WYKŁAD 9 ODBICIE I ZAŁAMANIE ŚWIATŁA NA GRANICY DWÓCH OŚRODKÓW

PLAN WYKŁADU Rozwiązania równań Maxwella na granicy dwóch ośrodków; warunki graniczne Fala padająca, odbita i załamana Prawo odbicia i prawo Snella Wzory Fresnela, padanie i odbicie normalne Inne wyprowadzenie wzorów Fresnela Kąt Brewstera i całkowite wewnętrzne odbicie PODSUMOWANIE

Rozwiązania Maxwella w obu ośrodkach:

Rozwiązania Maxwella w obu ośrodkach:

Rozwiązania Maxwella w obu ośrodkach: Jak „połączyć” rozwiązania w obu ośrodkach?

Rozwiązania Maxwella w obu ośrodkach: Jak „połączyć” rozwiązania w obu ośrodkach? Wykorzystamy równania Maxwella w postaci całkowej dla ustalenia tzw. warunków brzegowych

Twierdzenie Gaussa

Twierdzenie Gaussa Twierdzenie Stokesa

pomijamy całkę po powierzchni bocznej

Otrzymujemy: pomijamy całkę po powierzchni bocznej skok pola E a gęstość powierzchniowa wyindu- kowanego ładunku

Z drugiego równania Maxwella:

Z drugiego równania Maxwella:

Otrzymujemy: Z drugiego równania Maxwella: pomijamy całkę liniową po krawędziach bocznych i powierzchniową pochodnej B po t (mała powierzchnia) Otrzymujemy:

Z trzeciego równania Maxwella: otrzymamy: (brak namagnesowania)

Z trzeciego równania Maxwella: otrzymamy: (brak namagnesowania) a z czwartego równania Maxwella:

Z trzeciego równania Maxwella: otrzymamy: (brak namagnesowania) a z czwartego równania Maxwella: po wybraniu odpowiedniej pętli dla całki liniowej, pominięciu krawędzi bocznych i zaniedbaniu całki powierzchniowej z pochodnej E po t (mała powierzchnia): czyli:

Warunki brzegowe dla pól elektrycznych i magnetycznych na powierzchni pomiędzy dwoma ośrodkami 1 i 2: s składowa styczna, t składowa prostopadła do powierzchni pomiędzy dwoma ośrodkami 1 i 2

Fala padająca, odbita i załamana na granicy dwóch ośrodków Dopuszczamy dwie fale w ośrodku 1 i jedną w ośrodku 2. Wektory falowe mają składowe x i z. Przyjmujemy, że pole E ma tylko składową y (polaryzacja prostopadła do płaszczyzny padania)

Fala padająca: Fala odbita: Fala załamana: Dla pól B:

Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków:

Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków: Znaki plus wynikają z założenia, że po odbiciu i załamaniu kierunek pola E nie zmienia się.

warunek ten prowadzi się do równania: Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków: Znaki plus wynikają z założenia, że po odbiciu i załamaniu kierunek pola E nie zmienia się. Dla: warunek ten prowadzi się do równania:

warunek ten prowadzi się do równania: Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków: Znaki plus wynikają z założenia, że po odbiciu i załamaniu kierunek pola E nie zmienia się. Dla: warunek ten prowadzi się do równania:

warunek ten prowadzi się do równania: wyłączając exp(-iωt) otrzymamy: Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków: Znaki plus wynikają z założenia, że po odbiciu i załamaniu kierunek pola E nie zmienia się. Dla: warunek ten prowadzi się do równania: wyłączając exp(-iωt) otrzymamy:

warunek ten prowadzi się do równania: wyłączając exp(-iωt) otrzymamy: Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków: Znaki plus wynikają z założenia, że po odbiciu i załamaniu kierunek pola E nie zmienia się. Dla: warunek ten prowadzi się do równania: wyłączając exp(-iωt) otrzymamy:

warunek ten prowadzi się do równania: wyłączając exp(-iωt) otrzymamy: Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków: Znaki plus wynikają z założenia, że po odbiciu i załamaniu kierunek pola E nie zmienia się. Dla: warunek ten prowadzi się do równania: wyłączając exp(-iωt) otrzymamy: Muszą być równe okresy oscylacji, a więc:

Z równości składowych x wektorów k mamy:

Z równości składowych x wektorów k mamy: Ponieważ: mamy:

Z równości składowych x wektorów k mamy: Ponieważ: mamy: czyli:

Z równości składowych x wektorów k mamy: Ponieważ: mamy: czyli: a ponieważ: mamy także:

Pierwsze rozwiązanie nie ma sensu, drugie daje prawo odbicia Z równości składowych x wektorów k mamy: Ponieważ: mamy: czyli: a ponieważ: mamy także: czyli: lub: Pierwsze rozwiązanie nie ma sensu, drugie daje prawo odbicia

Zajmiemy się teraz falami padającą i załamaną.

