Ekonofizyka i równanie Blacka - Scholesa Jan Napiórkowski

Plan seminarium - ekonofizyka Część I – ogólnie skąd się wzięła jakie nauki uwzględnia na czym bazuje dokąd prowadzi Część II – przykład opcje na rynku idealnym równanie Blacka – Scholesa portfel bez ryzyka ?

Ekono(mo)fizyka Znaczenie - jedna z najnowszych dziedzin nauki zajmująca się zastosowaniem m.in. wybranych metod fizyki statycznej oraz fizyki ośrodków ciągłych do analizy rynków finansowych. Genealogia: - ekonomia: z greckiego oikos dom i nomos prawo, reguła. Starożytni przez to słowo rozumieli zasady prowadzenia gospodarstwa domowego

Ekonofizyka – co przed nią było? Ekonomia – sposoby działania ludzi w różnych warunkach społeczno-gospodarczych, polegające na rozdziale tych zasobów...(kryzysy) Matematyka finansowa – aparat matematyczny do opisu rynków finansowych teorie nie podparte doświadczeniem, modelami nieudane próby stworzenia globalnej teorii ekonomii

Ekonofizyka – skąd się wzięła? doświadczenie – nie ma sensu poszukiwanie modeli, analogii tworzących uzasadnioną teorię fizyka statystyczna, procesy stochastyczne czy takie analogie są wiarygodne ?

Ekonofizyka – jakie nauki uwzględnia? Ekonomia – socjologia i gospodarka Matematyka finansowa Fizyka – statystyka, procesy stochastyczne ( modele ) Fizyka – sposób analizowania zjawisk

Ekonofizyka – jak uwzględnia nauki? Ekonomia: - agenci różnego rodzaju (akcjonariusze, maklerzy krótkoterminowi, inwestorzy długoterminowi, udziałowcy funduszy inwestycyjnych itd.. – różne formy i czasy charakterystyczne. - różne rodzaje akcji: dla wzrostów kapitałowych, pokaźnych dywidend zasięg i rodzaj oddziaływania między agentami - brak ujawniania wielu danych statystycznych - rynek akcji powiązany z innymi rynkami finansowymi: obligacje, kursy walut, rynek nieruchomości

Ekonofizyka – jak uwzględnia nauki? Socjologia: - człowiek – istota myśląca – twórca giełdy - zjawiska kolektywne (próba tłumaczenia indywidualnym zachowaniem) - zjawiska oparte na współdziałaniu środowiska giełdowego (Internet)

Ekonofizyka – jak uwzględnia nauki? Fizyka statystyczna - model: - giełda tworzy otwarty, niebędący w stanie równowagi układ zawierający różnego rodzaju cząstki i oddziaływania – do tego silnie zmienny w czasie. - przykład: globalny model meteorologiczny – rozkład prędkości wiatru. - ale pogoda to natura, giełda – NIE!

Ekonofizyka – na czym bazuje? rozłożenie zjawiska na czynniki pierwsze – analiza C. Bernard: the idea must lead the observation potem model matematyczny

Ekonofizyka – dokąd prowadzi model – wiele czynników – zmienne niezależne, różne skale czasowe zmienne stochastyczne efekt szumu czy spełniają twierdzenie graniczne?

Dynamiczna wycena opcji na rynku idealnym – model Blacka-Scholesa

Fischer Black 1938 – – PhD Harvard mat. stos – Chicago Graduate School of Business 1973 – The Pricing of Options and Corporate Liabilities => MIT => Goldon Sachs Co.

Myron Scholes 1941 – 1973 – "The Pricing of Options and Corporate Liabilities sektor obrotu pochodnymi instrumentów finansowych Salomon Brothers

Robert Merton 1944 – 1968 – dział finansów MIT 1997 – Nobel ze Scholesem

Wstęp Opcja (70): - opcja jako pochodny instrument finansowy - kontrakt - opcja kupna lub sprzedaży - opcja europejska (T), amerykańska (t) - opcja na akcje, kurs, stopę procentową - K – cena umowna kupna/sprzedaży - Y(t) – wartość akcji zmienna w czasie - C(Y(t),t) – cena opcji na ust. okres T

