Układy równań 23x - 31 y = 1 x – y = - 8 x = -1 y - x = 1 x + y = 11 x + 5(x+y) – y =11(x – y) y(3-1) = 5x -2y 2x + y = 12 x – y = - 4

Dwa równania: x + 2y = 10 i x – y = 1 zapisujemy tak: Zwróć uwagę, że klamra zastępuje spójnik „i”. Równania te tworzą układ równań I stopnia z dwiema niewidomymi. Rozwiązać taki układ równań, tzn. znaleźć taką parę liczb x i y, która spełni jednocześnie oba równania Układy równań rozwiązujemy algebraicznie i graficznie. Algebraicznie rozwiązujemy najczęściej dwiema metodami: Podstawiania Przeciwnych współczynników

Metoda Podstawiania x + 2y = 10 Wyznaczam x z pierwszego równania, Przykład 1 Rozwiąż układ równań metodą podstawiania. x + 2y = 10 Wyznaczam x z pierwszego równania, x – y = 1 drugie przepisuję. x = 10 – 2y Do drugiego równania w miejsce x podstawiam 10 – 2y, x – y = 1 pierwsze równanie przepisuję. x = 10 – 2y Pierwsze równanie przepisuję. 10 – 2y – y = 1 Zwróć uwagę, że w drugim równaniu występuje tylko jedna niewiadoma y. Rozwiązuje to równanie. x = 10 – 2y Pierwsze równanie przepisuję do momentu obliczenia y. 10 – 3y = 1 10 przenoszę ze zmienionym znakiem na prawą stronę. x = 10 – 2y -3y = 1 - 10

x = 10 – 2y Obie strony dzielę przez (-3). -3y = -9 x = 10 – 2y Obliczyłem niewiadomą y. Teraz do pierwszego równania y = 3 wstawiam w miejsce y liczbę 3. x = 10 – 2 * 3 y = 3 x = 10 – 6 y = 3 x = 4 Para liczb x = 4 i y = 3 jest rozwiązaniem tego układu y = 3 równań. Parę liczb zapisujemy tak (4,3). Uwaga na kolejność, zawsze pierwsza liczba to x, druga to y. Nigdy odwrotnie.

Sprawdzenie: x + 2y = 10 Do obu równań podstawiam w miejsce x liczbę 4, x – y = 1 w miejsce y liczbę 3. Sprawdzam, czy w obu równaniach lewa strona = prawej. 4 + 2 * 3 = 10 4 – 3 = 1 4 + 6 = 10 4 – 3 = 1 10 = 10 Obie równości są prawdziwe. Zatem para 1 = 1 liczb (4,3) spełnia ten układ.

Zadanie 1 Rozwiąż układy równań metodą podstawiania: 3 (x + 1) = 5y - 8 a) 3x+ y = 10 y = 2x c) b) x + 2y = 11 2x – y = 7 e) 2x + 3y = 5(x – 3) 4(x + 5) – 2(y – 3) = 34 Rozwiązanie: Podam Ci w punktach, jak rozwiązuje się układy równań metodą podstawiania: Uporządkuj równania, tzn. wykonaj wskazane działania, zredukuj wyrazy podobne. Z dowolnego równania wyznacz jedną niewiadomą. Tak wyznaczoną niewidomą wstaw do drugiego równania (otrzymasz równanie z jedną niewiadomą). Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą. Obliczoną niewiadomą podstaw do równania wyznaczonego w punkcie 2. Podaj rozwiązanie układu To nie jest takie trudne! Powodzenia!

a) 3x + y = 10 y = 2x Równania układu są już przedstawione w najprostszej postaci. Zwróć uwagę, że drugie równanie jest gotowe do podstawienia, wyznaczona jest już niewiadoma y. A zatem do I równia w miejsce y podstawiam 2x. 3x + 2x = 10 y = 2x Otrzymane równanie z 1 niewiadomą rozwiązuje. II równanie przepisuje do momentu obliczenia x. 5x = 10 / : 5 y = 2x x = 2 y = 2 * 2 Obliczoną niewiadomą x podstawiam do drugiego równania. x = 2 y = 4 Odp.: Rozwiązaniem układu jest para liczb x = 2 i y = 4.

