Mechanika Kwantowa dla studentów II roku (2015) (Wykład 2+3+4)

Postulaty Mechaniki Kwantowej, (związek z opisem klasycznym)

Przegląd postulatów Mechaniki Kwantowej, uwagi o jej matematycznym języku. Każdy dział fizyki ma swój specyficzny język matematyczny. Często się zdarza, że zapotrzebowania fizyczne stymulują różne działy matematyki. Mechanika Newtona ------ Rachunek różniczkowy i całkowy, Elektrodynamika klasyczna ----- Rachunek tensorowy, równania różniczkowe cząstkowe, MECHANIKA KWANTOWA -- Przestrzenie liniowe, operatory liniowe, grupy i ich reprezentacje. Pełny matematyczny formalizm Mechaniki Kwantowej został podany przez J. von Neumana w 1932 roku „Mathematical Foundation of Quantum Mechanics” Springer, Berlin, 1932

Postulaty Mechaniki Kwantowej UKŁAD FIZYCZNY Kwantowo: Obrazem matematycznym układu fizycznego jest zbiór stanów mikroskopowego układu kwantowego tworzących przestrzeń Hilberta stanów kwantowych H Elementy przestrzeni będziemy oznaczać: Klasycznie: Obrazem matematycznym układu fizycznego jest przestrzeń fazowa (Przestrzeń fazowa z więzami) {x1, x2, x3, p1, p2, p3;.....}

Definicja Przestrzeni liniowej Definicja Przestrzeni unitarnej Definicja Przestrzeni Hilberta Definicja Algebry

Przestrzeń liniowa Φ nad ciałem K: ciało K -- ciało liczb zespolonych Rozdzielczość mnożenia względem dodawania Łączność

Notacja wektorów wprowadzona przez Diraca Wektor „Ket” Wektor „Bra” Sprzężenie Hermitowskie Iloczyn skalarny Bracket (nawias)

Przestrzeń unitarna Metryka generowana przez iloczyn skalarny: Zbieżność w sensie Cauchy’ego jest zbieżny w sensie Cauchy’ego, gdy dla każdego istnieje takie N, że , gdy

Przestrzeń Hilberta H Liniową i unitarną przestrzeń H nazywamy przestrzenią HILBERTA, gdy każdy ciąg elementów H zbieżny w sensie Cauchy’ego ma element graniczny, który też należy do przestrzeni H . Liniowa zależność, linowa niezależność Przestrzenie skończenie i nieskończenie wymiarowe Baza , gdy Przestrzeń Hilberta H jest izomorficzna z Cn gdy jest skończenie wymiarowa lub z L2 gdy jest nieskończenie wymiarowa. Tak więc badanie nieskończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta sprowadza się do badania przestrzeni L2.

Przestrzeń Cn to zbiór wektorów, którego elementami są liczby zespolone: Przestrzeń X =L2(Ω) to przestrzeń funkcji na zbiorze o wartościach rzeczywistych lub zespolonych takich, że

Omówienie formalizmu Diraca Przestrzeń sprzężona Iloczyn skalarny = „bra-c-ket”

ALGEBRA operatorów Zbiór operatorów {A} tworzy ALGEBRĘ, gdy Każde A jest operatorem liniowym. Dla A i B określony jest ich iloczyn AB = C o własnościach: Istnieje operator jednostkowy I taki, że:

Postulat I : Stan układu fizycznego w danej chwili Klasycznie: Stan układu fizycznego fizycznego (punkt materialny, układ punktów materialnych) w każdej chwili czasu opisuje punkt w przestrzeni fazowej a więc zarówno położenia jak i pęd każdej cząstki: ( xi(t), pi(t) ); i = 1,2, ……n Kwantowo: Kantowy stan układu fizycznego (dokładniej kwantowy stan czysty) opisany jest przez wektor w przestrzeni Hilberta H Później będziemy mówić także o tzw. stanach mieszanych.

Postulat II: Wielkość fizyczna Klasycznie: Kwantowo: Każda wielkość fizyczna F jest pewną funkcją położeń i pędów cząstek: F = F(xi(t), pi(t)), np. Energia punktu materialnego to: Kwantowo: Każdej wielkości fizycznej przypisany jest operator hermitowski posiadający zupełny układ wektorów własnych. Takie operatory nazywać będziemy OBSERWABLAMI A+ = A;

Postulat (II)1: Konstrukcja wielkości fizycznej Klasycznie (tak jak poprzednio): Każda wielkość fizyczna F jest pewną funkcją położeń i pędów cząstek: F = F(xi(t), pi(t)), np. Energia punktu materialnego to: Kwantowo: Dla układu posiadającego analogię klasyczną: na które nakładamy relacje komutacji: wtedy: Dla układów nie posiadających analogii klasycznej, obserwable i ich relacje komutacji są proponowane.

