7: Liniowe modele decyzyjne. dr Dorota Ciołek Katedra Ekonometrii Wydział Zarządzania UG http://wzr.pl/dc dorota.ciolek@ug.edu.pl

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Badania operacyjne Nauka wykorzystująca modelowanie matematyczne do wspierania procesu podejmowania decyzji, przede wszystkim w zarządzaniu. Wspieranie podejmowania decyzji oparte jest na zasadach racjonalnego działania: zasada największego efektu – przy danych nakładach środków osiągnąć maksymalny efekt, zasada najmniejszych nakładów środków – określony efekt osiągnąć najmniejszymi nakładami środków. Strategia działania – metoda postępowania przynosząca określony efekt. Decydent – osoba podejmująca decyzję o wyborze strategii i ponosząca odpowiedzialność za efekty realizacji.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Badania operacyjne Zastosowania: - Wojskowość - rozmieszczenie systemów obrony, analiza niezawodności sprzętu wojskowego, poszukiwanie i udzielanie pomocy, symulacja gier wojennych. - Decyzje dotyczące produkcji – wybór optymalnego asortymentu produkcji, sterowanie zapasami, zarządzanie jakością. - Marketing - wybór mediów w kampanii reklamowej, ocena konkurencyjności strategii marketingowych, przydział personelu do sprzedaży, umiejscowienie centrów dystrybucji, prognozowanie sprzedaży. - Analiza (zarządzanie) portfelem papierów wartościowych - Planowanie diety. - Zarządzanie personelem.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Metody badań operacyjnych Programowanie liniowe, Programowanie całkowitoliczbowe, Zagadnienia transportowe, Zagadnienia przydziału, Programowanie nieliniowe, Programowanie wielokryterialne, Programowanie dynamiczne, Programowanie sieciowe, Teoria masowej obsługi, Itd..

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Linowy model decyzyjny Model decyzyjny – matematyczny zapis sytuacji decyzyjnej. Na model decyzyjny składają się: jednoznacznie zdefiniowane zmienne decyzyjne – informują, o czym powinien zdecydować decydent, warunki ograniczające (warunki wewnętrznej zgodności) – odzwierciedlają ograniczoność zasobów lub minimalne wymagania, które należy spełnić, funkcja kryterium (funkcja celu) – definiuje cel, który przyświeca decydentowi – np. maksymalizacja zysku (przychodu) lub minimalizacja kosztów, warunki nieujemności (warunki brzegowe) – ograniczają zbiór dopuszczalnych rozwiązań zmiennych decyzyjnych do liczb nieujemnych.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Rozwiązanie liniowego modelu decyzyjnego Rozwiązanie modelu decyzyjnego polega na znalezieniu rozwiązania optymalnego, czyli najlepszego z punktu widzenia określonego celu, możliwego do uzyskania w danych okolicznościach (przy danych ograniczeniach). Rozwiązanie dopuszczalne – takie wartości zmiennych decyzyjnych, które możliwe są do uzyskania przy danych ograniczeniach. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych – obszar (lub przestrzeń) do którego należą wszystkie punkty (kombinacje zmiennych decyzyjnych), które spełniają wszystkie ograniczenia równocześnie (warunki ograniczające i warunki brzegowe).

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Rozwiązanie liniowego modelu decyzyjnego Metody rozwiązywania: metoda graficzne – tylko do modeli z dwiema zmiennymi decyzyjnymi, metoda simplex – metoda uniwersalna dla liniowych modeli decyzyjnych. Rozwiązanie metodą graficzną: 1) Szukamy obszaru rozwiązań dopuszczalnych – obszaru w którym spełnione są wszystkie warunki ograniczające. 2) W wierzchołkach obszaru rozwiązań dopuszczalnych szukamy rozwiązania najlepszego z punktu widzenia funkcji celu – rozwiązanie optymalne. Rozwiązanie optymalne reprezentuje taka kombinację zmiennych decyzyjnych x1 i x2, która daje optymalne, najlepsze z punktu danego celu, rozwiązanie.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1. (A.C. Chiang „Podstawy ekonomii matematycznej”, PWE, Warszawa 1994) Fabryka złożona z trzech zakładów produkcyjnych, w których odbywa się krojenie, mieszanie i paczkowanie, produkuje dwa rodzaje herbaty: I i II. Maszyny w każdym wydziale mogą pracować po 8 godzin dziennie. Proces produkcji można w skrócie opisać w następujący sposób: Pierwszy rodzaj herbaty najpierw jest krojony, a potem paczkowany. Wytworzenie każdej tony tej herbaty zajmuje ½ godziny krojenia i 1/3 godziny paczkowania. Herbata drugiego rodzaju jest najpierw mieszana, a następnie paczkowana. Na każdą tonę tej herbaty przypada 1 godzina mieszania i 2/3 godziny paczkowania. Herbata pierwsza może być sprzedawana za 800 $ za tonę, natomiast herbata druga za 600 $ za tonę. Dyrektor produkcji musi zdecydować jaki poziom produkcji obu rodzajów herbaty powinna należy produkować, jeżeli celem jest maksymalizacja całkowitego przychodu?