Zajmiemy się teraz falami padającą i załamaną. Ponieważ: więc:

Zajmiemy się teraz falami padającą i załamaną. Ponieważ: więc: Mamy także:

Zajmiemy się teraz falami padającą i załamaną. Ponieważ: więc: Mamy także: Otrzymujemy: bo: PRAWO SNELLA

potrzebujemy drugiego równania Wzory Fresnela (amplitudy fal odbitych i załamanych w zależności od kąta padania) potrzebujemy drugiego równania

potrzebujemy drugiego równania Wzory Fresnela (amplitudy fal odbitych i załamanych w zależności od kąta padania) potrzebujemy drugiego równania Wykorzystamy:

potrzebujemy drugiego równania Wzory Fresnela (amplitudy fal odbitych i załamanych w zależności od kąta padania) potrzebujemy drugiego równania Wykorzystamy: Ponieważ: i

potrzebujemy drugiego równania Wzory Fresnela (amplitudy fal odbitych i załamanych w zależności od kąta padania) potrzebujemy drugiego równania Wykorzystamy: Ponieważ: i mamy:

Podstawiając odpowiednie wyrażenia na fale:

Podstawiając odpowiednie wyrażenia na fale: co, dla daje: po wykorzystaniu równości składowych x wektorów k

wykorzystując : Z: mamy:

co daje następujący układ równań: wykorzystując : Z: mamy: co daje następujący układ równań:

co daje następujący układ równań: wykorzystując : Z: mamy: co daje następujący układ równań: skąd, po odpowiednich manipulacjach otrzymamy:

Rozwiązania dla amplitud będą następujące:

PADANIE NORMALNE:

PADANIE NORMALNE:

PADANIE NORMALNE: a więc:

Rozwiązania dla amplitud, przypadek ogólny:

Rozwiązania dla amplitud, przypadek ogólny: Ponieważ: oraz:

Rozwiązania dla amplitud, przypadek ogólny: Ponieważ: oraz: a więc:

Wykorzystamy prawo Snella:

Wykorzystamy prawo Snella: by dla rozpatrywanej polaryzacji dostać:

Wykorzystamy prawo Snella: by dla rozpatrywanej polaryzacji dostać: Jak będzie dla drugiej polaryzacji? zmodyfikowane wyprowadzenie dla obu polaryzacji

potrzebujemy drugiego równania Ze względu na wybór polaryzacji: Wzory Fresnela (amplitudy fal odbitych i załamanych w zależności od kąta padania) potrzebujemy drugiego równania Wykorzystamy: Ponieważ: więc: Ze względu na wybór polaryzacji: E = Ey, B = (Bx,Bz)

wykorzystując: otrzymamy:

amplitudowy współczynnik odbicia amplitudowy współczynnik transmisji ponieważ: mamy:

Dla α → 0 także γ → 0, padanie normalne

Dla α → 90° γ → γ90 < 90°

Polaryzacja równoległa do płaszczyzny padania Ciągłość składowej stycznej pola B i E: daje:

Podstawiając do pierwszego równania najpierw: otrzymamy:

Co daje następujące wzory na stosunki amplitud odpowiednich fal: Wykorzystanie prawa Snella: pozwala wyeliminować współczynniki załamania:

ZMIANA ZNAKU!!! Po „drodze” musi być zero! SKOKOWA ZMIANA FAZY!!! Dla α → 90° dla polaryzacji ┴ mieliśmy: Dla α → 90° dla polaryzacji || mamy: ZMIANA ZNAKU!!! Po „drodze” musi być zero! Ale dla α → 0° dla polaryzacji || mamy: SKOKOWA ZMIANA FAZY!!!

WZORY FRESNELA: dla kąt Brewstera Fala odbita jest spolaryzowana liniowo, prostopadle do płaszczyzny padania

CAŁKOWITE WEWNĘTRZNE ODBICIE Co się dzieje, gdy: I gdy kąt padania α jest większy od wartości krytycznej określonej wzorem: ???

CAŁKOWITE WEWNĘTRZNE ODBICIE Co się dzieje, gdy: I gdy kąt padania α jest większy od wartości krytycznej określonej wzorem: ???

Gdy kąt padania α jest większy od wartości krytycznej jest liczbą urojoną

Gdy kąt padania α jest większy od wartości krytycznej jest liczbą urojoną Rozwiązanie przyjmie postać: gdzie:

otrzymujemy prawo odbicia i prawo Snella PODSUMOWANIE Ciągłość składowej stycznej pola elektrycznego narzuca równość składowych stycznych wektorów falowych fali padającej, odbitej i załamanej: oraz prowadzi do równania wiążącego amplitudy tych trzech fal dla polaryzacji prostopadłej: ze związków: otrzymujemy prawo odbicia i prawo Snella

dla padania normalnego (dla obu polaryzacji jednakowo): PODSUMOWANIE dla padania normalnego (dla obu polaryzacji jednakowo): i

współczynniki odbicia przyjmują wartości: PODSUMOWANIE Dla dowolnego kąta padania (pomiędzy 0° i 90°) amplitudy fal odbitej i załamanej dla dwóch polaryzacji przyjmują wartości: współczynniki odbicia przyjmują wartości:

PODSUMOWANIE dla kąta BREWSTERA α: współczynnik odbicia dla polaryzacji równoległej: i fala odbita jest spolaryzowana liniowo Jeśli dla fali padającej od strony ośrodka gęstszego, kąt padania jest większy od kąta granicznego: to fala załamana będzie silnie tłumiona a natężenie fali odbitej będzie równe natężeniu fali padającej CAŁKOWITE WEWNĘTRZNE ODBICIE