Propagacja dowolnych fal w przestrzeni Zjawiska dyfrakcji Propagacja dowolnych fal w przestrzeni W przestrzeni mogą się znajdować różne elementy siatki dyfrakcyjne układy optyczne przysłony filtry i inne Analizy dyfrakcyjne należą do najważniejszych i najtrudniejszych problemów optyki, a więc i fotoniki

Zjawiska dyfrakcji D Zasada Huygensa-Fresnela D – diafragma półpłaszczyzna D ’  granica cienia cień światło granica cienia Fala płaska z czołami fal  i ’ PC P Q1 Q2 Q3 ’ Z punktów Q czoła ’ wychodzą wtórne fale sferyczne interferujące w różnych punktach P płaszczyzny ’ W obszarze światła mamy oscylacje intensywności w obszarze cienia - asymptotyczny spadek jej wartości

’ – sferyczne czoło fali dla układu bezaberracyjnego Obraz punktu poglądowe wyjaśnienie f’ ’  D Układ o ogniskowej f’ z diafragmą D  - czoło fali generowanej przez nieskończenie odległy punkt Q1 Q2 ’ ’ – sferyczne czoło fali dla układu bezaberracyjnego P0 P1 Z punktów Q do punktu P0 docierają wtórne fale w fazie maksimum intensywności Dla punktów P różnych od P0 powstają różnice faz – spadek intensywności Obraz punktu w postaci plamki dyfrakcyjnej

Przesunięcie fazowe fali w przestrzeni rozważania jednowymiarowe Def.: czoło fali - powierzchnia stałej fazy Czoło fali  x x  Czoło fali ’ propagacja Rozkład pola na czole const Rozkład pola na czole

Obraz punktu wynik analityczny dla jednego wymiaru ax  ’ f’ ax  Q  Na czole  dany rozkład amplitud VQ(x) W P0 środku krzywizny czoła  wynik sumowania po punktach Q P p x ux W punkcie P sumujemy rozkłady z powierzchni p Ale więc  Całkowanie w miejsce sumy

Formalnie można całkować w obszarze nieograniczonym Przysłona prostokątna P0 ’ f’ ax x  20x u0x rozkład pola w obrazie punktu Formalnie można całkować w obszarze nieograniczonym Rozkład pola w obrazie punktu jest transformatą Fouriera rozkładu pola za układem Pierwsze zero intensywności w płaszczyźnie obrazu a0x a0x Rozkład intensywności

Funkcje sinc i sinc2 x  - 2 -2 zerowe miejsca 1 x  2 - -2 1

Obraz punktu diafragma prostokątna cd ax IP(ax,0) IP0 x y f’ ay P0 20x 20y u0y u0x Obraz punktu diafragma prostokątna cd f’

Obraz punktu diafragma kołowa x Bs(x) 1 3.83.. 7.02.. a f’ u0 20  P Pierwsze zero rozkładu intensywności w obrazie punktu gdzie Rozkład intensywności w obrazie punktu

Obraz punktu diafragma kołowa Obraz punktu w przekroju a IP(a) IP0 a0 f’

Obraz punktu Ob diafragma kołowa ’0 ’ Wpływ przeogniskowania Układ zogniskowany Układ przeogniskowany Ob ’0 Wpływ przeogniskowania ’

Zdolność rozdzielcza Kryterium Rayleigha Obrazy 2 oddalonych punktów J.W. Strutt  Lord Rayleigh (1842-1919) 26.5% Obrazy 2 oddalonych punktów rozdzielane graniczny przypadek a nierozdzielane

Zdolność rozdzielcza - granice poznania ag – graniczna odległość dwóch rozróżnianych punktów   P1 P2 a u0 n P1’ P2’ Ob Ok n = 1 Jeżeli kąt u0 jest duży i współczynnik załamania przestrzeni przedmiotowej wynosi n (dotyczy to przykładowo mikroskopu), wówczas , gdzie apertura obiektywu mikroskopowego Im krótsza długość fali  i im większa apertura A = n sinu0 tym wyższa zdolność rozdzielcza mikroskopu Uwaga: tym mniejsza wartość ag Dla  = 0.55 m i Amax = 1.4 granica możliwości poznania Około połowy długości fali

Ponieważ Amax = 1.4, maksymalne powiększenie mikroskopu Zdolność rozdzielcza - granice poznania cd Poprawna interpretacja obrazu przez obserwatora gdzie w’ jest kątem pod jaki widzimy przez mikroskop Po podstawieniu gdzie w jest kątem pod jaki widzimy ag z odległości dobrego widzenia - 250 mm, a G – powiększenie wizualne mikroskopu Ale Dla  = 0.5510-3 mm powiększenie użyteczne K !! Ponieważ Amax = 1.4, maksymalne powiększenie mikroskopu

Obiektyw 40x bez immersji n = 1 Konsekwencje obserwacji przez mikroskop przedmiotów pod dużymi powiększeniami Przyjmując średnio powiększenie obiektywu powiększenie okulara Gu = 500x A = 0.666.. W mikroskopach Niech Gok = 10x Obiektyw 40x bez immersji n = 1 2u0 = 840 Mała odległość od oprawy obiektywu do przedmiotu rzędu 0.2 mm Dla Gu max = 1400x nim = 1.52 odległość rzędu 0.1 mm

