Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) Nazwa szkoły: Gimnazjum im. ks. Zdzisława Peszkowskiego w Krążkowach ID grupy: 98/47 Opiekun: Anna Koziarz Kompetencja: Matematyka-Fizyka Temat projektowy: Średnie liczb dodatnich. Semestr/rok szkolny: V/2011/2012

Średnie liczb dodatnich

Średnia arytmetyczna  

Średnią arytmetyczną n liczb dodatnich nazywamy liczbę: Inaczej mówiąc jest to iloraz sumy n liczb i n (gdzie n to ilość sumowanych liczb).

Średnia arytmetyczna jest najbardziej intuicyjną miarą oceny populacji stosowaną w codziennym życiu. Możemy mówić o średniej ocen z przedmiotu, średniej płacy w firmie, średnim wzroście pewnej grupy ludzi. Trzeba jednak uważać w badaniach statystycznych posługując się średnią arytmetyczną. Jeśli liczby w konkretnym badaniu układają się w pobliżu wartości centralnej, to średnia arytmetyczna jest dobrym sposobem wskazywania średniego wyniku. Jednak gdy liczby rozłożone są bardzo nierównomiernie, wówczas średnia arytmetyczna może wprowadzać w błąd i zamiast niej powinny być użyte inne miary

ciekawostka Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka przechodzącego przez punkty C i D, które są środkami ramion trapezu jest średnią arytmetyczną długości podstaw.

Przykłady zastosowania Zad. 1 Oblicz średnią liczb: -5,-3, 0 i 12. (Średnia arytmetyczna jest właśnie tym, co w potocznym języku określa się mianem średniej.) Odp. Średnia arytmetyczna liczb wynosi 1.

Zad. 2. Oblicz średnią ocen z matematyki ucznia szkoły podstawowej, który otrzymał następujące noty: 2, 4, 4, 5, 6. Odp. Średnia ocen ucznia wynosi 4,2.

Zad. 3. Uczeń gimnazjum ma następujące oceny na koniec semestru: 5, 3, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 4. Oblicz średnią jego ocen. Odp. Średnia ocen ucznia wynosi 4,1.

Zad. 4. Średnia arytmetyczna wzrostu czterech chłopców jest równa 170 cm. Chłopcy mają 150 cm, 170cm, 185cm , x cm. Ile mierzy najwyższy chłopiec? Wyznaczając x otrzymujemy: A stąd: odp. Chłopiec ma 175 cm wzrostu.

Zad. 5. Średnia arytmetyczna liczb a, b, c, d, 22 jest równa 14 Zad. 5. Średnia arytmetyczna liczb a, b, c, d, 22 jest równa 14. Ile wynosi średnia arytmetyczna liczb a, b, c, d? Odp. Średnia liczb a, b, c, d, wynosi 12.

Średnia geometryczna Średnia geometryczna n liczb dodatnich, to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu tych liczb.

Średnia geometryczna dwóch liczb dodatnich to pierwiastek kwadratowy z iloczynu tych liczb. Jeśli liczba x jest średnią geometryczną liczb a i b, to zachodzi równanie ax = xb

ciekawostka Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i dzielący trapez na dwa trapezy podobne jest równa średniej geometrycznej.

Przykłady zastosowania Zad. 1. Oblicz średnią geometryczną liczb 2, 2, 5 i 7. Odp. Średnia geometryczna tych liczb wynosi około 3,44.

Zad. 2. Oblicz średnią geometryczną liczb 1, 2, 4, 3, 7. Odp Zad. 2. Oblicz średnią geometryczną liczb 1, 2, 4, 3, 7. Odp. Średnia geometryczna tych liczb wynosi ok. 2,79.

Zad. 3. Średnia geometryczna liczb 3, 5 i z wynosi 3,1072. Oblicz z Zad. 3. Średnia geometryczna liczb 3, 5 i z wynosi 3,1072. Oblicz z. Korzystając z wzoru na średnią geometryczną mamy: stąd: Odp. Liczba z wynosi 2.

Zad. 4. Podczas sezonowej pracy na plantacji truskawek Kasia zebrała 40 kobiałek, Tomek 72 kobiałki, a Zosia 75 kobiałek truskawek. Dziwnym trafem średnia liczba kobiałek truskawek zebranych przez pozostałe osoby stanowiła średnią geometryczną liczb kobiałek Kasi, Tomka i Zosi. Oblicz, ile wszystkich osób pracowało na tej plantacji, wiedząc, że średnia liczba zebranych przez nich kobiałek truskawek była równa 61.

Wprowadźmy oznaczenia: x - ilość osób poza Kasią, Tomkiem i Zosią x+3 - ilość wszystkich osób Obliczmy ilość kobiałek zebranych przez x osób 60x - ilość kobiałek zebranych przez x osób Ze średniej arytmetycznej mamy:

A stąd: I dalej: A zatem: Odp. Na plantacji pracowało 7 osób.