Wstęp Strategie handlowe: - hedging (redukcja ryzyka strat – opcja sprzedaży) - spekulacja (max ryzyka – max zysku – opcja kupna) - brak arbitrażu (budowanie portfela bez ryzyka) => różne wykorzystanie opcji.

wycena opcji na rynku idealnym o co chodzi? trzeba znaleźć sensowną uczciwą cenę analizowanej opcji C(Y,t) kupno lub sprzedaż po tej cenie nie przyniesie zysku (strat) żeby zyskać trzeba opcje kupić taniej bądź sprzedać drożej niż owa sprawiedliwa cena

wycena opcji na rynku idealnym rynek idealny: - (1) obrót instrumentami finansowymi ciągły w czasie - (2) stała stopa zwrotu - (3) brak kosztów transakcyjnych - (4) nie uzyskuje się dywidend w okresie od t=0 do T - (5) nie istnieje możliwość arbitrażu - (6) Y(t) podlega procesowi stochastycznemu Ito

Proces stochastyczny Ito (6) Y(t) – zmienna losowa => C(Y,t) – funkcja zmiennej losowej (1) Y(t,W) – opisana procesem Ito, spełnia następujące stochastyczne równanie różniczkowe: dY = a(Y,t)dt + b(Y,t)dW w szczególności przyjęto że cena akcji podlega geometrycznym ruchom Browna: a(Y,t) = Y(t) i b(Y,t) = Y(t) otrzymamy: W - proces Wienera ( Gauss ), cena akcji – ruch Browna z dryfem => Zmiany logarytmu ceny podlegają rozkładowi Gaussa

koncepcja portfela pozbawionego ryzyka: - względna liczba udziałów w portfelu inwestora - wartość portfela inwestora szukamy takiej wartości żeby uzyskać portfel pozbawiony ryzyka

koncepcja portfela pozbawionego ryzyka: wartość portfela w przeliczeniu na jedną opcję: = Y + C (3) inwestowanie pozbawione ryzyka wymaga: p = k otrzymujemy: Y p + C p = Y k + C k (4) czyli: = C p – C k / Y k – Y p zatem w granicy małych odstępów czasowych: (Y(t),t) = - ( C(Y(t),t) / Y(t) ) t

koncepcja portfela pozbawionego ryzyka różniczka rozwinięta w szereg Taylora dla procesu Wienera => wyraz liniowy dY(t) znika bo cena nie może maleć ograniczamy się do wyrazów liniowych w czasie dt otrzymujemy infinitezymalną zmianę portfela d :

koncepcja portfela pozbawionego ryzyka przyjmujemy że stopa zwrotu r z portfela jest stała: (2) równa stopie wolnej od ryzyka ( stopa zwrotu rządowych bonów ) i stąd portfel bez ryzyka!! czyli nie istnieje możliwość arbitrażu (5) – dochód jedynie na instrumentach pozbawionych ryzyka. wykorzystując model Ito, rozwinięcie w szereg zmian portfela w dt oraz stałość r otrzymuję:

formuła wyceny opcji BS równanie nie zakłada rodzaju opcji (kupna, sprzedaży) potrzebny warunek początkowy, np. dla opcji kupna: dodatkowo stosując podstawienie: gdzie:

formuła wyceny opcji BS - analogia Równanie różniczkowe cząstkowe BS staje się formalnie równoważne z równaniem przewodnictwa cieplnego:

formuła wyceny opcji BS ostatecznie otrzymujemy: gdzie: N(x) – jest dystrybuantą rozkładu Gaussa o zerowej wartości średniej i jednostkowej wariancji oraz:

wycena opcji – przykład

Podsumowanie - co nam daje model BS? rozwiązanie analityczne – pozwala znaleźć sprawiedliwą cenę opcji europejskiej strategię handlową – strategie konstruowania portfela pozbawionego ryzyka pierwszy uchwycił zasadnicze cechy rzeczywistych rynków finansowych

Podsumowanie - czy jest wiarygodny? założenie – dynamika zmiennej losowej Y(t) jest opisana ruchami Browna – raczej bardzo rzadkie zdarzenia,zmienna dyskretna obrót instrumentami finansowymi ciągły w czasie nie udało się zweryfikować na rzeczywistych rynkach czy istnieje zatem portfel pozbawiony ryzyka...?