Gimnazjum im. ks. Zdzisława Peszkowskiego w Krążkowach Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum im. ks. Zdzisława Peszkowskiego w Krążkowach ID grupy: 98/47 Opiekun: Małgorzata Zadka Kompetencja: Matematyka i fizyka Temat projektowy: Twierdzenia i pojęcia geometryczne oraz ich ilustracja za pomocą fotografii. Semestr/rok szkolny: II/2010/2011

Symetralna odcinka Prostą, która jest prostopadła do odcinka i przechodzi przez jego środek, nazywamy symetralną odcinka. Wszystkie punkty leżące na symetralnej odcinka są równo oddalone od jego końców.

Dwusieczna kąta Półprostą, dzielącą dany kąt na dwa kąty przystające nazywamy dwusieczną kąta. Wszystkie punkty leżące na dwusiecznej kąta są równo oddalone od jego ramion. dwusieczna kąta

Kąty wierzchołkowe kąty wierzchołkowe - mają wspólny wierzchołek, a ramiona jednego kąta są przedłużeniem ramion drugiego kąta

kąty przyległe mają jedno ramię wspólne, a ich suma wynosi 180°

Kąty odpowiadające kąty odpowiadające - jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to utworzone kąty odpowiadające mają równe miary.

Kąty naprzemianległe kąty naprzemianległe - jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to utworzone kąty naprzemianległe mają równe miary (naprzemianległe wewnętrzne i zewnętrzne)

Kąty wierzchołkowe Kąty przyległe

Domknięta płaska figura geometryczna, ograniczona, o wielu bokach. Wielokąt Domknięta płaska figura geometryczna, ograniczona, o wielu bokach. Przykładowy wielokąt

Wielokąty foremne Wielokąt wypukły, którego wszystkie boki są równej długości, a wszystkie kąty mają równe miary. B C D A G E Przykład wielokąta foremnego

Wielokąty przystające Przystawanie figur to własność figur geometrycznych. Dwie figury i są figurami przystającymi, jeśli mają te same długości boków i te same miary kątów Przystawanie figur oznaczamy

Cechy przystawania trójkątów

I cecha przystawania trójkątów : jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające.

II cecha przystawania trójkątów: jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

III cecha przystawania trójkątów : jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwóm kątom do niego przyległym drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

Pola i obwody czworokątów

kwadrat P = a · a d a P = ½d² O = 4 · a a

prostokąt P = a · b b O = 2·a + 2·b a

równoległobok P = a · h b O = 2 · a + 2 · b a

trapez b P = ½(a + b) · h d c a O = a + b + c + d

romb P = a · h P = ½ p · q O = 4a a a

Wielokąty Podobne Figury podobne, to takie które mają te same miary kątów, a odpowiadające sobie boki są do siebie proporcjonalne. Jeżeli figury są podobne to istnieje skala podobieństwa, która przekształca jedną figurę na drugą

Wielokąty możemy podzielić na : -wielokąty wklęsłe -wielokąty wypukłe Wielokąt wklęsły Wielokąt wypukły

STOSUNEK PÓL FIGUR PODOBNYCH Zad. Boki trójkąta prostokątnego równoramiennego powiększono w skali 2. Jak zmieniło się pole tego trójkąta? 2x x x 2x

Zad. Boki kwadratu powiększono w skali 4 Zad. Boki kwadratu powiększono w skali 4. Jak zmieniło się pole tego kwadratu? a 4a a 4a

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. wniosek Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Zamiana jednostek pola Aby zamienić jednostkę pola z mniejszej na jeden poziom wyższą, należy mnożyć ją przez liczbę 100. W zależności o ile poziomów przeskakujemy tyle razy musimy daną liczbę mnożyć przez sto. Aby zamieniać z wyższej na niższą dzielimy tą liczbę przez 100 jak we wzorze pierwszym.

1cm² 1dm² = 100cm² 1m² = 10 000cm² 1m² = 100dm² 1km² = 1 000 000m² Jednostki pola 1cm² 1dm² = 100cm² 1m² = 10 000cm² 1m² = 100dm² 1km² = 1 000 000m² 1a (ar) = 100m² 1ha (hektar) = 100a h

Okrąg i koło

Długość okręgu Gdzie: – długość okręgu - 3,14 (zaokrąglenie) - promień okręgu

Aby obliczyć długość okręgu (obwód koła) musimy wykonać działanie: Przykład: Oblicz obwód koła o promieniu 20cm. (wynik dokładny) (wynik przybliżony)

Pole koła Aby obliczyć pole (powierzchnię) koła musimy wykonać działanie: Przykład: Oblicz pole koła o promieniu 5cm. (wynik dokładny) (wynik przybliżony)

Pierścień kołowy

Pole pierścienia kołowego możemy wyrazić wzorem Gdzie: pole pierścienia kołowego pole koła o promieniu

Aby obliczyć pole pierścienia kołowego musimy obliczyć pole całego koła, następnie odjąć pole koła, które mamy w środku, pozostała część daje nam pole pierścienia.

Wycinek kołowy Wycinek kołowy to część koła wyznaczona przez ramiona kąta środkowego α i łuk, na którym ten kąt jest oparty

- pole wycinka kołowego - kąt środkowy - pole koła Pole wycinka kołowego wyrażamy wzorem gdzie: - pole wycinka kołowego - kąt środkowy - pole koła  

Aby obliczyć pole wycinka kołowego musimy podzielić kąt środkowy przez 360˚, następnie pomnożyć przez pole koła. Przykład: Oblicz pole wycinka kołowego wiedząc, że kąt środkowy to 90 stopni, a koło ma pole 50π.

Łuk okręgu, to, na którym opiera się kąt środkowy Łuk ABC O

Długość łuku okręgu - długość łuku - kąt środkowy - długość okręgu Długość łuku okręgu wyrażamy wzorem Gdzie: - długość łuku - kąt środkowy - długość okręgu

Aby obliczyć długość łuku okręgu musimy podzielić miarę kąta środkowego przez 360˚, następnie otrzymany wynik pomnożyć przez obwód koła. Przykład: Oblicz długość łuku koła wiedząc, że kąt środkowy ma miarę 90 stopni, a obwód 120cm.

POŁOŻENIE PROSTEJ I OKRĘGU

ROZŁĄCZNA Gdy prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem jest ona rozłączna z okręgiem.

odległość środka okręgu od prostej jest większa od długości promienia odległość środka okręgu od prostej jest większa od długości promienia. prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

Styczna do okręgu to prosta, która ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem. Punkt ten nazywa się punktem styczności prostej i okręgu.

odległość środka okręgu od prostej jest równa długości promienia odległość środka okręgu od prostej jest równa długości promienia. prosta i okrąg mają tylko jeden punkt wspólny

SIECZNA Sieczna okręgu to prosta mająca dwa punkty wspólne z okręgiem.

odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza od długości promienia odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza od długości promienia. prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne.

WŁASNOŚCI STYCZNEJ Niech punkty B i C będą punktami styczności do okręgu o dwóch prostych przecinających się w punkcie A. Wówczas | AB | = | AC | . Styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności

Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg, który jest styczny do każdego boku trójkąta. Odcinki łączące środek okręgu wpisanego z punktami styczności na bokach trójkąta są do nich prostopadłe i są promieniami tego okręgu. Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia się dwusiecznych jego kątów. Czasem używa się także pojęcia koła wpisanego w trójkąta - jest to koło, które mieści się w nim całe i którego brzeg dotyka wszystkich boków trójkąta. Pole trójkąta, w który można wpisać okrąg jest równe iloczynowi połowy jego obwodu i długości promienia tego okręgu.

Jeśli okrąg jest opisany na trójkącie to jego środek leży na przecięciu symetralnych boków trójkąta. Dla przypomnienia: symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek. Jeśli jeden z boków trójkąta zawiera się w średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie to wówczas trójkąt ten jest prostokątny.

Symetria

- symetria osiowa (względem prostej) Symetria, to takie przekształcenie figury, w wyniku którego, otrzymujemy figury przystające (identyczne). Rodzaje symetrii: - symetria osiowa (względem prostej) - symetria obrotowa (względem punktu) - symetria środkowa (obrót o 180°)

Symetria osiowa Symetria osiowa to przekształcenie płaszczyzny, w którym obrazem każdego punktu A jest punkt A` spełniający następujące warunki: - leżą w tej samej odległości - leżą na prostej prostopadłej do osi symetrii - leżą po przeciwnych stronach prostej

Oś symetrii dzieli figurę na dwie przystające części. Oś symetrii figury to prosta, względem której ta figura jest sama do siebie symetryczna. Oś symetrii dzieli figurę na dwie przystające części.