Zdolność rozdzielcza - granice poznania cd Konsekwencje dla układów z przedmiotem nieskończenie odległym Z – źrenica wejściowa wg Przedmiot nieskończenie odległy luneta Klisza fotograficzna obiektyw Kątowa zdolność rozdzielcza lunety, teleskopu i obiektywu zdjęciowego Im większa średnica D źrenicy wejściowej i krótsza długość fali , tym mniejszy kąt graniczny wg tym wyższa zdolność rozdzielcza układu

w przestrzeni przedmiotowej lunety Zdolność rozdzielcza - Konsekwencje dla lunety wg – graniczny kąt rozróżniania 2 punktów w przestrzeni przedmiotowej lunety Przykład Dla  = 0.5510-3 mm chcemy rozróżnić 2 punkty odległe od siebie o 20 cm na ziemi z satelity na wysokości 50 km wg = 0.2/50000 = 410-6 wówczas Dmin  170 mm

Kolokwium I 3 tematy Wyprowadzenie z komentarzami !!! (10 punktów). Brak komentarza (tylko rysunek i wzory) = zero punktów bieg promienia przez pryzmat, bieg promienia przez układ elementarny i przejście do przestrzeni przyosiowej, promień w ośrodku gradientowym, prawo załamania na bazie hipotezy Huygensa, widmo promieniowania atomu (K!!), obraz punktu dla przysłony prostokątnej, powiększenie użyteczne mikroskopu (K!!) 2. Tematy opisowe po 5 punktów Razem z jednego kolokwium można uzyskać maksymalnie 20 punktów Punktacja zaliczenia wykładu na podstawie wyniku dwóch kolokwiów Punkty Stopień 0 - 22.5 nie zaliczone 23.0 - 26.5 3.0 27.0 - 29.5 3.5 30.0 - 32.5 4.0 33.0 - 36.0 4.5 36.5 - 40.0 5.0

Przypadek obserwacji gwiazd przez teleskop lub lunetę Zjawiska dyfrakcji cd Dotychczas granice poznania były definiowane przez obserwację dwupunktowego przedmiotu Przypadek obserwacji gwiazd przez teleskop lub lunetę Jak można przedstawić problem granic poznania dla przedmiotów o złożonej (rozciągłej) strukturze ? Dla prostoty problem przedstawiony zostanie w sposób poglądowy na podstawie analizy obrazu siatki dyfrakcyjnej

Siatka dyfrakcyjna Periodyczny zbiór jednakowych elementów x  m = 0 Kierunki propagacji fal płaskich przez siatkę dyfrakcyjną Mówi się o rzędach dyfrakcyjnych Szczególny przypadek siatki dyfrakcyjnej jako zbiór szczelin  d – okres (stała) siatki Element siatki

Odwzorowanie siatki przez układ optyczny  m = 0 f’ Propagacja rzędu m = 0 Ob Ok płaszczyzna obrazu Pole jednorodne jak bez siatki  m = 1 f’ Propagacja rzędu m = 1 Ob Ok płaszczyzna obrazu Pole jednorodne jak bez siatki

Płaszczyzna widma siatki  f’ Ob Ok płaszczyzna obrazu m = -2 ÷ 2 propagacja rzędów m = -2 ÷ 2 Płaszczyzna widma siatki  f’ Ob Ok płaszczyzna obrazu diafragma transmisja tylko rzędu m = 0 obraz siatki niewidoczny

Wynik transmisji rzędów m = 1, 0, -1  f’ Ob Ok płaszczyzna obrazu diafragma W wyniku interferencji promieniowania generowanego przez 3 źródła punktowe powstaje obraz prążkowy Obraz jest periodyczny, ale czy widzimy szczegóły siatki ?

obrazy siatki dla różnego obcięcia widma Granice poznania szczególne przypadki m 1 2 3 -1 -2 -3 widmo siatki siatka dyfrakcyjna m = - 5  5 obrazy siatki dla różnego obcięcia widma m 1 2 3 -1 -2 -3 Przesłonięcie rzędów –1 i 1 powoduje zwiększenie częstości obrazu. Słynne doświadczenie Abbego

Siatka szczelinowa Przybliżenia x Przeniesione rzędy m = -1, 0 i 1 Obraz siatki dyfrakcyjnej

Test prostokątny cd Przybliżenia x Przeniesione rzędy m = -3  3 Obraz siatki dyfrakcyjnej

Test prostokątny cd Przybliżenia x Przeniesione rzędy m = -15  15 Obraz siatki dyfrakcyjnej

Obraz dany przez układ optyczny nigdy nie jest podobny do przedmiotu Granice poznania Obiektyw nie przenosi całego widma siatki (przedmiotu) Obraz jest periodyczny o częstości odpowiadającej obrazowi siatki, ale nie jest podobny do przedmiotu Obraz dany przez układ optyczny nigdy nie jest podobny do przedmiotu

Sama siatka dyfrakcyjna nie przenosi informacji o swojej strukturze Siatka dyfrakcyjna ze stałą d rzędu długości fali x  m = 0 m = 1 m = -1 z x  m = 0 z Sama siatka dyfrakcyjna nie przenosi informacji o swojej strukturze Czy to prawda ?

Czy to prawda ? Rozważania dotyczące interferencji, dyfrakcji, i dalej polaryzacji, były, i będą, prowadzone z dokładnością optyki falowej Problemy optyki podfalowej muszą być rozwiązywane narzędziami elektrodynamiki optycznej Rozwiązywanie równań Maxwella metodą elementów skończonych Zagadnienia wykraczają poza obszar wiedzy tu prezentowany

Literatura uzupełniająca W.T. Cathey, Optyczne przetwarzanie informacji i holografia, PWN, Warszawa, 1978 K. Gniadek, Optyka fourierowska, WPW, Warszawa, 1987 R.Jóźwicki: Podstawy inżynierii fotonicznej. Ofic,Wyd. PW, Warszawa 2006 R. Jóźwicki, Teoria odwzorowania optycznego, PWN, Warszawa, 1988 B.E.A. Saleh, M.C. Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons, New York, 1991, paragraf 4.3 i 4.4 Literatura podstawowa poziom wyższy naukowa