b) x + 2y = 11 Z I równania wyznaczam x. 2x – y = 7 x = 11 – 2y Podstawiam do II równania w miejsce x wyrażenie 11 – 2y. x = 11 – 2y 2(11 – 2y) – y = 7 Rozwiązuję otrzymane równanie z I niewiadomą. x = 11 – 2y 22 – 4y – y = 7 x = 11 – 2y -5y = 7 - 22 x = 11 – 2y -5y = - 15 / : (-5)

x = 5 x = 11 – 2y Do równania I podstawiam w miejsce y liczbę 3. y = 3 Odp.: Para liczb (5,3) spełnia ten układ równań.

c) / * 6 / * 6 Oba równania mnożę przez wspólny mianownik ułamków. Pozbywam się w ten sposób mianowników. 3x – 2y = 6 3x + 4y = 24 Z I równania wyznaczam y (3x przenoszę ze zmienionym znakiem na prawą stronę). -2y = 6 – 3x / : (-2) 3x + 4y = 24 3x + 4y = 24 Do drugiego równania podstawiam w miejsce y wyrażenie: Rozwiązuje to równanie.

Obliczyłem niewiadomą x. Teraz do równania I w miejsce x wstawiam 4 Obliczyłem niewiadomą x. Teraz do równania I w miejsce x wstawiam 4. Obliczam y. y = -3 + 6 x = 4 y = 3 x = 4 Odp.: Rozwiązaniem tego układu jest para liczb (4,3).

d) 3 (x + 1) = 5y - 8 Równanie doprowadzam do najprostszej postaci, wykonując wskazane działania. 3 x + 3 = 5y - 8 Niewiadome przenoszę na lewą stronę, liczby na prawą. Uważaj! Minus przed kreską ułamkową. Opuszczam nawias, zmieniając znaki w nawiasie na przeciwne (bo „ –” przed nawiasem). 3x – 5y = -8 – 3 4x – (3 + y) = -12 3 x – 5y = -11 4x – 3 – y = -12 / +3 3 x – 5y = -11 4x – y = -9 Najwygodniej jest z II równania wyznaczyć y. 3 x – 5y = -11 -y = -9 – 4x / * (-1) 3 x – 5y = -11 y = 9 + 4x Tak wyznaczony y podstawiam do I równania.

3 x – 5 (9 + 4x) = -11 y = 9 + 4x Rozwiązuje to równanie. 3 x – 45 – 20x = -11 y = 9 + 4x -17x = -11 + 45 y = 9 + 4x -17x = 34 / : (-17) y = 9 + 4x x = -2 y = 9 + 4x Obliczyłem x. Do II równania w miejsce x wstawiam (-2) i obliczam y. x = -2 y = 9 + 4 * (-2) x = -2 y = 9 - 8 Odp.: Rozwiązaniem układu jest para liczb x = -2 i y = 1. x = -2 y = 1

e) 2x + 3y = 5(x – 3) 4(x + 5) – 2(y – 3) = 34 Każde z równań doprowadzam do najprostszej postaci, wykonując wskazane działania. 2x + 3y = 5x -15 4x + 20 – 2y + 6 = 34 2x + 3y – 5x = -15 4x – 2y = 34 – 20 – 6 -3x + 3y = -15 / : 3 4x – 2y = 8 / : 2 Zwróć uwagę, że współczynniki liczbowe w I równaniu dzielą się przez 3, a w II równaniu przez 2. Uproszczę w ten sposób rachunki. -x + y = -5 2x – y = 4 Mam już układ równań w najprostszej postaci. Dalej postępuję tak, jak w poprzednich przykładach. y = -5 + x 2x – y = 4 y = -5 + x 2x – (-5 + x) = 4

y = -5 + x 2x + 5 - x = 4 y = -5 + x x = 4 - 5 y = -5 + x x = -1 y = -5 – 1 x = -1 y = -6 x = -1 x = -1 y = -6 Odp.: Rozwiązaniem tego układu jest para liczb (-1, -6).

Copyright by Mateusz Albingier