Estymacja przedziałowa i korzystanie z tablic rozkładów statystycznych Cwiczenia 6 Estymacja przedziałowa i korzystanie z tablic rozkładów statystycznych

Przykład. Badania naukowe dowodzą, że rozkład wzrostu ludzi jest rozkładem normalnym o odchyleniu standardowym 20 cm. Badania poborowych z pewnej miejscowości (1000 osób) przyniosły wartość średniej wzrostu w tej grupie wynoszącą 176 cm. Zakładając, że obserwowany rozkład odzwierciedla własności rozkładu normalnego w całej populacji, oblicz 90 i 99 procentowy przedział ufności dla oszacowanej średniej. Wskazówka: Szukamy przedziału ufności 90 %i 99% dla średniej, w sytuacji gdy wiadomo: Rozkład normalny -Znana jest wartość odchylenia standardowego w badanej populacji - Średnia została określona z próby statystycznej Zastosuj wzór na przedział ufności dla wartości średniej w sytuacji gdy znane jest odchylenie standardowe rozkładu normalnego u wyznacza się z P{ |U| u}=   P{ –u<U< u}= 1– korzystając z tablic dystrybuanty N(0,1)

Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego F(u)= P{ U  u } , dla u<0 obliczaj używając F(u) =1 - F(-u) u=1.6+0.045 u=2.5+0.07 P0.95 P0.995

P{U>u}= /2 można obliczyć z dystrybuanty: F(u) = 1– /2 U = (X-m)/ . P{U>u}= /2 można obliczyć z dystrybuanty: F(u) = 1– /2 P{U<–u}= /2 P{U>u}= /2 P{|U| u}= 1– –u u

174.37<Xsr< 177.63 – przedział ufności 99% Rozwiązanie: Nie jest znana wartość średnia rozkładu, z którego pobrano próbkę (poborowi), lecz tylko odchylenie standardowe. Korzystamy zatem ze wzoru: Wyrażenie: Interesuje nas 90% przedział ufności, czyli 0.9=1- , skąd =0.1 i /2=0.05 Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego mamy dla F(u) = 1–/2=1- 0.05=0.95 odczytujemy u0.1 = 1.645 skąd 174.96<Xsr< 177.04 – przedział ufności 90% Dla przedziału 99%, 0.99=1- , skąd =0.01 oraz /2=0.005 Z tablic dystrybuanty F(u) =1-/2= 1– 0.005=0.995 odczytujemy u0.01 = 2.57 skąd 174.37<Xsr< 177.63 – przedział ufności 99%

Przykład. W przedsiębiorstwie wylosowano 16 osób w celu ustalenia średniej płacy na stanowisku robotniczym (dla stażu pracy 3 lata), a uzyskane wyniki badania statystycznego przedstawia tabela. Ile wynosi 95% przedział ufności średniej płacy na stanowisku robotniczym ze stażem 3-letnim w całym przedsiębiorstwie, jeśli wiadomo, że rozkład płacy jest rozkładem normalnym. Wskazówka: Szukamy przedziału ufności 95% dla średniej, w sytuacji gdy wiadomo: Rozkład normalny -Nie znane są a priori wartości ani odchylenia standardowego ani średniej w badanej populacji - Dysponujemy danymi z pobranej próby do określenia estymat parametrów rozkładu Zastosuj wzór na przedział ufności dla wartości średniej w sytuacji gdy nie znane sa parametry rozkładu, a tylko ich estymaty.

Rozwiązanie: Na początek wyznaczamy średnią z próby (tabela poniżej) Obliczona estymata średniej = 2056 Wyznaczamy również nieobciążona estymatę wariancji która wynosi s2 = 135536, stąd s=368.2 Nieznane są oba parametry rozkładu w populacji generalnej, tedy stosujemy przedział: gdzie t,n-1 wyznacza z tablic wartości krytycznych rozkładu t-Studenta dla n-1 stopni swobody.

Interpretacja graficzna k=n-1 –st. sw. /2 t(,k) /2 –t(,k) Liczbę t,n-1 odczytujemy z tabeli, dla k = n-1=16–1=15, oraz dla =1-0.95=0.05 (dla 95 % przedziału ufności) Obliczamy: 2056-196=1860 ; 2056+196=2252 95% przedział ufności średniej populacji wynosi [1860 ; 2252]

Wartości krytyczne t(a,k) rozkładu Studenta dla określonej liczby stopni swobody k i prawdopodobieństwa a=P{|t|t(a,k)} t (,k) /2 –t (,k)

Przykład. Wykonano pomiar czasu konwertorownia kamienia miedziowego w 144 szarżach. Otrzymano średni czas 4, zaś odchylenie standardowe próby wyniosło s=1.2 . Określ 95% i 90% przedział ufności dla średniego czasu konwertorownia.

Rozwiazanie. Ponieważ nie ma podstaw do założenia o normalności rozkładu, żaden parametr populacji generalnej nie jest znany, lecz tylko ich estymatory, stosujemy przedział ufności postaci (liczba eksperymentów w próbie badanej duża = 144 ) Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego mamy F(u) = 1– 0.05/2=0.975 u0.05=1.96 4-1.96*1.2/12<m< 4+1.96*1.2/12 3.80<m< 4.20 – przedział ufności 95% F(u) = 1– 0.1/2=0.95 u0.1 =1.645 3.84<m< 4.16 – przedział ufności 90%

Przykład. Dla 10 pomiarów wyznaczono wariancję z próby s2=0 Przykład. Dla 10 pomiarów wyznaczono wariancję z próby s2=0.053 Oszacuj 98% przedział ufności. Przedział ufności: Interpretacja geometryczna doboru wartości krytycznych w rozkładzie chi-kwadrat Obliczenia tablicowe 2(/2,k) 1- 2(1-/2,k) /2 Obliczamy /2 = (1-0.98)/2 = 0.01 oraz 1- /2=1-0.01=0.99 k=n-1=10-1=9 stopni swobody.

Odczytujemy z tablic dla 9 stopni swobody Dla /2 = 0.01 2kryt= 21.666 Dla 1- /2=0.99 2kryt= 2.088 Przedział ufności wariancji mamy zatem ((10-1)*0.053/21.666 ; (10-1)*0.053/2.088) = (0.022 ; 0.228)

Przykład. W Krakowie wylosowano 400 osób-palaczy aby w drodze wywiadu ustalić ich wydatki na zakup papierosów. Analiza próbki statystycznej dostarczyła estymator odchylenia standardowego w wysokości 500 zł/rok. Zakładając że rozkład wydatków wśród wszystkich palaczy jest rozkładem normalnym, zbudować 95% przedział ufności błędu standardowego w populacji palaczy.

Rozwiązanie. 1-=0.95 =0.05 1- /2=0.975 Z tabeli dystrybuanty rozkładu normalnego mamy u/2=1.96 Stąd po obliczeniach mamy: 500/(1+1.96/(2*400)1/2)=467.6 500/(1-1.96/(2*400)1/2)= 537.2 Przedział 95% ufności dla błędu standardowego (467.6 ; 537.2).