Figura osiowosymetryczna Figurę nazywamy osiowosymetryczną, jeśli istnieje taka prosta, że obrazem figury w symetrii względem tej prostej jest ta sama figura. Prostą tę nazywamy osią symetrii figury. Figurami osiowosymetrycznymi są np.: koło, kąt, trapez równoramienny, kula, wielościan foremny, wielokąt foremny.

Przykłady symetrii osiowej w naszym otoczeniu

Symetria twarzy

Symetria w architekturze

Symetria obrotowa Symetria obrotowa polega na przekształceniu przestrzeni, będącym przemiennym złożeniem symetrii płaszczyznowej i obrotu. Figura niezależnie od kierunku obrotu zawsze będzie wyglądała tak samo.

Przykłady symetrii obrotowej w naszym otoczeniu

Symetria środkowa Symetrią środkową względem punktu O nazywamy takie przekształcenie, w którym obrazem punktu A, różnego od punktu O, jest punkt A` taki, że środkiem odcinka AA` jest punkt O. O

Środek symetrii figury Środek symetrii figury jest punktem, względem którego ta figura jest do siebie środkowosymetryczna. Figura obrócona o 180° wokół swojego środka symetrii nałoży się na siebie.

Figury środkowosymetryczne Figurą środkowosymetryczną nazywamy figurę, dla której istnieje taki punkt S, że obrazem figury w symetrii środkowej względem tego punktu jest ta sama figura. Przykłady figur środkowosymetryczych: S

Przykłady symetrii środkowej w naszym otoczeniu

Graniastosłupy i ostrosłupy

Graniastosłupy Wielościan, którego wszystkie wierzchołki, leżą na dwóch różnych płaszczyznach równoległych, a krawędzie nie zawarte w tych płaszczyznach są równoległe nazywamy graniastosłupem Graniastosłupy dzielimy: - graniastosłupy proste - graniastosłupy pochyłe

Graniastosłupy proste Graniastosłup prosty, to taki graniastosłup, w którym wszystkie ściany boczne są prostokątami i są prostopadłe do obu podstaw.

Graniastosłup prosty siedmiokątny

Graniastosłupy proste, w których wszystkie ściany są prostokątami nazywamy prostopadłościanami Prostopadłościany, w których wszystkie ściany są kwadratami nazywamy sześcianami

Graniastosłupy pochyłe Graniastosłup pochyły to graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw. W graniastosłupie pochyłym długość wysokości jest mniejsza od długości krawędzi bocznej.

Graniastosłup pochyły sześciokątny

Graniastosłup pochyły czworokątny

Graniastosłup archimedesowy Graniastosłup o krawędzi podstawy tej samej długości co wysokość nazywamy archimedesowym. Przykładowa siatka graniastosłupa archimedesowego Przykład graniastosłupa archimedesowego

Ostrosłupy Wielościan, którego powierzchnia całkowita składa się z wielokąta A (nazywanego podstawą) i pewnej liczby trójkątów – ścian bocznych o wspólnym wierzchołku - punkcie B nazywamy ostrosłupem. B A

Ostrosłupy pochyłe

Ostrosłupy prawidłowe Ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa nazywamy ostrosłupem prawidłowym. Przykład ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

Ostrosłupy ścięte Część ostrosłupa zawarta miedzy płaszczyzną jego podstawy, a równoległą doń płaszczyzną przechodzącą przez punkt wewnętrzny ostrosłupa nazywamy ostrosłupem ściętym. Przykład ostrosłupa ściętego

Zamiana jednostek objętości Aby zamienić jednostkę objętości z mniejszej na wyższą o jeden poziom musimy ją pomnożyć przez 1000. W zależności o ile poziomów przeskakujemy tyle razy mnożymy daną liczbę przez 1000. Przy zamienianiu na niższą jednostkę odpowiednio dzielimy przez liczbę 1000.

Jednostki pojemności: Jednostki objętości 1cm³ 1dm³ = 1 000cm³ 1m³ = 1 000dm³ 1m³ = 1 000 000cm³ Jednostki pojemności: 1ml (mililitr) 1l (litr) = 1 000ml 1hl (hektolitr) = 100l