Izomorfizm dwóch przestrzeni Φ oraz Φ’ z iloczynem skalarnym Operatory liniowe: Operator sprzężony A+: Operator samosprzężony: A+ = A Operator hermitowski: A+ = A oraz D(A+) = D(A) jest gęsta

Operatory odwrotne: Operatory unitarne: Komutacja operatorów:

Wektory i wartości własne operatorów: parametr degeneracji Zdegenerowana wartość własna: Widmo operatora = zbiór jego wartości własnych: Dla operatorów hermitowskich: 1) Wartości własne są rzeczywiste: 2) Wektory własne należące do różnych wartości własnych są ortogonalne Zupełny układ wektorów własnych: Macierzowa reprezentacja operatorów. Operatory zupełne.

Postulat III: Wykonanie pomiaru Klasycznie: Kwantowo: Klasycznie możemy zmierzyć położenie i pęd każdej cząstki w dowolnej chwili czasu t. Mając xi(t) oraz pi(t) wyznaczamy dowolną wielkość fizyczną F = F( xi(t), pi(t) ) z dowolną dokładnością. Kwantowo: Wynikiem pomiaru wielkości fizycznej A jest zawsze jakąś jej wartość własną a : Mierząc A w stanie zawsze otrzymamy wartość własną ai, Mierząc A w stanie otrzymamy różne wyniki ai, z góry nie wiemy jaki będzie wynik pomiaru. Mechanika Kwantowe daje tylko możliwość obliczenia prawdopodobieństwa tego wyniku pomiaru ai.

Dlaczego A musi być operatora hermitowskiego? Dlaczego A musi być operatorem zupełnym?

Postulat IV: Różne wyniki pomiaru Klasycznie: Kwantowo: Każdą wielkość możemy wyznaczyć bez ograniczeń. Dokonanie pomiaru jednej wielkości nie wpływa na posiadaną wiedzę o dowolnej poprzednio zmierzonej wielkości fizycznej. Pomiar jest tylko rejestracją tego co jest, wynik i tak jest zakodowany w układzie. Pomiar nie wpływa na zachowanie się układu fizycznego, nie zmienia go. Kwantowo: Mierząc dowolną wielkość fizyczną A w stanie wynik nie jest znany. Jeżeli układ jest w stanie to prawdopodobieństwo (pa) otrzymania w wyniku pomiaru wartości własnej a jest równe wartości średniej operatora rzutowego na podprzestrzeń degeneracji wartości własnej a

Operatory rzutowe na podprzestrzeń degeneracji wartości własnej: Własności operatorów rzutowych Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wielkości fizycznej A w stanie wartości własnej ai gdy wartość ta jest zdegenerowana? Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru kilku wartości własnych?

Prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wartości własnej a: Gdy wartość własna a jest niezdegenerowana:

Dokonujemy wielokrotnie pomiaru wielkości fizycznej A, otrzymujemy w wyniku tych pomiarów różne wartości własne. Możemy obliczyć wartość średnią ( ) :

Dyspersja i Średnie odchylenie standardowe Wykonujemy wiele pomiarów, wartość średnia wyników określona przednio nie charakteryzuje rozkładu wyników. Wielkością charakteryzującą rozrzut wyników pomiarów jest: Dyspersja i Średnie odchylenie standardowe Określamy Dyspersje rozkładu wyników pomiarów: Oraz Średnie odchylenie standardowe rozkładu: Na ćwiczeniach udowodnimy nierówność Schwarza:

Zasada nieoznaczoności Heisenberga Uwaga: udowadniamy nierówność Schwarza obliczając iloczyn skalarny wektora i podstawiamy: Dla dwóch obserwabli, które nie komutują: można wyprowadzić relację pomiędzy średnimi odchyleniami standardowymi rozkładów wyników pomiarów obserwabli A oraz B w tym samym stanie Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Dowód: 1) Określamy: 2) Łatwo sprawdzić, że 3) Wtedy otrzymamy: 4) Korzystamy z własności liczb zespolonych: 5) Wstawiając i wykorzystując nierówność Schwarza, otrzymamy:

Relacja nieoznaczoności Heisenberga 6) Wykorzystując związki otrzymujemy Relacja nieoznaczoności Heisenberga

Postulat V: Stan układu po pomiarze Kwantowo: Klasycznie: Pomiar dowolnej wielkości fizycznej zmienia na ogół stan układu kwantowego. Jeśli układ był w stanie i dokonaliśmy pomiaru wielkości fizycznej A w wyniku czego otrzymaliśmy niezdegenerowaną wartość własną a, to stan układu po pomiarze będzie opisany wektorem stanu: Przypadek zdegenerowany omówimy później. Klasycznie: Pomiar tylko rejestruje, ale nie zmienia układu fizycznego. Jeżeli więc w chwili pomiaru układ miał położenie xi(t) oraz pęd pi(t) to dokładnie te same wartości położenia i pędu układ będzie posiadać po dokonaniu pomiaru dowolnej wielkości fizycznej.

