TEORIA GIER opracowanie na podstawie „Metody wspomagające podejmowanie decyzji w zarządzaniu” D. Witkowska, Menadżer Łódź 2000 „Badania operacyjne” Piotr Betlej

W teorii decyzji i w teorii gier podejmujący decyzję (decydent) działa w warunkach ryzyka, zdając się na wybór dokonany hipotetycznego przeciwnika, którego nazwaliśmy Naturą. W teorii decyzji zakłada się, że Natura działa w sposób losowy, natomiast teoria gier dotyczy sytuacji, gdy stany natury są kontrolowane - częściowo lub całkowicie - przez jednego lub kilku przeciwników decydenta. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Gry W zależności od liczby tych przeciwników i ich interesów rozróżniamy różne rodzaje gier, na przykład: - gry dwuosobowe, - gry wieloosobowe, - gry koalicyjne. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

istnieje skończona liczba uczestników, Aby dana sytuacja mogła być nazwana grą, musi spełniać następujące warunki: istnieje skończona liczba uczestników, każdy uczestnik posiada skończoną liczbę sposobów działania (strategii), uczestnik, który chce posłużyć się teorią gier, musi znać wszystkie dostępne pozostałym graczom strategie, lecz nie może wiedzieć, która z nich będzie obrana, wygrana każdego uczestnika zależy zarówno od działania pozostałych graczy, jak i od jego własnego działania, wszystkie możliwe wyniki są mierzalne. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Graczem nazywa się każdą stronę zainteresowaną w grze. Strategią nazywa się zasadę, na podstawie której gracz wyznacza swój sposób działania. Gracz stosuje strategię czystą, jeżeli używa w grze tylko jednego sposobu działania. Jeżeli gracz stosuje dostępne mu sposoby działania w pewnej proporcji, to mówimy, że stosuje strategię mieszaną lub zrandomizowaną. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Gra dwuosobowa o sumie zero Grami dwuosobowymi o sumie zero są takie sytuacje, gdy w grze biorą udział tylko dwie strony, a przegrane jednej ze stron są wygranymi drugiej. Macierz wypłat jest tablicą, która przedstawia kwoty otrzymane przez gracza wymienionego po lewej stronie tej tablicy po wszystkich możliwych partiach gry. Wypłat dokonuje gracz wymieniony u góry tablicy macierz ta składa się z tylu kolumn, ile jest wszystkich możliwych sposobów działania gracza zamieszczonego u góry tablicy, i z tylu wierszy, ile jest wszystkich możliwych sposobów działania gracza zamieszczonego po lewej stronie tablicy). 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Macierz wypłat 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

gra posiada punkt siodłowy, jeżeli każdy z graczy podczas całej gry stosuje tylko jeden sposób działania. Punktem siodłowym jest punkt w macierzy wypłat znajdujący się na przecięciu tych dwóch sposobów działania, natomiast wypłata w tym punkcie stanowi wartość gry. V = VA =Max (Min aij) = VB=Min (Max aij) Wartość gry jest średnią kwotą przypadającą na partię, którą wygrałby w długim okresie jeden z graczy, gdyby obaj stosowali swe najlepsze strategie. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Gra jest rozwiązana, gdy wyznaczymy: wartość gry, strategię, którą ma zastosować gracz umieszczony w macierzy wypłat po lewej stronie, aby zapewnić sobie średnią wygraną na partię co najmniej równą wartości gry, strategię, którą ma zastosować gracz umieszczony w górnej części macierzy wypłat, aby średnia przegrana na partię nie była większa niż wartość gry. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Przykład Dwie konkurencyjne firmy Alfa i Beta są dealerami dobrze znanej marki odbiorników telewizyjnych. Roczne zyski tych dwóch firm wynoszą odpowiednio 4 i 8 mln zł. Alfa chce rozszerzyć swoją działalność i otworzyć zakład montażu odbiorników zakładając, że przyniesie to jej roczny zysk równy 10 mln zł. Oczekuje przy tym, że firma Beta będzie kontynuować swoją działalność bez podejmowania montażu odbiorników u siebie. Jednakże szef firmy Beta usłyszał o planach firmy Alfa i obliczył, że jeśli plany firmy Alfa będą urzeczywistnione, to zyski firmy Beta spadną do 2 mln zł. Natomiast jeśli Beta uruchomi zakład montażu, a Alfa nie zrobi tego, to zysk firmy Beta wzrośnie do 11 mln zł, a zysk firmy Alfa spadnie do 1 mln zł. Gdyby obydwie firmy uruchomiły zakłady montażu, to wtedy obie zarobiłyby po 6 mln zł na rok. Jaką strategię powinna wybrać firma Alfa, a jaką Beta, aby zyski ich były możliwie jak największe? 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