Średnia ważona Czasem przy obliczaniu średniej niektóre z danych wejściowych mają większe znaczenie (większą wagę) niż inne. Tu z pomocą przychodzi średnia ważona. Średnia ważona n liczb dodatnich a1, a2, ..., an o wagach równych odpowiednio w1, w2, ..., wn to suma iloczynów elementów przez odpowiednie wagi podzielona przez sumę wag.

Przykłady zastosowania Zad. 1. Uczeń ma takie oto oceny: 4, 2, 4, 5, 3, 5. Prace klasowe: 4, 2, kartkówki: 4, 3, praca domowa: 5, 5. Uczeń domaga się czwórki. Nauczyciel jednak wprowadził wagi dla ocen i tak za prace klasowe waga wynosi 5, dla kartkówek waga wynosi 3, a dla prac domowych waga wynosi 1. Oblicz jaką ocenę powinien dostać uczeń. Stąd otrzymujemy: Odp. Uczeń powinien otrzymać trójkę.

Zad. 2. Na pewnej uczelni w trakcie rekrutacji obliczana jest średnia ważona z ocen z matematyki (waga 3), fizyki (waga 2) i języka obcego (waga 1). Asia otrzymała na świadectwie następujące oceny: matematyka 5, fizyka 4, język obcy 6. Oblicz średnią ważoną. Odp. Średnia ważona wynosi około 4,8.

Śladem średniej ważonej 24 marca 2012r. nasza grupa projektowa wybrała się do Zespołu Szkół Ponadgimnazjalnych nr 1 w Kępnie. Zostaliśmy tam miło przywitani. W pracowni gastronomicznej uczniowie przygotowali dla nas poczęstunek oraz pokazali metodę składania serwetek. W każdej z klas, w której byliśmy nauczyciele przedstawiali siatkę godzin lekcyjnych oraz krótko omówili dany profil. Na koniec zebraliśmy się w świetlicy. Pani wicedyrektor opowiedziała nam, na czym polega średnia ważona oraz jak samodzielnie możemy ją obliczać.

Wagi ocen w Zespole Szkół Ponadgimnazjalnych nr 1 Praca klasowa lub test: 10 Sprawdzian powyżej 3 lekcji: 8 Sprawdzian niezapowiedziany lub odpowiedź ustna: 5 Praca domowa: 3 Przygotowanie do lekcji lub aktywność na lekcji: 3 Osiągnięcia w konkursach lub olimpiadach: Szkolne: 5 Powiatowe:10

Średnia harmoniczna Średnią harmoniczną n liczb dodatnich a1, a2, ..., an nazywamy liczbę:

Średnia harmoniczna dwóch liczb a i b równa jest

ciekawostka Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest równa średniej harmonicznej.

Przykłady zastosowania Zad. 1. Oblicz średnią harmoniczną liczb 2, 2, 5 i 7. Odp. Średnia harmoniczna tych liczb wynosi około 2,98.

Zad. 2. Drogę z A do B samochód przebył z prędkością v1 = 60 km/h, a z B do A z prędkością v2 = 40 km/h. Jaka jest średnia prędkość na trasie A-B-A? Odp. Średnia prędkość na trasie wynosiła 48 km/h.

Zależności pomiędzy średnimi

Niech a1 i a2 będą długościami odcinków Niech a1 i a2 będą długościami odcinków. Narysujmy okrąg o średnicy a1+a2. Promień tego okręgu jest równy: Jest więc to jest średnia arytmetyczna liczb a1 i a2.

W miejscu styku odcinków a1 i a2 narysujmy odcinek prostopadły do średnicy (czyli połączonych odcinków a1 i a2). Przetnie on okrąg w punkcie C. Mamy w ten sposób odcinek CD. Jeśli końce średnicy półokręgu połączymy z punktem C otrzymamy trójkąt prostokątny, którego wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną jest właśnie odcinek CD. Długość CD jest średnią geometryczną a1 i a2

Widać, że średnia arytmetyczna liczb jest większa od średniej geometrycznej tych liczb. Twierdzenie: Dla dodatnich liczb a1, a2, …, an zachodzi równość:

Jeśli wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej.

Średnią harmoniczną (dla liczb różnych od zera) nazywamy odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności tych liczb.

literatura Encyklopedia matematyczna Podręczniki: Matematyka 2001, Strony internetowe: http://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Arednia_arytmetyczna http://www.math.edu.pl/srednia-arytmetyczna http://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Arednia_geometryczna http://www.math.edu.pl/srednia-geometryczna http://www.bazywiedzy.com/srednia-geometryczna.php  

http://www. bazywiedzy. com/srednia-wazona. php http://www. math. edu http://www.bazywiedzy.com/srednia-wazona.php http://www.math.edu.pl/srednia-wazona http://www.math.edu.pl/srednia-harmoniczna