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1. Model decyzyjny: 1) Zmienne decyzyjne: x1 – liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana, x2 – liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana. 2) Warunki ograniczające:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1. Model decyzyjny: 1) Zmienne decyzyjne: x1 – liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana, x2 – liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana. 2) Warunki ograniczające:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1. Model decyzyjny: 1) Zmienne decyzyjne: x1 – liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana, x2 – liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana. 2) Warunki ograniczające:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1. Model decyzyjny: 1) Zmienne decyzyjne: x1 – liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana, x2 – liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana. 2) Warunki ograniczające:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1. Model decyzyjny: 1) Zmienne decyzyjne: x1 – liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana, x2 – liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana. 2) Warunki ograniczające:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1. Model decyzyjny: 1) Zmienne decyzyjne: x1 – liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana, x2 – liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana. 2) Warunki ograniczające:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1. Model decyzyjny: 1) Zmienne decyzyjne: x1 – liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana, x2 – liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana. 2) Warunki ograniczające:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1. Model decyzyjny: 1) Zmienne decyzyjne: x1 – liczba ton herbaty I rodzaju, która ma być produkowana, x2 – liczba ton herbaty II rodzaju, która ma być produkowana. 2) Warunki ograniczające:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1. 3) Funkcja kryterium: Maksymalizacja całkowitego przychodu: 4) Warunki brzegowe:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1. 3) Funkcja kryterium: Maksymalizacja całkowitego przychodu: 4) Warunki brzegowe:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1. 3) Funkcja kryterium: Maksymalizacja całkowitego przychodu: 4) Warunki brzegowe:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1. 3) Funkcja kryterium: Maksymalizacja całkowitego przychodu: 4) Warunki brzegowe:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 2. Pewna osoba, aby zachować dobre zdrowie, musi przyjmować w codziennym pożywieniu określone ilości substancji odżywczych. Przyjmijmy, że są to trzy typy substancji: wapń, proteiny i witamina A. Załóżmy, że dieta tej osoby składa się z dwóch rodzajów żywności I i II, których ceny i zawartości składników odżywczych podano w tabeli. Określone zostało również minimalne dzienne zapotrzebowanie na poszczególne składniki. Należy zdecydować Jaka kombinacja dwóch rodzajów żywności będzie zaspokajała dzienne zapotrzebowanie na substancje odżywcze najmniejszym kosztem? Żywność I Żywność II Minimalne dzienne Cena 0,6 $ 1 $ zapotrzebowanie Wapń Proteiny Witamina A 10 5 2 4 6 20 12

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 2. Model decyzyjny: 1) Zmienne decyzyjne: x1 – ilość jednostek I rodzaju żywności, x2 – ilość jednostek II rodzaju żywności. 2) Warunki ograniczające:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 2. Model decyzyjny: 1) Zmienne decyzyjne: x1 – ilość jednostek I rodzaju żywności, x2 – ilość jednostek II rodzaju żywności. 2) Warunki ograniczające:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 2. Model decyzyjny: 1) Zmienne decyzyjne: x1 – ilość jednostek I rodzaju żywności, x2 – ilość jednostek II rodzaju żywności. 2) Warunki ograniczające:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 2. Model decyzyjny: 1) Zmienne decyzyjne: x1 – ilość jednostek I rodzaju żywności, x2 – ilość jednostek II rodzaju żywności. 2) Warunki ograniczające:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 2. Model decyzyjny: 1) Zmienne decyzyjne: x1 – ilość jednostek I rodzaju żywności, x2 – ilość jednostek II rodzaju żywności. 2) Warunki ograniczające:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 2. 3) Funkcja kryterium: Minimalizacja łącznego kosztu zakupu żywności: 4) Warunki brzegowe:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 2. 3) Funkcja kryterium: Minimalizacja łącznego kosztu zakupu żywności: 4) Warunki brzegowe:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Liniowy model decyzyjny Zapis ogólny – postać standardowa (dla maksymalizacji)

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Liniowy model decyzyjny Zapis ogólny – postać standardowa (dla minimalizacji)

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Liniowy model decyzyjny Zapis macierzowy: - wektor współczynników funkcji celu, - wektor zmiennych decyzyjnych, - macierz współczynników z warunków ograniczających, - wektor wyrazów wolnych (zasobów, wymogów).

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 1: Przykład 2:

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Liczba rozwiązań optymalnych Liniowy model decyzyjny może mieć: jedno rozwiązanie optymalne – tylko w jednym wierzchołku zbioru rozwiązań dopuszczalnych znajduje się największa (najmniejsza) wartość funkcji celu. nieskończenie wiele rozwiązań – gdy optymalna wartość funkcji celu znajduje się równocześnie w dwóch wierzchołkach zbioru rozwiązań dopuszczalnych. brak rozwiązań optymalnych – gdy zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem pustym.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Postać kanoniczna LMD Postać kanoniczna liniowego modelu decyzyjnego – postać gdzie warunki ograniczające mają postać równań. W warunkach ograniczających uwzględniamy tzw. zmienne dodatkowe s. Przykład 1.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Postać kanoniczna LMD Przykład 2.

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 7 Przykład 3. Lokalna firma planuje reklamowanie pewnego towaru w ciągu określonego tygodnia w i radiu i w telewizji. Przeznaczyła na ten cel maksymalny budżet w wysokości 16000 dolarów. 30-sekundowa reklamówka radiowa (oznaczmy ją symbolem x1) kosztuje 800 dolarów, a minimalny kontrakt obejmuje pięciokrotne nadawanie. Reklamy telewizyjne (oznaczmy je symbolem x2) kosztują 4000 dolarów. W wybranym tygodniu wolne są jeszcze tylko cztery odcinki reklam telewizyjnych. Ocenia się, że ze względu na wielkość audytorium i inne czynniki, reklama telewizyjna jest sześciokrotnie efektywniejsza niż reklama radiowa. Jak firma powinna zaplanować kampanię reklamową, aby dotrzeć do największej liczby potencjalnych odbiorców?