KRYTERIA WYBORU DECYZJI W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI Kryteria nieprobabilistyczne Kryteria probabilistyczne 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Kryteria nieprobabilistyczne MaxiMin Pesymista (asekurant) określa dla każdej swojej decyzji najgorszy możliwy wynik (minimalna wypłatę) , a następnie wybiera taką decyzję , dla której określona minimalna (gwarantowana) wypłata jest największa. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Kryteria nieprobabilistyczne MaxiMax Optymista (ryzykant) określa dla każdej swojej decyzji najwyższy możliwy wynik (maksymalną wypłatę) , a następnie wybiera taka decyzję , dla której tak określona maksymalna (ale nie gwarantowana) wypłata jest największa. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Kryteria nieprobabilistyczne kryterium Hurwicza Reguła Hurwicza przyporządkowuje każdej decyzji indeks , który jest ważoną przeciętną minimalnej i maksymalnej wypłaty wynikającej z decyzji. Wybierana jest strategia, której odpowiada maksymalna wartość Oznaczmy przez - skłonność do bycia pesymistą przy wyborze strategii 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Kryteria nieprobabilistyczne kryterium Hurwicza Dla każdej decyzji wyznaczamy hipotetyczną wygraną postaci: Należy wybrać taką decyzję, dla której hipotetyczna wygrana jest największa 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Macierz"żalu" Macierz wypłat transformujemy do postaci macierzy "żalu" . W tym celu: określamy maksymalną wypłatę dla każdego "stanu natury" w dalszym postępowaniu obliczamy wartości elementów według wzoru: Elementy macierzy "żalu" wyrażają stratę z powodu podjęcia decyzji nieoptymalnej z punktu widzenia zaistniałego stanu natury. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Kryteria nieprobabilistyczne Minimax "żalu" Do macierzy "żalu" stosujemy postępowanie według reguły MinMax, tzn. wskazujemy decyzję, dla której największa strata ("żal") z powodu źle podjętej decyzji będzie możliwie najmniejsza, czyli 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Kryteria probabilistyczne Maksymalna oczekiwana wygrana Wybieramy taką decyzję, dla której wartość oczekiwanej wygranej (zysku) będzie największa, tj. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Kryteria probabilistyczne Minimalny oczekiwany "żal" (strata) Wybieramy taką decyzję, dla której wartość oczekiwanej straty ("żalu") będzie najmniejsza, tj. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

- prawdopodobieństwo uzyskania j-tego efektu finansowego. W zarządzaniu działalnością gospodarczą wynik decyzji jest zwykle rozpatrywany z punktu widzenia rentowności danego przedsięwzięcia, a poszczególne stany natury są wyrażane w postaci efektów finansowych wynikających z różnych wyników podjętej decyzji. W takiej sytuacji wartość oczekiwana ma wymiar finansowy i stąd nazywamy ją oczekiwanym efektem finansowym. Parametr ten często oznacza się angielskim skrótem EMV (Expected Monetary Value) i oblicza się dla każdej strategii według równania: gdzie: - efekt finansowy j-tego stanu natury (wartości dodatnie dla zysku, wartości ujemne dla strat), - prawdopodobieństwo uzyskania j-tego efektu finansowego. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Przykład Przedsiębiorstwo ma możliwość uruchomienia produkcji i sprzedaży produktu luksusowego lub produktu popularnego. Dla każdej opcji decyzyjnej określono - na podstawie prognoz i analiz danych statystycznych - prawdopodobieństwa uzyskania sprzedaży dobrej, średniej i miernej oraz efekty finansowe tych wyników. Dla produktu luksusowego prawdopodobieństwo wystąpienia dobrej sprzedaży (z której dochody wyniosą 120000 zł) wynosi 0,4, sprzedaży średniej (o dochodzie 65 000 zł) - 0,3 oraz sprzedaży miernej (dochód 12 000 zł) - 0,3. Analogicznie dla produktu popularnego - prawdopodobieństwo dobrej sprzedaży wynosi 0,5 (dochód 105 000 zł), sprzedaży średniej - 0,4 (dochód 55 000 zł) i sprzedaży miernej - 0,1 (dochód tylko 20000 zł). Oceń, która z opcji decyzyjnych dotycząca wyboru nowej produkcji jest bardziej opłacalna dla przedsiębiorstwa. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Rozwiązanie Obliczamy wartość oczekiwaną dochodu dla produktu luksusowego (PL): EMV(PL) = 0,4*120000 + 0,3*65000 + 0,3*12000 = 71100 zł. Tak więc wartość oczekiwana dla PL wynosi 71 100 zł. Podobnie liczymy dla produktu popularnego (PP): EMV(PP) = 0,5*105000 + 0,4*55000 + 0,1*10000 = 75500 zł. Z porównania wartości EMV(PL) i EMV(PP) wynika, że korzystniejszą opcją decyzyjną jest wprowadzenie na rynek produktu popularnego. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

TEORIA KOLEJEK opracowanie na podstawie Jędrzejczyk Z., Skrzypek J., Kukuła K., Walkosz A. [1997]: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa.

