Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych 1. Wstęp 2. Oprocentowanie proste - stopa stał 3. Oprocentowanie proste - stopa zmienna 4. Oprocentowanie składane - stopa stała 5. Oprocentowanie składane - stopa zmienna

Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych 1. Wstęp W rozdziale tym zostaną przedstawione modele konsolidacji kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych tzn. kapitałowych i odsetkowych równocześnie. W każdym modelu rozważone zostaną dwa kredyty spłacane w ratach kombinacyjnych.Zatem rozpatrywany będzie model jednorodny typu K i I. Konsolidacja kredytów zostanie przedstawiona w trzech fazach: -wyznaczanie rat kombinacyjnych kredytów przed konsolidacją -wyznaczanie kredytów technicznych -wyznaczanie rat kombinacyjnych kredytu po konsolidacji

Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych 1. Wstęp Problem konsolidacji kredytów spłacanych w ratach kapitałowych można sformułować następująco: -dane są dwa kredyty udzielone w terminach n= 0 oraz n=m, które mają być spłacone w ratach kapitałowych i odsetkowych -kwota pierwszego kredytu P 1 ma być spłacona w N 1 ratach kapitałowych K n 1 oraz odsetkowych I n 1 w terminach n=1,...,N 1 -kwota drugiego kredytu P m 2 ma być spłacona w N 2 ratach kapitałowych K n 2 oraz odsetkowych I n 2 w terminach n=m+1,...,m+N 2 -w terminie n = t, gdzie m<t<min (N 1, m+N 2 ) następuje konsolidacja kredytów -kredyt techniczny P t udzielony w terminie n = t ma być spłacany w N ratach : kapitałowych K n oraz odsetkowych I n w terminach n = t+1,...,t+N

Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych 1. Wstęp Poniżej zostanie został przedstawiony schemat przebiegu konwersji kredytu w ratach całkowitych : P 1 I 1m X t I 1t+1 I 1M1 0 m t t+1 M1 P 2 I2n X2 I 2t+1 I 2M2 K2n K2 t+1 K2 M2 0 1 n t t+1 M2 X t I t+1 IM K t+1 K M t t+1 M Rys.XIII.1 Schemat konsolidacji kredytu spłacanego w ratach kombinacyjnych.

2. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa stała. 1. Kredyty spłacane przed konsolidacją w ratach kombinacyjnych warunkach oprocentowania prostego ze stałą stopą Konsolidacja kredytów w warunkach oprocentowania prostego ze stałą stopą procentową zostanie przeprowadzona w trzech fazach. Rozważając problem wyznaczenia kredytu Rozważając problem wyznaczenia kredytu przed konsolidacją możemy odnieść się do przed konsolidacją możemy odnieść się do Konsolidacji kredytów spłacanych w ratach całkowitych pkt.2 Konsolidacji kredytów spłacanych w ratach całkowitych pkt.2

2. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa stała. Raty kapitałowe drugiego kredytu spełniają analogicznie do pierwszego kredytu, równania salda: K 2 m+1 +,...,+K 2 n +,...,+K 2 m+N 2 = P 2 m (1) Ponadto raty kapitałowe i odsetkowe spełniają zasadę równoważności kapitału: P m 2 *[1+ r 2 * N 2 ] = (K 2 m+1 + I 2 m+1 )*[1+r 2 *(N 2 -1)] (K 2 n + I 2 n )* [1+r 2 *(m+N 2 -n)] K 2 m+N2 + I 2 m+N2 (2) W równaniach (1) i (X III.2) występuje 2*N 2 niewiadomych rat K 2 n oraz I 2 n, dlatego nie można ich wyzanczyć bez dodatkowych założeń

2. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa stała. Załóżmy, że analogicznie jak dla pierwszego kredytu,że raty K 2 n są indeksowane ze stopą j 2 lub waloryzowane K 2.Z kolei raty I 2 są indeksowane ze stopą i 2 lub waloryzowane kwotą I 2.Przy tych założeniach otrzymamy: K 2 n = K 2 m+1 *(1+ j 2 ) n-m-1 I 2 n = I 2 n *(1+i 2 ) n-m-1 (3a) lub K 2 n = K 2 m+1 +(n-m-1 ) * K 2 I 2 n = I 2 n *(n-m-1) * I 2 (3b)

2. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa stała. 2. Wyznaczanie kredytów technicznych Załóżmy, że w terminie t należy przeprowadzić konsolidację kredytów. Termin t powinien spełniać warunek m < t < min(N 1,m+N 2 ) (4) Zatem w terminie t pierwszy i drugi kredyt nie zostały spłacone. Dla przeprowadzenia konsolidacji kredytów dokonuje się najpierw konwersji pierwszego i drugiego kredytu. Konwersja ta polega na wyznaczeniu na termin t kwoty jednorazowej spłaty rat kapitałowych i odsetek, które jeszcze nie zostały spłacone. Taka kwota jednorazowej spłaty nazywana jest kredytem technicznym. W wyniku technicznej operacji do spłaty pozostaje nowy kredyt, który może być udzielony na innych warunkach, np. przy innej liczbie rat lub innej stopie procentowej.

2. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa stała. Oznaczmy przez : X 1 t – pierwszy kredyt techniczny, X 2 t – drugi kredyt techniczny. Wartości kredytów technicznych wyznaczymy dyskontując na termin t nie spłacone raty kapitałowe i odsetki - odpowiednio : pierwszego i drugiego kredytu. Tak więc dla terminów : t, t+1,...,n,...,N otrzymamy : X 1 t = K 1 t + K 1 t+1 / (1+r 1 ) +, , + K 1 n / [1+r 1 *(n-t)] +, , + (K 1 N 1 +I 1 ) / [1+r 1 *(N 1 -t)] (5)

2. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa stała. X 2 t = K 2 t + K 2 t+1 / (1+r 2 ) +, , + K 2 n / [1+r 2 *(n-t)] +, , + (K 2 m+N 2 +I 2 ) / [1+r 2 *(m+N 2 -t)] (6) Po konwersji pierwszego i drugiego kredytu do spłaty w terminie t pozostają dwa kredyty techniczne – lub jeden kredyt techniczny, który jest ich sumą X t = X 1 t + X 2 t (7) Należy zauważyć, że w takiej procedurze odsetki są kapitalizowane, tzn. że z rat kapitałowych i odsetek otrzymujemy kwotę kapitału kredytu technicznego.

2. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa stała. 3. Wyznaczanie rat kredytu skonsolidowanego Raty kredytu technicznego X t wyznaczamy analogicznie jak raty kredytów ( pierwszego i drugiego ) przed konwersją. Załóżmy, że dane są : X t – kwota kredytu, N – liczba rat, s – stopa procentowa, j – stopa indeksacji rat, Należy wyznaczyć : odsetki całkowite I oraz raty kapitałowe K n, płatne w terminach n=t+1,..., t+N. Raty kapitałowe kredytu technicznego spełniają równanie salda K t+1 +,...,+ K n +,...,+ K t+N = X (8) W równaniu (5) występuje N niewiadomych rat K n, dlatego nie można ich wyznaczyć bez dodatkowych założeń

2. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa stała. Zakładając, że raty K n są indeksowane otrzymamy dodatkowe równania K n =K t+1 *(1+j) n-t-1 (9) n=t+2,..., t+N Układ równań : (8) i (9) można rozwiązać analitycznie, analogicznie jak dla kredytów przed konsolidacją Raty odsetkowe I n wyznaczymy z zasady równoważności kapitału w postaci : X t *[1+r*N] = K t+1 *[1+r*(N-1)] +, , + K n *[1+r*(t+N-n)] +, ,+K t+N +I t+N (10)

3. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa zmienną. 1. Kredyty spłacane przed konsolidacją w ratach kombinacyjnych warunkach oprocentowania prostego ze zmienną stopą. Konsolidacja kredytów w warunkach oprocentowania prostego ze zmienną stopą procentową zostanie przeprowadzona w trzech fazach, które zostały wymienione wcześniej. W przypadku zmiennej stopy procentowej zmieniają się formuły wyznaczania czynników oprocentowania i dyskontowania. Zmiany wystąpią również w programie na arkuszu kalkulacyjnym, gdyż czynniki oprocentowania i dyskontowania będą wyznaczane z formuł rekurencyjnych. Formuły takie umożliwiają łatwiejsze programowanie – gdyż zamiast wpisywania do odpowiednich komórek, mogą być kopiowane.

3. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa zmienną. 1. Wyznaczanie rat kredytów przed konsolidacją Rozważając problem wyznaczenia kredytu Rozważając problem wyznaczenia kredytu przed konsolidacją możemy odnieść się do przed konsolidacją możemy odnieść się do Konsolidacji kredytów spłacanych w ratach całkowitych pkt. 3 Konsolidacji kredytów spłacanych w ratach całkowitych pkt. 3

3. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa zmienną Raty kapitałowe drugiego kredytu spełniają analogicznie do pierwszego kredytu, równania salda: Załóżmy, że dla drugiego kredytu dane są : P 2 m – kwota kredytu, N 2 – liczba rat, r2 n – zmienna stopa procentowa, (n=m+1,...,m+N 2 ), i 2 – czynnik indeksacji rat odsetkowych j 2 – czynnik indeksacji rat kapitałowych, I 2- kwota waloryzacji rat odsetkowych K 2 - kwota waloryzacji rat kapitałowych Należy wyznaczyć raty kapitałowe : K 2 n oraz odsetkowe I 2 n płatne w terminach : n=m+1,..., m+N 2.

3. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa zmienną Raty kapitałowe drugiego kredytu spełniają równanie salda. Zatem można je wyznaczyć z układu równań : (1) i (2). Raty odsetkowe I 2 n wyznaczamy z zasady równoważności kapitału w postaci : P 2 m *(1+r 2 m+1 +,...,+r 2 m+N 2 ) = K 2 m+1 + I 2 m+1 )*(1+r 2 m+2 +,...,+r 2 m+N 2 ) (K 2 n + I 2 n )*(1+r 2 n+1 +,...,+r 2 m+N 2 ) K 2 m+N 2 + I 2 m+N2 (13) Ponadto przyjmujemy,że raty odsetkowe są indeksowane lub waloryzowane zgodnie z (3) Zatem otrzymamy układ N 2 równań o N 2 niewiadomych, z którego wyznaczymy wszystkie raty odsetkowe.

3. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa zmienną Raty kombinacyjne można wyznaczyć na arkuszu kalkulacyjnym.Program na arkuszu kalkulacyjnym w tym przypadku wymaga uwzględnienia wspólnego kalendarza ( z kalendarzem pierwszego kredytu).Ponadto dla ułatwienia programowania czynniki oprocentowania rat w równaniu (13) należy przedstawić w postaci formuły rekurencyjnej. Czynniki oprocentowania mają postać: 0 0 = 1+ r 2 1 +,...,+ r 2 N n = 1+ r 2 n+1 +,..., r 2 N N-1 = 1+ r 2 N 2 0 N = 1 (14) Analizują (14) dochodzimy do formuły rekurencyjnej :

3, Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa zmienną 0 N = 1 0 N-1 = 1+ r 2 N = 0 N + r 2 N 0 N-2 = 1+ r 2 N-1 + r 2 N = 0 N-1 + r 2 N n-1 = 0 n + r 2 n (15) 2. Wyznaczanie kredytów technicznych. Załóżmy, że w terminie t należy przeprowadzić konsolidację kredytów. Termin t powinien spełniać warunek (4). Zatem w terminie t pierwszy i drugi kredyt nie zostały jeszcze spłacone.

3. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa zmienną Kredyt techniczny wyznaczymy analogicznie jak w poprzednim punkcie. Tak więc uwzględniając zmienną stopę procentową otrzymamy : X 1 t = K 1 t + I 1 t +(K 1 t+1 + I 1 t+1 )/(1+s 1 t+1 ) +, , + (K 1 n + I 1 n )/(1+s 1 t+1 +,...,+s 1 n ) +, , + (K 1 N 1 +I N 1 ) / (1+s 1 t+1 +,...,+s 1 N 1 ) (16)

3. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa zmienną oraz dal drugiego kredytu: X 2 t = K 2 t + I 2 t +(K 2 t+1 + I 2 t+1 )/(1+s 2 t+1 ) +, , + (K 2 n + I 2 n )/(1+r 2 t+1 +,...,+r 2 n ) +, , + (K 2 m+N 2 +I m+N 2 ) / (1+r 2 t+1 +,...,+r 2 m+N 2 ) (17) Po konwersji pierwszego i drugiego kredytu do spłaty w terminie t pozostają dwa kredyty techniczne – lub jeden kredyt techniczny, który jest ich sumą.

3. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa zmienną Analizując równanie (16) zauważymy, że czynniki dyskontujące mają postać : D t = 1 D t+1 = 1+r 1 t+1 = D t +s 1 t+1 D t+2 = 1+r 1 t+1 +r 1 t+2 = D t+1 +r 1 t D n = D n-1 +r 1 n (18) Zatem (18) jest formułą rekurencyjną pozwalającą wyznaczyć czynniki dyskontujące raty pierwszego kredytu. Formuła rekurencyjna wyrażająca czynniki dyskontujące raty drugiego kredytu jest analogiczna. Można ją otrzymać analizując równanie (17).

3. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa zmienną 3. Wyznaczanie rat kredytu skonsolidowanego. Raty kapitałowe i odsetkowe kredytu technicznego X t wyznaczamy analogicznie jak dla przypadku oprocentowania prostego ze stałą stopą. Załóżmy, że dane są : X t – kwota kredytu, N – liczba rat, rn – zmienna stopa procentowa kredytu skonsolidowanego, i – czynnik indeksacji rat odsetkowych j – czynnik indeksacji rat kapitałowych, I - kwota waloryzacji rat odsetkowych K - kwota waloryzacji rat kapitałowych Należy wyznaczyć raty kapitałowe : K n, oraz odsetkowe I n płatne w terminach n=t+1,..., t+N.

3. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa zmienną Raty kapitałowe kredytu technicznego spełniają równanie salda. Zatem można je wyznaczyć z układu równań : (8) i (9). Raty odsetkowe I n wyznaczamy z zasady równoważności kapitału w postaci : X t (1+r t+1 +,...,+r t+N ) = (K t+1 + I t+1 )*(1+r t+2 +,...,+r t+N )+, , +( K n+ I n )* (1+r n+1 +,...,+r t+N ) +, ,+K t+N +I t+N (19) Równanie (19) można rozwiązać na arkuszu kalkulacyjnym. Modelowanie informatyczne na arkuszu kalkulacyjnym pozwala na zaprogramowanie tego równania z uwzględnieniem rekurencyjnych formuł dla czynników oprocentowania rat K n oraz I n.

3. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania prostego - stopa zmienną Analizując równanie (19) otrzymamy tak jak dla rat kredytów bez konsolidacji: O t+N = 1 O t+N-1 = 1+r t+N = O t-+N +r t+N O n-1 =O n +r n (20) Koszty kredytów krótkoterminowych ze zmienną stopą procentową można wyznaczyć jak w przypadku oprocentowania prostego ze stałą stopą procentową, co zostało pokazane w punkcie 2.4. Koszty te są odsetkami całkowitymi.

4. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa stałą 4. Kredyty spłacane przed konsolidacją w ratach kombinacyjnych warunkach oprocentowania składanego ze stałą stopą. Konsolidacja kredytów w warunkach oprocentowania składanego ze stałą stopą procentową zostanie przedstawiona w trzech fazach. Metodyka konsolidacji będzie analogiczna do przedstawionej wyżej dla oprocentowania prostego. 1. Wyznaczanie rat kredytów przed konsolidacją Rozważając problem wyznaczenia kredytu Rozważając problem wyznaczenia kredytu przed konsolidacją możemy odnieść się do rozdziału przed konsolidacją możemy odnieść się do rozdziału Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych pkt. 4 Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych pkt. 4

4. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa stałą Raty kapitałowe drugiego kredytu spełniają analogicznie do pierwszego kredytu. Należy jednak zwrócić uwagę na inny termin udzielania drugiego kredytu oraz inne terminy spłat rat. Wynika to z przyjęcia wspólnego kalendarza dla wszystkich rozważanych kredytów. Załóżmy, że dla drugiego kredytu dane są : P 2 m – kwota kredytu, N 2 – liczba rat, r2 n – stała stopa procentowa, (n=m+1,...,m+N 2 ), i 2 – czynnik indeksacji rat odsetkowych j 2 – czynnik indeksacji rat kapitałowych, I 2- kwota waloryzacji rat odsetkowych K 2 - kwota waloryzacji rat kapitałowych

4. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa stałą Należy wyznaczyć raty kapitałowe : K 2 n oraz odsetkowe I 2 n płatne w terminach : n=m+1,..., m+N 2. Raty kapitałowe wyznaczamy z równania salda (1) zakładając przy tym, że są one indeksowane lub waloryzowane zgodnie z formułą (3) Raty odsetkowe drugiego kredytu spełniają zasadę równoważności kapitału w postaci: P 2 m *(1+r 2 ) N2 = K 2 m+1 + I 2 m+1 * (1+r 2 ) N (K 2 n + I 2 n )* (1+r 2 ) m+N2-n K 2 m+N 2 +I 2 m+N2 (21) W równaniu tym występuje N 2 niewiadomych rat I 2 n, dlatego nie można ich wyznaczyć bez dodatkowych założeń

4. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa stałą Zakładając, że raty I 2 n są indeksowane lub waloryzowane, otrzymamy dodatkowe równania (3). Z układu równań : (21) i (3) można wyznaczyć wszystkie raty I 2 n. 2. Wyznaczanie kredytów technicznych. Załóżmy, że w terminie t należy przeprowadzić konsolidację kredytów. Termin t powinien spełniać warunek (4). Zatem w terminie t pierwszy i drugi kredyt nie zostały jeszcze spłacone. Dla przeprowadzenia konsolidacji kredytów należy najpierw wyznaczyć kredyty techniczne. Oznaczmy przez : X 1 t – pierwszy kredyt techniczny, X 2 t – drugi kredyt techniczny.

4. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa stałą Wartości kredytów technicznych wyznaczymy dyskontując na termin t nie spłacone raty odsetkowe oraz kapitał - odpowiednio : pierwszego i drugiego kredytu. Tak więc otrzymamy : X 1 t = K 1 t + I 1 t +(K 1 t+1 + I 1 t+1 )/ (1+r 1 ) +, , + (K 1 n + I 1 n )/(1+r 1 ) n-t +, , + (K 1 N 1 + I 1 N 1 ) / (1+r 1 ) N1-t (22)

4. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa stałą oraz X 2 t = K 2 t + I 2 t +(K 2 t+1 + I 2 t+1 )/ (1+r 2 ) +, , + (K 2 n + I 2 n )/(1+r 2 ) n-t +, , + (K 2 m+N 2 + I 2 m+N 2 ) / (1+r 2 ) m+N2-t (23) Po konwersji pierwszego i drugiego kredytu do spłaty w terminie t pozostaje kredyt techniczny, który jest sumą (23) Równania (22) i (23) zostały zapisane w postaci dogodnej do zaprogramowania na arkuszu kalkulacyjnym. Widać, że na arkuszu należy ulokować kolumny : rat, czynników dyskontujących oraz ilorazy składników tych kolumn. Suma składników ostatniej kolumny jest równa odpowiedniemu kredytowi technicznemu.

4. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa stałą 3. Wyznaczanie rat kredytu skonsolidowanego Raty kapitałowe kredytu technicznego P t wyznaczamy analogicznie jak raty kapitałowe kredytów pierwszego i drugiego przed konwersją do kredytu technicznego. Załóżmy, że dane są : X t – kwota kredytu, N – liczba rat, rn – stała stopa procentowa kredytu skonsolidowanego, i – czynnik indeksacji rat odsetkowych j – czynnik indeksacji rat kapitałowych, I - kwota waloryzacji rat odsetkowych K - kwota waloryzacji rat kapitałowych Należy wyznaczyć raty kapitałowe : K n, oraz odsetkowe I n płatne w terminach n=t+1,..., t+N.

4. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa stałą Raty kapitałowe kredytu technicznego wyznaczamy z równania salda zgodnie z (8) i (9) Raty odsetkowe kredytu technicznego spełniają zasadę równoważności kapitału w postaci : X t *(1+r) N = (K t+1 + I t+1 )*(1+r) N-1 +, , + (K n + I n ) *(1+r) t+N-n +, ,+K t+N +I t+N (24) W równaniu (24) występuje N niewiadomych rat I n, dlatego nie można ich wyznaczyć bez dodatkowych założeń.

5. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa zmienna 5. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych warunkach oprocentowania składanego ze zmienną stopą Konsolidacja kredytów w warunkach oprocentowania składanego ze zmienną stopą procentową zostanie przeprowadzona w trzech fazach.Metodyka konsolidacji kredytów spłacanych w ratach kapitałowych i odsetkowych będzie analogiczna jak w modelach przedstawionych wcześniej. Istotne znaczenie ma sposób zapisu czynników oprocentowania i dyskontowania przy zmiennej stopie procentowej.Zapisy tych czynników przy pomocy formuły rekurencyjnej umożliwia łatwe programowanie na arkusz kalkulacyjny.

5. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa zmienna 1. Wyznaczanie kredytów przed konsolidacją. Rozważając problem wyznaczenia kredytu Rozważając problem wyznaczenia kredytu przed konsolidacją możemy odnieść się do przed konsolidacją możemy odnieść się do Konsolidacji kredytów spłacanych w ratach całkowitych pkt. 5 Konsolidacji kredytów spłacanych w ratach całkowitych pkt. 5

5. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa zmienna Załóżmy, że dla drugiego kredytu dane są : P 2 m – kwota kredytu, N 2 – liczba rat, r2 n – zmienna stopa procentowa, (n=m+1,...,m+N 2 ), i 2 – czynnik indeksacji rat odsetkowych j 2 – czynnik indeksacji rat kapitałowych, I 2- kwota waloryzacji rat odsetkowych K 2 - kwota waloryzacji rat kapitałowych Należy wyznaczyć raty kapitałowe : K 2 n oraz odsetkowe I 2 n płatne w terminach : n=m+1,..., m+N 2.

5. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa zmienna Raty kapitałowe wyznaczamy z równania salda (1) zakładając przy tym, że są one indeksowane lub waloryzowane zgodnie z formułą (3) Raty odsetkowe drugiego kredytu spełniają zasadę równoważności kapitału w postaci: P 2 m *(1+r 2 m+1 )*,...,*(1+r 2 m+N 2 )=(K 2 m+1 +I 2 m+1 )*(1+r 2 m+2 )*,...,*(1+r 2 m+N 2 ) (K 2 n + I 2 n )*(1+r 2 n+1 )*,...,*(1+r 2 m+N 2 ) K 2 m+N 2 + I 2 m+N 2 (26) W równaniu tym występuje N 2 niewiadomych rat I 2 n, dlatego nie można ich wyznaczyć bez dodatkowych założeń

5. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa zmienna Celem wyznaczenia rat I 2 n można wprowadzić ich indeksację, według formuły (3 ). Otrzymamy w ten sposób układ N 2 równań, z których można wyznaczyć wszystkie raty I 2 n. Wyznaczając raty I 1 n na arkuszu kalkulacyjnym trzeba odpowiednio zaprogramować czynniki oprocentowania. Jeśli czynnik oprocentowania jest wyrażony poprzez formułę rekurencyjną to na arkuszu kalkulacyjnym można otrzymać wszystkie czynniki w wyniku kopiowania odpowiedniej formuły. Z równania (26) widać, że czynniki oprocentowania mają postać : O 0 = (1+r 2 2 )*,...,*(1+r 2 N 2 ) O n = (1+r 2 n+1 )*,...,*(1+r 2 N 2 ) O N-1 = 1+r 2 N O N = 1 (27)

Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa zmienna Analizując (37) dochodzimy do formuły rekurencyjnej : O N = 1 O N-1 = 1*(1+r 2 N ) = O N *(1+r 2 N ) O N-2 = (1+r 2 N-1 )*(1+r 2 N )= O N-1 *(1+r 2 N-1 ) O n-1 = O n *(1+ r 2 n ) (28) Formuła rekurencyjna (28) umożliwia łatwe zaprogramowanie równania (26) i wyznaczenie rat I 2 n indeksowanych poprzez (3). W tym celu należy dla terminu N wpisać do arkusza czynnik O N = 1, a następnie dla terminu N-1 wpisać formułę rekurencyjną dla O N-1. Skopiowanie tej formuły dla pozostałych terminów pozwoli otrzymać wartości pozostałych czynników oprocentowania.

5. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa zmienna XIII. 5.2 Wyznaczanie kredytów technicznych. Załóżmy, że w terminie t należy przeprowadzić konsolidację kredytów. Termin t powinien spełniać warunek (4). Zatem w terminie t pierwszy i drugi kredyt nie zostały spłacone całkowicie. Kredyt techniczny wyznaczymy analogicznie jak w poprzednim punkcie. Tak więc uwzględniając zmienną stopę procentową otrzymamy : X 1 t = K 1 t + I 1 t (K 1 t+1 + I 1 t+1 )/(1+r 1 t+1 ) +, , +( K 1 n + I 1 n )/ [(1+r 1 t+1 )*,...,*(1+r 1 n )] +, , + (K 1 N 1 +I 1 N 1 )/ [(1+r 1 t+1 )*,...,*(1+r 1 t+N 1 )] (29)

Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa zmienna Analizując równanie (29) zauważymy, że czynniki dyskontujące mają postać : D t = 1 D t+1 = 1*(1+r 1 t+1 ) = D t *(1+r 1 t+1 ) D t+2 = (1+r 1 t+1 )*(1+r 1 t+2 )= D t+1 *(1+r 1 t+2 ) D n = D n-1 *(1+r 1 n ) (31) Zatem (31) jest formułą rekurencyjną pozwalającą wyznaczyć czynniki dyskontujące raty pierwszego kredytu. Formuła rekurencyjna wyrażająca czynniki dyskontujące raty drugiego kredytu jest analogiczna. Można ją otrzymać analizując równanie (30).

5. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa zmienna XIII. 5.3 Wyznaczanie rat kredytu skonsolidowanego Raty kredytu technicznego X t wyznaczamy analogicznie jak w przypadku oprocentowania składanego ze stałą stopą. Załóżmy, że dane są : X t – kwota kredytu, N – liczba rat, r rn – zamienna stopa procentowa kredytu skonsolidowanego, i – czynnik indeksacji rat odsetkowych j – czynnik indeksacji rat kapitałowych, I - kwota waloryzacji rat odsetkowych K - kwota waloryzacji rat kapitałowych Należy wyznaczyć raty kapitałowe : K n, oraz odsetkowe I n płatne w terminach n=t+1,..., t+N

5. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa zmienna Raty kapitałowe wyznaczamy z równania salda zgodnie z (8) i (9). Raty odsetkowe kredytu technicznego spełniają zasadę równoważności kapitału w postaci : X t (1+r t+1 )*,...,*(1+r t+N ) = (K t+1 + I t+1 )*(1+r t+1 )*,...,*(1+r t+N )+, , + (K n + I n )*(1+r n+1 )*,...,*(1+r t+N ) +, ,+K t+N +I t+N (32) W równaniu (32) występuje N niewiadomych rat I n, dlatego nie można ich wyznaczyć bez dodatkowych założeń. Zakładając, że raty I n są indeksowane otrzymamy dodatkowe N-1 równań, z których wyznaczymy wszystkie raty.

5. Konsolidacja kredytów spłacanych w ratach kombinacyjnych - model oprocentowania składanego - stopa zmienna Analizując równanie (32) otrzymamy tak jak dla rat kredytów bez konsolidacji : O t+N = 1 O t+N-1 = 1*(1+r t+N )= O t-+N *(1+r t+N ) O n-1 = O n *(1+ r n ) (33) Formuły wyznaczania pozostałych czynników oprocentowania – przy zmiennej stopie procentowej są- analogiczne do tych które zostały wyprowadzone wcześniej. Różnice wynikają jedynie z innych terminów rat we wspólnym kalendarzu.