Postulat V1: Przygotowanie układu fizycznego do pomiaru Klasycznie: Omówimy później gdy poznamy stan mieszany!! Klasycznie: W pewnej chwili t0 dokonujemy pomiaru położenia i pędu cząstki (cząstek): (xi(t0), pi(t0)) Istnieją też sposoby bezpośredniego pomiaru innych wielkości fizycznych. Kwantowo: Przygotowując układ do pomiaru mierzymy jedną lub więcej wielkości fizycznych, których obserwable komutują. Gdy w wyniku pomiaru wielkości fizycznej A otrzymaliśmy wartości własne a1, a2,, a3, ....., z prawdopodobieństwami w1, w2, w3, ..., to taki zbiór układów opisany jest operatorem statystycznym .

Zbadać funkcjonowanie postulatu gdy: 1) nie wykonujemy pomiaru (wykonujemy ∞ liczbę pomiarów i nie rejestrujemy wyników), 2) jak wygląda stan układu gdy w wyniku pomiaru otrzymujemy wartość własna ai, która jest zdegenerowana, 3) gdy przygotowaliśmy układ w stanie własnym mierzonej następnie obserwabli. Uwaga: ρ jest stanem własnym obserwabli A gdy (ΔA)ρ=0 gdzie

Postulat VI: Ewolucja w czasie układu kwantowego Klasycznie: Kwantowo: Znając siły działające na układ fizyczny i warunki początkowe możemy wyznaczyć stan układy w dowolnej późniejszej chwili czasu. Służą do tego równania ruchu. Znamy kilka wersji r. ruchu: np. r. Newtona, r. Lagrange’a, r. Hamiltona albo r. Hamiltona – Jacobiego. Np. r. Hamiltona: Kwantowo: Mechanika kwantowa daje także możliwość wyznaczenia stanu w dowolnej późniejszej chwili czasu gdy znamy stan początkowy. Gdy nie wykonujemy pomiaru na układzie i znamy jego stan początkowy to istnieje taki operator H zwany operatorem Hamiltona (Hamiltonian), że (równanie Schrödingera)

Gdy układ jest odosobniony (izolowany, zachowawczy) to operator H jest operatorem energii układu. Dla układu nieizolowanego istnieje też odpowiedni operator H = h(t), który nie jest operatorem energii. Równanie Schrödingera opisuje stan czysty, dla stanu mieszanego będziemy mieć inne równanie (będzie określone później) Obrazy Schrödingera, Heisenberga ( i Diraca) Równanie Heisenberga Stany stacjonarne, stałe ruchu

Wprowadzamy operator ewolucji czasowej stanów: Własności operatora ewolucji w czasie.

Obraz Schrödingera Obraz Heisenberga A(t) spełnia równanie Heisenberga:

Równanie Heisenberga

Zasada nieoznaczoności czas - energia W zasadzie nieoznaczoności wstawiamy B=H i otrzymamy: Wykorzystamy równanie Heisenberga: Tak więc Określamy gdzie Zasada nieoznaczoności czas - energia

Postulat VII: Układy z wieloma stopniami swobody Kwantowo: Klasycznie: Każdy stopień swobody ma swoją własną hermitowską przestrzeń stanów . Przestrzeń stanów układu z wieloma stopniami swobody jest iloczynem prostym przestrzeni Stan czysty układu jest kombinacją iloczynów prostych stanów: Klasycznie: Każdy następny stopień swobody opisany jest przez nową parę zmiennych kanonicznie sprzężonych. { qi(t), pi(t), i = 1,2,3,..... }

Definicja iloczynu prostego przestrzeni, definicja iloczynu skalarnego, baza Stany niezależne, dowolne stany – stany splątane Obserwable dla wielu stopni swobody Przykłady

Postulat VII1: Stopnie swobody związane z cząstkami identycznymi Klasycznie: Klasycznie nawet obiekty identyczne są rozróżnialne. Możemy śledzić ruch każdej cząstki nawet jeżeli jest ona identyczna z innymi Nie ma cząstek identycznych. Nie ma specjalnych konsekwencji identyczności cząstek Kwantowo: Nie mogę śledzić cząstek. Cząstki identyczne są nierozróżnialne. Nierozróżnialność ma poważne konsekwencje. Wynika z niej własność stanów kwantowych. Stany mogą być albo całkowicie symetryczne albo całkowicie antysymetryczne. Stany całkowicie symetryczne opisują cząstki o spinie całkowitym (BOZONY), stany antysymetryczne opisują cząstki o spinie połówkowym (FERMIONY).

Unormowane stany całkowicie symetryczne i antysymetryczne dla wielu identycznych cząstek Obserwable dla cząstek identycznych Zasada Pauliego

Dziękuję za uwagę

1. Claude Cohen-Tannoudii, Bernard Diu, Frank Laloë, Quantum Mechanics I, II , 1977, 2. Ramamurti Shankar, Mechanika Kwantowa, PWN, 2006 3. R. Eisenberg, R. Resnik, Fizyka Kwantowa atomów, cząsteczek, ciał stałych, jąder i cząstek elementarnych, 1983, ------------------------------------------------------------------------ 4. J.I.Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Advanced Quantum Mechanics, 1967, 5. Leonard I.Schiff, Mechanika Kwantowa, 1977, 6. Albert Messiah, Quantum Mechanics, 1976.