Teoria kolejek jednokanałowe systemy obsługi wielokanałowe systemy obsługi 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Kanał obsługi: stopa przybycia - przeciętna liczba klientów przypadająca na jednostkę czasu, ma rozkład Poissona ; stopa obsługi - przeciętna liczba klientów obsłużonych w jednostce czasu, ma rozkład wykładniczy; liczba równoległych kanałów obsługi r; parametr intensywności ruchu - stosunek liczby klientów przybywających do liczby klientów obsłużonych w jednostce czasu. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Założenia w teoretycznym modelu: rozpatrywane są tylko sytuacje w których klienci obsługiwani są według kolejności przybywania do punktu świadczącego usługę, zatem wszyscy klienci są traktowani na równi. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Rozpatruje się dwa przypadki: Gdy układ zmierza do stanu równowagi (jeżeli obie wartości stałe) to prawdopodobieństwo tego, iż kolejka ma określoną długość, jest stałe w każdej jednostce czasu. gdy układ jest niestabilny, a prawdopodobieństwo długiej kolejki rośnie (układ nie może nadrobić czasu w którym był chwilowo niewykorzystany). 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Przykład: Na poczcie obok innych stanowisk jedno jest przeznaczone do obsługi wpłat i wypłat gotówkowych osób fizycznych. Ruch w godzinach 14-18 jest tak duży, że rozważa się możliwość uruchomienia dodatkowego stanowiska obsługi. Sprawdzić, czy jest to słuszna decyzja. Poniżej podano obserwacje poczynione w czasie jednej z godzin szczytowych. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Numer klienta Czas przyjścia liczony od przybycia poprzedniego klienta (w min) Czas obsługi klienta (w min) 1 1,5 11 5,5 2 0,5 2,5 12 4,5 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 3,5 9 19 10 20 Razem 40 60 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Rozwiązanie stopa przybycia stopa obsługi parametr intensywności ruchu Zatem zachodzi nierówność , czyli stopa przybyć przewyższa stopę obsługi. Wartość parametru sugeruje, że mamy do czynienia z układem niestabilnym, a prawdopodobieństwo długiej kolejki się zwiększa. Osiągnięcie stanu równowagi jest tylko możliwe dzięki podjęciu radykalnych działań: skróceniu czasu obsługi klienta zainstalowaniu dodatkowego stanowiska obsługi. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Prawdopodobieństwo, że w układzie brak klientów, czyli n=0 obliczamy ze wzoru: 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Przeciętna liczba klientów oczekujących w kolejce to: 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Prawdopodobieństwo, że w kolejce oczekuje n klientów określa wzór: 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Prawdopodobieństwo, że w kolejce oczekuje więcej niż n0 klientów (pod warunkiem gdy ) określa wzór 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Prawdopodobieństwo, tego że czas oczekiwania w kolejce jest dłuższy niż t0 określa wzór: 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Przykład W prywatnej przychodni stomatologicznej czynne są dwa gabinety lekarskie. Przecięty czas przybycia pacjenta wynosi 3,8 na godz., a stopa obsługi wynosi 2 pacjentów na godz. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Czy system obsługi zmierza do stanu równowagi? stan równowagi systemu jest zachowany, bo 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Ile wynosi prawdopodobieństwo, że nie będzie kolejki? Prawdopodobieństwo, że nie będzie kolejki w poradni stomatologicznej wynosi 36%. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać? Prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać na przyjęcie w poradni wynosi 64%. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w kolejce znajdują się więcej niż dwie osoby? Prawdopodobieństwo, że w kolejce znajdują się więcej niż dwie osoby wynosi 15%. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać w kolejce dłużej niż 0,5 godz.? Prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać w kolejce dłużej niż 0,5 godz. wynosi 11%. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Ile przeciętnie pacjentów oczekuje w kolejce na przyjęcie? Przeciętnie oczekuje w kolejce na przyjęcie 0,28 pacjentów. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

Jak wygląda sytuacja z punktu widzenia właściciela poradni? Sytuacja z punktu widzenia właściciela poradni dla pacjentów jest komfortowa. Wprawdzie prawdopodobieństwo bezkolejkowego przyjęcia jest duże, bo wynoszące 0,36. Małe jest prawdopodobieństwo oczekiwania w kolejce więcej niż dwóch pacjentów, bo wynoszące 0,15. Bardzo małe jest prawdopodobieństwo, że pacjent będzie czekał dłużej niż pół godziny, bo wynosi 0,11. Z analizy wynika, że przeciętnie w kolejce oczekuje 0,28 pacjentów. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec