Podstawy fotoniki wykład 6

Statystyki fotonów moc optyczna klasycznie strumień fotonów jednostki klasyczne jednostki kwantowe (fotonowe) Natężenie Gęst. strum. fotonów I(r)[W/cm2] F(r) = I(r)/hn [fot./scm2] Moc optyczna Strumień fotonów P [W] F = P/hn [fot./s] Energia optyczna Liczba fotonów E [J] n=E/ hn [fot]

Statystyki fotonów

Statystyki fotonów

Statystyki fotonów Mamy źródło światła o stałej mocy optycznej P, średni strumień fotonów F = P/hn [foton/s] W określonym czasie rejestracji T ilość fotonów jest przypadkowa, wynosi „n”, mierzymy pewną średnią wartość n = FT=PT/hn t Chcemy otrzymać wyrażenie opisujące prawdopodo-bieństwo wykrycia n fotonów p(n): p(0), p(1), p(2) ..

Statystyki fotonów Jeżeli fotony są skorelowane (zależne) to statystyki fotonów przestrzegają innych rozkładów. Np. światło we wnęce optycznej w temperaturze T, fotony są wysyłane w mody wnęki. Wg. praw klasycznych, w warunkach równowagi termicznej rozkład prawdopodobieństwa energii E-M w jednym z modów spełnia rozkład Boltzmana

Statystyki fotonów kb = 1.38 10-23 JK kbT(300k)= 0.026 eV Z tej zależności oraz warunku skwantowania energii wynika, że prawdopodobieństwo znalezienia n fotonów w jednym modzie rezonatora w równowadze termicznej, wynosi

Elektrodynamika kwantowa (1925-30) Obliczenia kwantowe zostały zastosowane do światła (przy nieobecności materii) W przypadku światła monochromatycznego energia jest skwantowana : zawiera n photonów (kwantów) : En zawiera 0 photonów (kwantów) : E0 (Próżnia, brak promieniowania, podstawowy stan systemu) At the same time, the ideas of qm were applied to light in the absence of matter. It was shown that the elmg field obeyed equations similar to the equations of an harmonic oscillator, a spring with a mass. The quantization of the ho being straightforward that of the elmg field can be explained easily. In the case of a monomode light, the energy of the elmg field is quantified the expression being En= where n is the number of quanta in the field mode (given frequency, polarisation and wave vector). The state n contains n photons and has an energy En. The state containing no photons has a non zero energy. This means that even vacuum has a non zero energy. This last point has a lot of consequences.

Statystyki fotonów Prawdopodobieństwo znalezienia n fotonów w jednym modzie rezonatora w równowadze termicznej, wynosi: Jest to tzw.rozkład geometryczny lub Bosego -Einsteina Rozkład B-E dla różnych wartości (lub równoważnie dla różnych temperatur)

Statystyki fotonów - światło spójne funkcja rozkładu Poissona wartość średnia odchylenie standardowe

Statystyki fotonów Porównując rozkład B-E z rozkładem Poissona widać, że światło termiczne ma znacznie szerszy rozkład niż światło spójne Przypadkowe (niespójne) źródła, gwiazdy, żarówki, emitują fotony o przypadkowych czasach rejestracji i rozkładzie Bosego-Einsteina. Lasery (spójne) źródła, posiadają bardziej jednorodny rozkład statystyczny: Poissona.

Statystyki fotonów Fotony (ale też inne cząstki o masie spoczynkowej m0=0 i spinie całkowitym, np mezony) podlegają rozkładowi Bosego-Einsteina stąd ich nazwa „Bosony”

Statystyka Bosego-Einsteina Statystyka Bosego-Einsteina to statystyka dotycząca bozonów, cząstek o spinie całkowitym, których nie obowiązuje zakaz Pauliego. Zgodnie z rozkładem Bosego-Einsteina średnia ilość cząstek w danym stanie jest równa gdzie E jest energią tego stanu, μ jest potencjałem chemicznym, a β = 1 / (kBT), gdzie kB jest stałą Boltzmanna a T - temperaturą w skali Kelvina. Potencjał chemiczny w tym rozkładzie jest zawsze ujemny lub równy zeru. Gdy temperatura jest wysoka, można zaniedbać czynnik -1 i rozkład przechodzi w rozkład fizyki klasycznej, klasyczny rozkład Maxwella Rozkładowi Bosego-Einsteina podlegają oczywiście fotony (o spinie 1) - nosi on wtedy nazwę rozkładu Plancka. Rozkład ten tłumaczy promieniowanie ciała doskonale czarnego. Wyprowadzenie tego rozkładu przez Plancka zapoczątkowało mechanikę kwantową. Brak zakazu Pauliego dla bozonów daje możliwość kondensacji bozonów.

Statystyki elektronów Dla przypomnienia, cząstki materialne np elektrony przestrzegają innego prawa obsadzeń. Prawdopodobieństwo, że stan energetyczny E jest zajęty opisuje funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w temperaturze 0K, Ef pokrywa się z najniższym zapełnionym przez elektrony poziomem Ef=0

Statystyki elektronów sens fizyczny funkcji f(E) jest taki, że f(Ei) równa się średniej liczbie elektronów <ni> znajdujących się w stanie o energii Ei Elektrony podlegają rozkładowi Fermiego-Diraca stąd nazwa „Fermiony”

Cd właściwości elektronów Zakaz Pauliego Stany elektronowe w atomie mogą być obsadzane wyłącznie w taki sposób, że żadne dwa elektrony nie mają takich samych liczb kwantowych n, l, m, ms, j, mJ. Zasada Pauliego jest bardziej ogólna: obowiązuje dla dowolnych układów identycznych fermionów (cząstek o spinie połówkowym) elektronów, mionów, neutrino ....

Cd właściwości fotonów Bosony mają tę właściwość, że jeżeli w jakimś stanie znajduje się już jedna cząstka, to prawdopodobieństwo, że druga znajdzie się w tym samym stanie jest dwukrotnie większe od tego, które by istniało, gdyby pierwszej tam nie było. Tendencja do grupowania się bosonów Prawdopodobieństwo, że jakiś atom wypromieniuje foton (boson) do danego stanu końcowego jest zwiększone (n+1) krotnie jeżeli w tym stanie znajduje się n fotonów

Statystyki fotonów i elektronów spin całkowity spin połówkowy f.f. symetryczna f.f. antysymetryczna