WYKŁAD 8 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W OŚRODKU JEDNORODNYM I ANIZOTROPOWYM

PLAN WYKŁADU Rozwiązania równań Maxwella dla ośrodka anizotropowego jednoosiowego Płytki falowe Dichroizm w materiałach dwójłomnych, polaryzatory Wektor Jonesa i rachunek Jonesa PODSUMOWANIE

Rozwiązania równań Maxwella dla ośrodka anizotropowego, jednoosiowego Dla ośrodka izotropowego:

Rozwiązania równań Maxwella dla ośrodka anizotropowego, jednoosiowego Dla ośrodka izotropowego: Dla ośrodka anizotropowego:

Rozwiązania równań Maxwella dla ośrodka anizotropowego, jednoosiowego Dla ośrodka izotropowego: Dla ośrodka anizotropowego: W układzie osi głównych:

Główne stałe dielektryczne:

Główne stałe dielektryczne: Główne współczynniki załamania:

Główne stałe dielektryczne: Główne współczynniki załamania: W ośrodku jednoosiowym:

Główne stałe dielektryczne: Główne współczynniki załamania: W ośrodku jednoosiowym: „o” od ordinary, zwyczajny

Główne stałe dielektryczne: Główne współczynniki załamania: W ośrodku jednoosiowym: „o” od ordinary, zwyczajny „e” od extraordinary, nadzwyczajny

Równania Maxwella dla dielektryka bez prądów i ładunków swobodnych:

Równania Maxwella dla dielektryka bez prądów i ładunków swobodnych: Poszukujemy najprostszych rozwiązań; płaskie fale harmoniczne.

Równania Maxwella dla dielektryka bez prądów i ładunków swobodnych: Poszukujemy najprostszych rozwiązań; płaskie fale harmoniczne.

Otrzymamy:

Otrzymamy: Po przemnożeniu drugiego równania przez i wykorzystaniu czwartego równania otrzymamy:

Otrzymamy: Po przemnożeniu drugiego równania przez i wykorzystaniu czwartego równania otrzymamy:

Po skorzystaniu z tożsamości:

Po skorzystaniu z tożsamości: mamy:

Po skorzystaniu z tożsamości: Dla ośrodka izotropowego mielibyśmy: mamy: Dla ośrodka izotropowego mielibyśmy:

Po skorzystaniu z tożsamości: mamy: Dla ośrodka izotropowego mielibyśmy: a więc, z pierwszego równania Maxwella:

i równanie:

i równanie: sprowadziłoby się do:

i równanie: sprowadziłoby się do: czyli:

i równanie: sprowadziłoby się do: czyli: Dla ośrodka anizotropowego takie uproszczenie jest niemożliwe. Musimy rozwiązać pełne równanie.

i równanie: sprowadziłoby się do: czyli: Dla ośrodka anizotropowego takie uproszczenie jest niemożliwe. Musimy rozwiązać pełne równanie. Przyjmiemy: Ponieważ x i y są równoważne, zatem wszystkie możliwe k są dopuszczone (obrót układu współrzędnych wokół osi z)

W konsekwencji równanie:

W konsekwencji równanie: sprowadzi się do:

W konsekwencji równanie: sprowadzi się do:

Wykorzystując główne współczynniki załamania otrzymamy:

Wykorzystując główne współczynniki załamania otrzymamy: I-sze rozwiązanie: a zatem:

Wykorzystując główne współczynniki załamania otrzymamy: I-sze rozwiązanie: a zatem: Długość wektora k’ nie zależy od kierunku; rozwiązanie „zwyczajne”. POLARYZACJA!!!

II-gie rozwiązanie: wobec tego:

II-gie rozwiązanie: wobec tego: i układ 3 r-ń redukuje się do:

Wyznacznik po przyrównaniu do zera da równanie:

Wyznacznik po przyrównaniu do zera da równanie: które po przemnożeniu, uproszczeniu i podzieleniu przez:

Wyznacznik po przyrównaniu do zera da równanie: które po przemnożeniu, uproszczeniu i podzieleniu przez: da równanie:

Wektor k’’ leży na elipsoidzie obrotowej o półosiach głównych: w kierunku z, i w kierunku x i y:

Wektor k’’ leży na elipsoidzie obrotowej o półosiach głównych: w kierunku z, i w kierunku x i y: Powierzchnia wektora falowego, albo indykatrysa optyczna

Wektor k’’ leży na elipsoidzie obrotowej o półosiach głównych: w kierunku z, i w kierunku x i y: Powierzchnia wektora falowego, albo indykatrysa optyczna Długość wektora k’’ wyznaczająca „efektywny” współczynnik załamania dla danego kierunku, zależy od tego kierunku; rozwiązanie „nadzwyczajne”

Stosunek składowych z i x pola E wyniesie:

Stosunek składowych z i x pola E wyniesie: Gdyby: E prostopadłe do k’’

Stosunek składowych z i x pola E wyniesie: Gdyby: E prostopadłe do k’’ Dla: D prostopadłe do k’’

Stosunek składowych z i x pola E wyniesie: Gdyby: E prostopadłe do k’’ Dla: D prostopadłe do k’’ Polaryzacja liniowa, E leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory k’’ i osi z, stycznie do elipsy wektora falowego

OŚRODEK JEDNOOSIOWY, UJEMNY Powierzchnie wektora falowego dla rozwiązania zwyczajnego (okrąg; kula) i nadzwyczajnego (elipsa; elipsoida obrotowa) Przypadki specjalne; k wzdłuż i prostopadłe do osi opt.

Wyjaśnienie dwójłomności: Załóżmy, że wskutek naprężenia zmienia się częstość własna (NIEHARMONICZNOŚĆ). Wówczas:

Rozchodzenie się światła w ośrodkach jednoosiowych

Rozchodzenie się światła w ośrodkach jednoosiowych Polaryzacja prostopadła: bez załamania (zgodnie z prawem Snelliusa)

Rozchodzenie się światła w ośrodkach jednoosiowych Polaryzacja prostopadła: bez załamania (zgodnie z prawem Snelliusa) Polaryzacja równoległa: przesunięcie równoległe

PŁYTKI FALOWE Powierzchnia kryształu zawiera oś optyczną (z). Wektor falowy fali padającej prostopadły do osi optycznej.

PŁYTKI FALOWE Powierzchnia kryształu zawiera oś optyczną (z). Wektor falowy fali padającej prostopadły do osi optycznej. Dwa dozwolone rozwiązania: zw.

PŁYTKI FALOWE Powierzchnia kryształu zawiera oś optyczną (z). Wektor falowy fali padającej prostopadły do osi optycznej. Dwa dozwolone rozwiązania: zw. nadzw.

Dla polaryzacji liniowej, 45° do osi optycznej mamy, na wejściu do płytki falowej:

Dla polaryzacji liniowej, 45° do osi optycznej mamy, na wejściu do płytki falowej: gdyż:

Po przejściu przez płytkę: Dla polaryzacji liniowej, 45° do osi optycznej mamy, na wejściu do płytki falowej: gdyż: Po przejściu przez płytkę: gdzie:

Dla ośrodka dodatniego jest dodatnie, oś z jest wolną a oś prostopadła będzie osią szybką

Dla ośrodka dodatniego jest dodatnie, oś z jest wolną a oś prostopadła będzie osią szybką Gdy: mamy ćwierćfalówkę Amplituda wyniesie: i mamy polaryzację kołową (jednakowe amplitudy b i c)

Dla ośrodka dodatniego jest dodatnie, oś z jest wolną a oś prostopadła będzie osią szybką Gdy: mamy ćwierćfalówkę Amplituda wyniesie: i mamy polaryzację kołową (jednakowe amplitudy b i c) Działanie ćwierćfalówki, zmiana polaryzacji dla różnych przypadków, liniowa na eliptyczną lub kołową, kołowa na liniową, eliptyczna na eliptyczną lub liniową

DICHROIZM, polaryzatory Dichroizm, różna absorpcja dla różnych polaryzacji w krysztale

DICHROIZM, polaryzatory Dichroizm, różna absorpcja dla różnych polaryzacji w krysztale Prawo Malusa: eliminacja jednej składowej, natężenie (Poynting)

DICHROIZM, polaryzatory Dichroizm, różna absorpcja dla różnych polaryzacji w krysztale Prawo Malusa: eliminacja jednej składowej, natężenie (Poynting) Skrzyżowane polaryzatory, trzeci polaryzator, dyskusja

DICHROIZM, polaryzatory Dichroizm, różna absorpcja dla różnych polaryzacji w krysztale Prawo Malusa: eliminacja jednej składowej, natężenie (Poynting) Skrzyżowane polaryzatory, trzeci polaryzator, dyskusja Polaryzator i ćwierćfalówka, określanie stanu polaryzacji

Wektor Jonesa i rachunek Jonesa

Wektor Jonesa i rachunek Jonesa Wektor Jonesa dla różnych polaryzacji:

Wektor Jonesa i rachunek Jonesa Wektor Jonesa dla różnych polaryzacji: Normowanie, dzielimy przez:

Po przejściu przez dowolny element optyczny:

Po przejściu przez dowolny element optyczny:

Po przejściu przez dowolny element optyczny: Macierz Jonesa elementu optycznego:

Po przejściu przez dowolny element optyczny: Macierz Jonesa elementu optycznego: Macierz Jonesa ćwierćfalówki:

Po przejściu przez dowolny element optyczny: Macierz Jonesa elementu optycznego: Macierz Jonesa ćwierćfalówki: Macierz Jonesa polaryzatora, kąt α z osią z:

PODSUMOWANIE W ośrodku anizotropowym polaryzacja P ośrodka, stała dielektryczna (przenikalność elektryczna) zależą od kierunku zewnętrznego pola elektrycznego; współczynnik załamania także będzie zależał od kierunku drgań wektora natężenia pola elektrycznego. Dla monochromatycznej płaskiej fali em rozchodzącej się w ośrodku jednoosiowym istnieją dwa rozwiązania; zwyczajne (współczynnik załamania nie zależy od kierunku wektora k) i nadzwyczajne (współczynnik załamania zależy od kierunku wektora k)

współczynnik załamania dla rozwiązania zwyczajnego: PODSUMOWANIE współczynnik załamania dla rozwiązania zwyczajnego: współczynnik załamania dla rozwiązania nadzwyczajnego zależy od kierunku (indykatrysa), i zawarty jest pomiędzy:

dla wektora falowego skierowanego prostopadle do osi optycznej PODSUMOWANIE różnica współczynników załamania dla rozwiązania zwyczajnego i nadzwyczajnego przyjmuje wartość maksymalną: dla wektora falowego skierowanego prostopadle do osi optycznej promień zw i nadzw rozdzielają się przestrzennie gdy wektor falowy k fali padającej na kryształ tworzy kąt z osią optyczną (inny niż 0 i 90°)

PODSUMOWANIE kierunek polaryzacji wektora E dla rozwiązania zwyczajnego to kierunek prostopadły do osi optycznej (z) i wektora k kierunek polaryzacji dla rozwiązania nadzwyczajnego leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez oś optyczną i wektor k (stycznie do elipsy wektora falowego)

PODSUMOWANIE Ćwierćfalówka to element optyczny wykonany z kryształu jednoosiowego z osią optyczną w płaszczyźnie wejściowej. Ćwierćfalówka wprowadza różnicę faz równą 90° pomiędzy dwoma nierozdzielonymi przestrzennie składowymi (o ortogonalnych polaryzacjach)

PODSUMOWANIE Dwuwymiarowy wektor Jonesa składa się z unormowanych amplitud składowych pola elektrycznego całkowicie spolaryzowanej płaskiej fali em. Elementom układu optycznego przypisujemy macierze Jonesa o dwóch wierszach i dwóch kolumnach.